troisième problème amusant de relativité

[BioBen]

Tout à fait, raisonnement très subitl que j'ai enfin compris
Merci beaucoup pour tes explications !
a+
ben
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[invite0c9e63b6]

Bon, j'ai un peu plus de temps, je reprends ...

Dans le paradoxe des jumeaux version 1 (espace non refermé sur lui-même) la situation paradoxale provenait du fait que l'on pouvait dire "durant les phases à vitesse constante, les situations des deux jumeaux sont symétriques, donc chacun voit l'autre vielllir moins vite que lui. Pourquoi donc au final, la situation ne resterait-elle pas symétrique ? Pourquoi l'un des jumeaux serait-il plus jeune que l'autre ?". On sort de ce paradoxe simplement en regardant la forme des trajectoires dans l'espace-temps : l'une est une droite, l'autre non. C'est donc en regardant la forme des trajectoires que l'on s'aperçoit qu'il existe une réelle dissymétrie entre les deux situations des deux jumeaux. Et le fait que ces trajectoires soient différentes provient de ce que l'une possède des phases d'accélération et pas l'autre. La trajectoire rectiligne est une géodésique, un chemin de longueur localement extrémale entre deux points, et c'est pourquoi le temps propre lié au jumeau immobile est plus long que celui du jumeau qui suit la trajectoire non-géodésique.

Dans le paradoxe des jumeaux version 2 (espace refermé sur lui-même) la situation est similaire. On est aussi dans le cas d'une symétrie apparente. On se dit que chaque jumeau voit l'autre se déplaçant par rapport à lui de manière identique. Mais ici encore, il s'agit d'une fausse symétrie. Et pour s'en rendre compte, comme dans la version 1 du paradoxe, il faut regarder la forme des trajectoires. Ici, ce sont toutes deux des géodésiques, mais l'une est une hélice, l'autre une droite. Ou encore, ce peuvent être deux hélices, avec des pas différents.

Il existe aussi une situation parfaitement symétrique, celle où les deux hélices ont le même pas, mais des sens opposés. Dans ce cas, quand les deux jumeaux se rencontrent, ils ont toujours le même âge.

En tous cas, je maintiens ce que j'ai dis plus haut : celui dont la trajectoire fait le plus de tours est le plus jeune.

cordialement,

Attila

[deep_turtle]

OK, good job attila, tu as tout à fait raison... Je présenterai plus tard (je vais disparaitre pendant 2 semaines) le problème du point de vue de chacun des jumeaux (si personne ne l'a fait d'ici-là), comme je l'ai fait pour les problèmes précédents, mais ta formulation me convient... Juste une question :

Et pour s'en rendre compte, comme dans la version 1 du paradoxe, il faut regarder la forme des trajectoires. Ici, ce sont toutes deux des géodésiques, mais l'une est une hélice, l'autre une droite.

Qu'est-ce qui t'empêche de te placer du point du vue du gars (Albert) sur son hélice et de considérer que non, finalement c'est l'autre qui parcourt un hélice alors que moi, Albert, je suis au repos ?? Aurement dit, la notion de "tour" à laquelle tu fais allusion depuis plusieurs messages dépend du référence à partir duquel tu analyse le mouvement !

[Floris]

Bonjour a tous chers amis.
Voici une colle de notre ami.
Je vais tenter ma chance avec mes simples connaissances.
D’après ce que j’ai comprit, on ne tien pas compte de l’accélération que subit les deux jumeaux. Es bien cela ? Si d’après ce que tu dit, on constate que l’un des jumeaux est plus jeune que l’autre, cela signifie que… Donc j’en déduis quelque truc suivant. Rien ici ne nous permet d’avancer que l’un sera plus jeune que l’autre d’où le paradoxe, es que je me trompe ? Cependant la question que je me posa alors, il doit bien t avoir une asymétrie, cependant comment savoir les quel est plus jeune ? Si maintenant je regarde ces deux référentiels par rapport à un ref de lumière, peut être, je constaterai que l’un vas moins vite et inversement par rapport à la lumière ? Cependant là ou je fait erreur, je sait bien que la lumière est identique selon tout les ref. Mais si je fait des comparaison de temps ? Enfin là je suis complètement à coté de la plaque et je dit des choses stupides. Je vais aller me coucher.
Merci de me dire si le début de mon raisonnement est juste ?
Merci

