Oscillateur électrique libre amorti, RLC série

[victorsf]

Bonjour à tous,

j'ai une experience à faire en labo physique mais je suis bloqué dans les calculs:

On a un circuit RLC série,
après calcul , j'obtiens :

U(t) = U₀ * exp((-R/2L)*t)*cos(wt) avec
w=sqrt( (1/(L*C) ) - ( (Rt / (2*L) )^2 ) )

Ayant fait des mesures sur l'oscilloscope, j'ai mesuré les extremum sur 4 pseudo-période. Je dois maintenant à l'aide de cacluls et matlab retrouver mes valeures mathématiqument en reconsruisant la courbe avec les points mesurés.

Pour avoir les extremum, il faut calculer la dérivée de U(t) et poser que c'est égal à zéro :
dU(t)/dt = -R/2L*U0 * 3xp(-t*R/2l)*cos(wt) - U₀ * exp((-R/2L)*t)*w *sin(wt) = 0

cette expression étant lourde, le prof nous a dit qu'on peut faire une approximation en disant que les extremum ont lieu quand cos(wt)= -+ 1

ce qui allège l'expression.

Voici le code matlab que j'ai écrit pour le faire :

R=20;
Rb=43;
C=0.5*10^-6;
L=0.05;
Rt=R+Rb;
U=[7.2 -5.68 4.56 -3.6 2.88 -2.32 1.92 -1.44 1.28 -0.96];

WRLC = sqrt( (1/(L*C) ) - ( (Rt / (2*L) )^2 ) );
TRLC= (2*pi)/WRLC;
y = log(abs(U/U(1)));
n= 0 : 1 : length(U) - 1 ;
param = polyfit(n,y,1);

ErreurRelative = abs( param(1) - ( TRLC/2 * R/(2*L) ) ) / param(1) ;

t = linspace(0,n(end)*(TRLC/2),2001);
Uth= U(1) *exp(2/TRLC*t * param(1)) .* cos(WRLC*t) ;
plot(t,Uth,'b',n*(TRLC/2),U,'or')

cette méthode étant approximative, il ne me donne pas les extremum exactement au bon endroit sur la courbe, il faut faire avec la vraie fonction dérivée, mais elle est difficile car on a exp,sin,cos.(on pourrai peut-etre faire une transformation pour n'avoir que sin ¦ cos au lieu de (sin et cos)mais je sais pas si ça m'aide à avacer.

comment peut-on faire pour trouver exactement les extremums ?

Merci de votre aide.

[victorsf]

en effet en posant U'(t)= 0 pour les extremum, on obtient :
U0*exp(-t*R/2l) [-R/2L*cos(wt) + w *sin(wt) ] = 0
le terme U0*exp(-t*R/2l) ne pouvant pas etre nul, on obtiens :
tan(wt)=-R/2LW
en remplacant W par son expression et après des calculs, j'obtiens :
tan(wt)= -sqrt( ((RLC)^2)) / (4CL^3 - (2RL)^2) )

[victorsf]

je corrige(négligez le 2ème post) .

en effet en posant U'(t)= 0 pour les extremum, on obtient :
U0*exp(-t*R/2l) [-R/2L*cos(wt) + w *sin(wt) ] = 0
le terme U0*exp(-t*R/2l) ne pouvant pas etre nul, on obtiens :
tan(wt)=-R/2LW
en remplacant W par son expression et après des calculs, j'obtiens :
- sqrt ( (R^2*C) / (4L - R^2*C) )

[victorsf]

personne pour me donner un coup de main ?

[Codi19]

Comme dit le prof
U(t) = U0 * exp((-R/2L)*t)*cos(wt) avec cos(wt) =+/- 1

U(t)max = U0 * exp((-R/2L)*t) wt E[0,pi] -> t=K*Pi/w &K=0,1,2,3..
U(t)min = - U0 * exp((-R/2L)*t) wt E[-Pi/2,+pi/2] -> t=K*Pi/2w &K=1,2,3.

cela te donne 2 serie de t
t =KPi/ sqrt( (1/(L*C) ) - ( (Rt / (2*L) )^2 ) ); pour les Umax
t =KPi/ 2*sqrt( (1/(L*C) ) - ( (Rt / (2*L) )^2 ) ); pour les Umin

que tu applique à chaque equoition respective

C'est un systhème amortie qui subit une impulsion de départ non?

[victorsf]

Bonjour Codi,

Merci pour ta réponse. J'ai essayé de comprendre tes équations mais j'ai vraiment pas compris:
c'est quoi E[0,pi] ? un vecteur qui va de 0 à pi ?
ou disparait le cos ?

Merci.

[Codi19]

Salut

Le cos peut prendre les valeur -1 et +1 pour optenir les
valeur maximum et minimum
Oops je corrige
+1= Cos(0)= Cos(2*pi)= Cos(4*pi) donc cos(2 K Pi) avec k=0,1,2,3,4..