[invite6aa21dd9]

Bonsoir,

Tout d'abord, bravo à Deep_turtle, car ce problème est très intéressant, en particulier du point de vue de ses implications cosmologiques.

Connaissant la solution, je laisse à Deep_turtle le soin de l’expliciter complètement, du point de vue de chaque jumeau. Humanino, Yat et Attila ont déjà, à leur manière, obtenu la clé du problème, ou mis le doigt dessus.
Essayons plutôt de faire une synthèse de ce qui a été dit jusqu'à présent, et d'en tirer des éléments pour arriver à la solution complète. On verra que ces éléments permettent d’ouvrir des pistes de réflexion sur la nature de l’univers.

Pour se faire une représentation « parlante » du problème et arriver à une solution accessible sans rentrer dans des développements mathématiques, utilisons 2 dimensions d’espace plutôt qu’une seule.
Soit donc une feuille de papier représentant ces 2 dimensions. On la prendra rectangulaire (et non carrée).
Soit X la largeur de cette feuille (axe X, coordonnée x), et Y sa longueur (axe Y, coordonnée y).
Pour se placer dans les conditions du problème, il faut identifier les bords, c'est-à-dire coller les bords opposés de la feuille. On a ainsi des coordonnées périodiques x et y.
Lorsque l’on colle les 2 longueurs, on obtient un cylindre. Puis on colle les 2 cercles extrémités ensemble, pour obtenir un tore (un donut).
Nous avons donc un modèle spatial de notre univers. Les contributions précédentes à ce fil ont révélé plusieurs aspects du problème, en fonction des trajectoires du jumeau voyageur, dans le référentiel du jumeau fixe. Pourquoi « des » trajectoires ? Ne sont-elles pas toutes équivalentes ? Et bien non. Dans notre modèle, on peut en effet distinguer 3 types de trajectoires. Une trajectoire quelconque pourra être décrite comme une combinaison de ces 3 types.
L’élément fondamental qui implique l’existence de types de trajectoire non équivalents est le « trou » du donut considéré. Pour s’en rendre compte, modélisons une trajectoire par un lacet élastique d’une certaine longueur, dont les 2 extrémités se trouvent donc à la position de notre jumeau sédentaire. On a donc une boucle.
Explicitons maintenant ces « types de trajectoire » à l’aide du lacet (solidaire à notre surface) :

- Cas 1 :
On peut réduire le lacet en un point si on ne fait pas un tour complet du donut selon x ou y pour revenir au point de départ. En effet, en contractant celui-ci, il devient ponctuel.
- Cas 2 et3 :
Si on fait un tour du donut (selon x ou y) avant de revenir au point de départ, on ne peut plus le contracter en un point. En effet, on est bloqué soit par le diamètre du trou (si on se balade selon y), soit par le cercle qui définit la base du cylindre collé (si on se balade selon x).

Au final on a donc 3 types de chemin différents pour parcourir le tore et revenir au point de départ, dont la longueur minimale est soit nulle, soit égale à X (largeur de la feuille) soit égale à Y. Tout cela à cause du trou.

Qu’est-ce que ça implique pour nos jumeaux ?
On peut diviser le problème en 2 parties :

1) le jumeau voyageur emprunte un chemin du type 1 lors de son voyage.
Dans ce cas, aucun paradoxe, l’explication « classique » suffit. En effet, impossible de parcourir ce chemin de manière « inertielle » (c'est-à-dire sans accélérer puis ralentir par rapport au jumeau fixe par rapport au donut). Plusieurs messages ont bien établi ceci.

2) Le jumeau voyageur emprunte un chemin du type 2 ou 3.
Dans ce cas, comme l’a évoqué Attila, le voyageur et le sédentaire sont dans des situations apparemment complètement symétriques du point de vue inertiel.
Mais cette symétrie n’est qu’apparente.

Ce qui brise la symétrie dans ce cas, ce ne sont pas les phases d'accélération, mais le nombre de tours que les géodésiques font autour du cylindre,

Pourquoi ?
Considérons l’hypothèse suivante : le jumeau sédentaire est fixe par rapport au donut. Le voyageur fait un tour du donut selon x (le petit tour) ou selon y (le grand tour). Dans ce cas, on montre facilement que le jumeau voyageur sera plus jeune du point de vue du sédentaire (cela à été fait dans les contributions précédentes). On peut ajouter que le voyageur sera encore plus jeune du point de vue du sédentaire s’il fait le grand tour, plutôt que le petit tour.

Pourquoi ne peut-on pas « retourner la situation » et arriver au paradoxe ?
Au cause du trou ! (Encore lui).

il doit bien t avoir une asymétrie

Floris a tout a fait raison.
En effet, pour « retourner la situation » on doit effectuer un changement de référentiel. Et c’est sur ce point que les contributions précédentes butent. La « solution » est que celui-ci n’est pas « valable » sur notre donut. Pourquoi ?
Parce que, lors de la construction du donut à l’aide de la feuille de papier, on a choisi des axes privilégiés pour faire les collages. Axes qui définissent le trou de manière particulière. Impossible alors, comme l’a constaté Yat de changer de référentiel « proprement ». Et voilà le cœur du problème : en choisissant un espace compact et pas simplement connexe (à cause du trou), les transformations qui assurent le passage d’un référentiel à l’autre ne « marchent plus » globalement. Ainsi, Attila a souligné :

Non, je ne suis pas d'accord avec vous. Vous étendez à un univers borné les principes de la relativité restreinte qui ont été établis pour un univers plan et non borné. Mais nous n'avez le droit de le faire que localement. Pas globalement.

C’est toute la subtilité entre la géométrie (locale) et la topologie (globale).
La conséquence de ceci est qu’il existe dans ce modèle de donut un référentiel privilégié. Celui que l’on a choisi implicitement pour le jumeau fixe. (On considère que le jumeau sédentaire est fixe par rapport au donut, et ce référentiel est privilégié du point de vue « changement de référentiel »). Ainsi, si grâce à ces collages, l’espace reste localement isotrope, ce n’est plus le cas globalement. Pour s’en rendre compte, décollez le tore de papier, et faites un dallage avec plusieurs feuilles de papier. Si on part du centre de la première, puis qu’on se déplace jusqu'à un bord, puis qu’on passe sur la « dalle » à coté et qu’on arrive au centre de celle-ci, on a effectué le tour de l’univers ; on est revenu au même point. On peut se représenter l’espace par une feuille que l’on copie colle bords à bords. Et on se rend alors bien compte que les rotations ne sont plus invariantes.

Humanino a aussi exprimé cela de manière mathématique pour ce qui concerne la dimension de temps :

Il y a une véritable brisure d'invariance de Poincaré au niveau globale : le temps propre d'un observateur dont la 4-vitesse est orthogonale au tore spatial est un temps priviliégié !