-1= Cos(1 Pi )= Cos(3 Pi)= Cos(5 Pi)= Cos(2(K+1) Pi) avec k=0,1,2,3,4..

tu peut donx faire 2 series une pour les -1 et une pour les +1
WRLC = sqrt( (1/(L*C) ) - ( (Rt / (2*L) )^2 ) );

(2(K) Pi)² - (1/(L*C) = (Rt / (2*L) )^2 ;
(2(K+1) Pi)² - (1/(L*C) = (Rt / (2*L) )^2 ;

Comme ça tu peut connaitre t et l'apliqué qu module
U0 * exp((-R/2L)*t)

((2(K) Pi)^2 - (1/(L*C)) * ((2*L)^2)/R= t² ->Pour les max
((2(K+1) Pi)^2 - (1/(L*C)) * ((2*L)^2)/R =t² ->Pour les min

[Codi19]

Bonjours

Excuse moi je me suis planté j'ai confondu Rt avec R x t
Alors voila
pour me faire pardonner je t'ai fait une petite macro Excel qui te donne
les valeurs max pour chaque crête d'oscillation de ton amortissement
les fonctions pour trouver le passage à -1 et +1 du Cos (wt) sont


Function TValmax(K) As Double ->>> pour les +1
Teta = (2 * (K) * Pi)
TValmax = (Teta / W)
End Function

Function TValmin(K) As Double ->>> pour les -1
Teta = (2 * (K + 0.5) * Pi)
TValmin = (Teta / W)
End Function

cela te donne un temps
En fonction de ce temps tu peux en suite connaître la valeur de la crête
positive et négative à condition d'avoir un U0 non nul et connus (le pic de démarrage)

Function Module(t) As Double
Module = U0 * Exp((-R / 2 * L) * t)
End Function

quant cos = -1 les valeur sont -1 * module(t)

c'est pourquoi il faut séparrer ton equoition en 2 moceaux une pour le module
et 2 pour les serie de temps
pas la peine de faire de dérivé.

Excuse-moi encore de t'avoir induit d'erreur au départ

[victorsf]

salut Codi,
En premier je te remercie beaucoup pour le travail que tu as fais, c'est vraiment sympa.

J'ai quand même quelques questions, sur plusieures points que je n'ai pas bien compris, c'est pas évident de se comprendre au forum :

1.alors,en premier, pour ta fonction TValmin, je comprends pas pouquoi tu écris :Teta = (2 * (K + 0.5) * Pi) , pour moi ça devrait être Teta = ( (2*k+1)*pi )

et 1 questions qui peuvent te sembler bêtes, mais je te les demande quand-mêmes:
2. vu la courbe d'un oscillation libre, comme la fonction exponentielle enveloppe la fct cosinus, l'amplitude du signal se trouve réduit à chaque période, donc cosinus max/min ne valent +/- 1 que sur la première période. c'est juste ce raisonnement ?

encore, Merci infiniment pour ton aide.
mais la pente de points max/min restent null, voila pouquoi je voulais essayer de faire avec la dérivée.

[victorsf]

salut Codi,
En premier je te remercie beaucoup pour le travail que tu as fais, c'est vraiment sympa.

J'ai quand même quelques questions, sur plusieures points que je n'ai pas bien compris, c'est pas évident de se comprendre au forum :

1.alors,en premier, pour ta fonction TValmin, je comprends pas pouquoi tu écris :Teta = (2 * (K + 0.5) * Pi) , pour moi ça devrait être Teta = ( (2*k+1)*pi )

et 1 questions qui peuvent te sembler bêtes, mais je te les demande quand-mêmes:
2. vu la courbe d'un oscillation libre, comme la fonction exponentielle enveloppe la fct cosinus, l'amplitude du signal se trouve réduit à chaque période, donc cosinus max/min ne valent +/- 1 que sur la première période. c'est juste ce raisonnement ?

encore, Merci infiniment pour ton aide.
mais la pente de points max/min restent null, voila pouquoi je voulais essayer de faire avec la dérivée.

[Codi19]

Salut

je suis pas sur msn je suis pas sur ..

Je suis sur skype même pseudo Codi1919

0.5 * 2 Pi = Pi
(1+0.5) 2 Pi = 3 Pi

c'est la ou se trouve les -1 pour un cos
j'aurai pue faire autrement (2*K+1) Pi
Pi,3Pi,5Pi,7Pi tout ce qui ramène a cos =-1

En fait ton W est très rapide et pour voir la progression de l'enveloppe exponentiel il faut des milliers d'oscillation
le terme U0 * exp((-R/2L)*t) ne décrois pas si rapidement que ça
si tu augmente R donc l'amortissement tu verras la courbe décroître plus rapidement.
J'ai failli justement te faire un représentation de la courbe avec une fenêtre général et un repère de positionnement de ce que tu vois de la courbe U0 * exp((-R/2L)*t)
Mais un peut plus de boulot.

C ‘est pas évident à première vue je me suis aussi posé la question mais quant j’ai vue que w = 6600 a qqe chose près donc et j’ai préférait te représenter les oscillations avec les calcule des temps pour les quel tu avait un max et un min
Et je me suis dit aussi que ^2 c’était bien du basic alors un petit Excel c’est cool.