Cette explication suffit au mathématicien pour résoudre le paradoxe. Si l’on considère un espace-temps ayant cette topologie, on constate qu’il y a un temps privilégié, et une position privilégiée. Ceci a plusieurs conséquences qui ouvrent sur des aspects cosmologiques. En attendant –impatiemment- le retour de Deep_turtle pour une explication détaillée de la résolution du paradoxe du point de vue de chaque jumeau, sachant qu’il y a un référentiel privilégié, je voudrais orienter le débat sur les implications de ce paradoxe :
- il n’est pas possible pour tous les observateurs sur ce tore de synchroniser leurs horloges. Seuls certains peuvent y parvenir. Pourquoi ?
- Un tel univers a un centre (Copernic a de quoi se retourner dans sa tombe). Pourquoi ?
- Quelles sont les autres propriétés « étranges » de ces topologies « plates » ? (Pour un espace « sphérique », donc pas plat, on pourrait montrer par une expérience de pensée que des droites parallèles finissent par se couper)
- Comment par des observations, pourrions-nous établir des indices d’une telle topologie pour notre univers ?

Tant de questions fascinantes auxquelles j’attends avec impatience vos réponses et commentaires.

Cordialement.

[invite0c9e63b6]

Bonjour Kognou,

Je suis d'accord avec vous pour dire que ce petit problème est extrêmement intéressant, car il pose des questions fondamentales sur la structure de notre univers, qui, lui aussi est borné.

Cependant, je ne vois l'intérêt pédagogique qu'il y a à utiliser un univers à 2 dimensions spatiales. Il me semble que l'on ne perd rien de l'essence du problème en considérant un univers (le cercle)n'ayant qu'une coordonnée spatiale. Il est ainsi facile de représenter l'espace-temps par un cylindre. On perd cette représentation simple de l'espace-temps en prenant un univers à deux dimensions spatiales.

Qu'en pensez-vous ?


Vouis posez un certain nombre de questions, ainsi que deep_turtle, auquel j'essaierai de répondre si j'arrive à trouver le temps.

En particulier :

"Comment par des observations, pourrions-nous établir des indices d’une telle topologie pour notre univers "

Je pense que la simple observation d'un même évènement dans deux directions opposées pourrait constituer un tel indice.

cordialement,

Attila

[deep_turtle]

J'interviens une dernière fois avant de m'absenter pendant 2 semaines. Merci pour ton long message kognou, il met bien en évidence la plupart des subtilités du problème (mais je me joins à lé remarque précédente d'Attila sur l'intérêt de prendre plus de dimensions spatiales).

Je n'ai pas assez de temps maintenant pour exposer la solution complète du problème, mais je veux juste exprimer en termes mathématiques simples ce qui a été dit avant : il faut faire très attention en appliquant les transformations de Lorentz, par exemple



Si on ne fait pas attention, on pourrait l'appliquer avec x=0 et t=0, et aussi avec x=L et t=0, on trouverait deux valeurs de t' différentes. Or ces deux points de l'espace-temps sont les mêmes par hypothèse !! La transformation de Lorentz écrire plus haut est valable localement seulement, sur un bout d'Univers ne contenant pas plusieurs fois les mêmes points...

Voilà, si vous gardez ça en tête, on trouve, bien sûr, qu'il n'y a pas de paradoxe.

Je posterai les calculs dans les référentiels d'Albert et Roger à mon retour si personne d'autre ne l'a fait, et je vous souhaite à tout du bon temps sur le forum, vous allez me manquer !

[.:Spip:.]

Chouette, j'ai encore plus de chose a apprendre que ce que je sais... (quoique, je me doutais bien ) J'ai quand meme, un peu du mal. Mais personne veut me donner un "vrai" cours alors voila.....

[invite2f368079]

Bonjour, Problème intéressant,

On ne peut pas comparer les vitesses sans préciser un observateur. Tout dépend alors de l'observateur. Pour moi, le problème n'a pas de sens. Plus précisément le temps tel qu'on le conçoit n'existe plus, il dépend de l'observateur. Ceci est un problème très délicat: la vitesse d'écoulement du temps dépend de l'observateur mais surtout l'ordre dans lequel se déroule deux événements n'est pas toujours bien défini.

[deep_turtle]

la vitesse d'écoulement du temps dépend de l'observateur mais surtout l'ordre dans lequel se déroule deux événements n'est pas toujours bien défini.

Je ne suis pas sûr de te suivre, encore moins d'être d'accord... La vitesse d'un observateur par rapport à un autre est une quantité très bien définie en relativité restreinte, si on décide dans quel référentiel on l'exprime, pas de pb de ce côté-là... Quant à l'ordre des événéments, pas vraiment de problème non plus : deux événements ayant un lien causal sont toujours ordonnés dans le temps de la même façon, pour tous les observateurs...

[invite6aa21dd9]

Bonsoir.

Cependant, je ne vois l'intérêt pédagogique qu'il y a à utiliser un univers à 2 dimensions spatiales

J’ai simplement proposé cette représentation de la partie spatiale de l’espace-temps pour « mieux voir » les différentes trajectoires possibles.
En effet, il est à mon avis plus facile pour quelqu’un qui n’est pas familier de la topologie de se représenter une boucle que l’on peut étirer ou contracter en un point sur une surface que sur un cercle unidimensionnel. On visualise mieux l’impossibilité de ramener un élastique à un point quand celui-ci entoure un donut (selon x par exemple). Le donut étant un objet matériel et l’élastique aussi, un non mathématicien aura à mon avis plus de facilité à conceptualiser, car il se rattache à quelque chose de « plus concret ». On visualise aussi mieux la notion de connexité. Aussi, on se rend plus compte du choix arbitraire des axes et de la conséquence de ce choix lors de la construction du modèle. Mais cela se voit aussi bien sur un cercle, je vous l’accorde.

Il est ainsi facile de représenter l'espace-temps par un cylindre. On perd cette représentation simple de l'espace-temps en prenant un univers à deux dimensions spatiales.

Je partage votre opinion et celle de Deep_turtle quant à la plus grande facilité de se représenter l’espace-temps en n'utilisant qu’une seule dimension d’espace.

Il me semble que l'on ne perd rien de l'essence du problème en considérant un univers (le cercle)n'ayant qu'une coordonnée spatiale

Là je ne suis pas tout à fait d’accord. Dans le cadre de l’énoncé du problème, je suis tout à fait d’accord avec vous.
Néanmoins, pour pousser plus loin le problème, il me semble intéressant de considérer un espace à 2 dimensions :
- on peut ainsi introduire la notion de « winding index » (indice de tortuosité ) et en entrevoir la profondeur.

Un espace à 2 dimensions permet en effet d’étudier plus de cas dans cette expérience de pensée.
On peut ainsi se rendre compte que la différence d’âge entre les jumeaux peut être différente selon que l’on fasse un tour d’univers selon un axe ou l’autre (winding index (1 ; 0) ou (0 ; 1) par rapport à un sédentaire (winding index (0 ; 0)).
(1 ; 0) signifie que le jumeau voyageur fait un « tour d’univers » selon l’axe x. (le petit tour dans la représentation « donut »).
(0 ; 1) signifie que le jumeau voyageur fait un « tour d’univers » selon l’axe y (le grand tour dans la représentation « donut »).
(0 ; 0) signifie que le voyage aller-retour se fait sans faire un tour complet d’univers (Dans ce cas, le problème redevient « classique »).

Mais on peut surtout comparer les âges de jumeaux qui sont tous les 2 en « mouvement périodique » l’un par rapport à l’autre. En d’autres termes, on peut étudier des cas de jumeaux sans en placer un qui soit fixe par rapport au référentiel fixe par rapport au donut.
Par exemple :
- qui sera le plus jeune lors de leurs rencontres périodiques entre un voyageur de type (1 ; 0) et un autre de type (0 ; 1) ?
- de quels paramètres dépend la différence d’âge ?

Il est vrai que je n’avais pas exposé explicitement l’intérêt d’un espace à 2 dimensions dans le cas particulier qui constitue l’énoncé du problème. Voilà qui est réparé. Et cela rajoute – et c’est le cas de le dire – une nouvelle dimension au problème. .

En ce qui concerne Lephysicien. Il faudrait que vous pointiez explicitement les passages qui vous posent problème dans cette discussion afin que les intervenants puissent les éclaircir précisément.

Cordialement.

[invite0e4ceef6]

moi aussi ça me parrait bizzare de vouloir faire transposer en 2D sur une feuilles un référenciel qui nous est naturel.. la 4D on est toujours dedans.. suffit de prendre la terre comme referenciel... elle est plate comme une orange, et bleu de surcroit ... plus simple qu'un donut, enfin a mon gout, de travailler dans notre référenciel habituel, subjectif...

[yat]

D'un autre côté je ne comrpends pas bien quand tu dis :

Cela est effectivement paradoxal dans la mesure ou les deux jumeaux ne sont jamais que deux référentiels Galliléens en mouvement l'un par rapport à l'autre, et il n'y a aucune raison pour que les deux événements virtuels soient simultanés dans l'un et pas dans l'autre.

Ben si, justement, si deux événements sont simulatnés dans un référentiel, ils ne le sont en général pas dans un autre en mouvement par rapport au premier, non ?

J'entends bien, mais en l'occurence, il ne s'agit pas réellement de deux événements distincts... Et j'imagine (même si je n'en sais rien du tout) que dans le cadre d'un univers fermé, si je claque des doigts, mon alter-ego virtuel qui, de l'autre coté de l'univers va aussi claquer des doigts (je sais bien que c'est moi, mais c'est comme si je me regardais dans un mirroir ou un truc comme ça), je m'attends quand même à ce qu'il le fasse en même temps. Là, ce n'est pas possible pour les deux jumeaux, et si c'est le cas pour un seul, ça lui confère une particularité par rapport à l'autre.

De toutes façons, ne serait-ce que par la dilatation des distances, le "périmètre" de cet univers fermé ne sera pas le même en fonction de la vitesse à laquelle on le parcourt, du coup tout est forcément asymétrique, et pour moi un peu paradoxal. Parce qu'on se retrouve avec un référentiel pour lequel la distance sera la plus grande, et ça va faire plaisir à HFD, puisque ce référentiel sera immobile par rapport à l'univers... (oui, je sais, pour moi non plus ça veut rien dire).

En gros, je pense que dans un univers fermé décrit comme ça, il y a quelque chose qui colle pas, et il faudrait que je colle ma feuille autrement qu'en cylindre pour faire quelque chose de cohérent.

le parradoxe tiens a ce que l'on met en relation deux systèmes ayant leurs propres réalité fondé sur leurs propres perceptions des choses... seul un sytème tiers permet de les departager...

Mais précisément...

Euh... je ne pense pas avoir écrit ça.

[invite0c9e63b6]

Qu'est-ce qui t'empêche de te placer du point du vue du gars (Albert) sur son hélice et de considérer que non, finalement c'est l'autre qui parcourt un hélice alors que moi, Albert, je suis au repos ?? Aurement dit, la notion de "tour" à laquelle tu fais allusion depuis plusieurs messages dépend du référence à partir duquel tu analyse le mouvement !

Excellente question, deep_purple !

je vais tenter d' y répondre :

Localement, ni Albert ni Bernard ne peuvent savoir lequel se déplace, est immobile, suit une trajectoire d’espace-temps droite ou hélicoïdale, etc … Cependant, ils vont nécessairement se rendre compte qu’ils appartiennent à un univers fermé. Par exemple, au bout d’un certain temps,les signaux qu’ils s’échangent arriveront de deux côtés opposés. De plus, ils feront nécessairement la constatation que leurs horloges sont décalées (à moins qu’ils ne se trouvent dans le cas totalement symétrique que j’avais cité dans un précédent post). A partir de là, faisant le même raisonnement que celui que nous sommes en train de faire, ils en déduiront que celui dont l’horloge est la plus lente suit une géodésique qui fait plus de tours d’univers que l’autre. Je ne pense pas qu’ils aient d’autre moyen de savoir à quelle classe de géodésique appartient leur système de référence inertiel.

On peut ensuite se demander quelles conclusions en tirer pour nous qui vivons aussi dans un univers borné. Celui-ci étant en expansion, il faut remplacer le cylindre par un cône. Plusieurs classes de systèmes inertiels sont alors possibles. Je pense que tout ce qui, de la substance initiale, se trouve aujourd’hui sous forme « atomique » (planètes, étoiles, etc …), doit se trouver dans un groupe correspondant au système inertiel « au repos », c’est à dire dont les trajectoires sont proches des génératrices du cône. Ce qui était peu après le Big Bang sous forme de rayonnement électromagnétique, et se retouyve maintenant être le rayonnement à 3°K, a du faire une ou plusieurs fois le "tour" de l'univers. Il est encore possible qu’il y ait des particules élémentaires de très haute énergie, qui se situent entre les deux, et qui appartiennent à des groupes de géodésiques « ayant fait plusieurs fois le tour de l’univers ». Il doit donc bien exister un système de référence inertiel privilégié, « au repos », au niveau de l’univers entier, et pourtant, cela ne contredit pas localement, les principes de la relativité restreinte, en particulier le principe d’équivalence de tous les référentiels inertiels.

La difficulté principale consiste à comprendre qu’il existe bien un système de référence « au repos », et que pourtant, cela ne vient pas contredire localement le principe d’équivalence des référentiels galiléens. Autrement dit, ce principe est un principe local, qui n’est pas forcément valide au niveau global.


Qu'en pensez-vous ?


Attila

[deep_turtle]

Bonjour a tou(te)s,

Je vais donner une solution possible au probleme, il y a plusieurs facons plus ou moins eclairantes de resoudre le paradoxe apparent, je vous presente ici celle qui me semble la plus simple (mais ca c'est surement un affaire de gout et de sensibilite personnelle...).

Alors voila. Robert est au repos alors aue Victor part en voyage autour de l'Univers...

La dissymetrie fondamentale entre eux vient du fait que c'est dans le referentiel de Robert qu'on a defini les conditions aux limites qui definissent le cylindre : a un instant t donne (pour Robert), on identifie le point (x=0,t) au point (x=L,t) ou L est la circonference du cylindre (la taille de l'Univers pour Robert).

L'analyse de la situation est tres simple pour Robert : il voit Victor parcourir la distance L a la vitesse v (je vais supposer que le systeme d'unite est tel que c=1, c'est-a-dire que v, c'est aussi le beta relativiste, pour simplifier les ecritures), et donc leur seconde rencontre a lieu au bout d'un temps . Robert se dit alors que pour Victor, il s'est ecoule un temps plus faible a cause de la dilatation des temps, et .

Du point de vue de Victor, les choses sont plus subtiles. Les points qui sont identifies pour lui sont ceux qu'on obtient en transformant (x=0,t) et (x=L,t) dans le systeme de coordonnees de Victor, soit et . On peut voir ca de la facon suivante : pour Victor, a chaque fois qu'un observateur fait un tour de l'Univers, il gagne d'un seul coup un temps .

Une fois qu'on a compris ca, le reste est assez simple : le temps ecoule pour Victor est le temps qu'il faut pour Robert pour faire le tour de l'Univers (qui a la taille pour Victor, contraction relativiste oblige) a la vitesse v, soit , c'est bien le meme resultat que tout a l'heure.

Si Victor se demande combien de temps s'est ecoule pour Robert, il se dit que c'est ce temps auquel il faut ajouter le saut evoque plus haut, et corrige du facteur de dilatation des temps (car Robert est en mouvement). Victor trouve alors , ce qui est aussi le resultat precedent !

Il y a surement pas mal de commentaires a faire sur cette vision des choses, et si vous allez voir dans l'article que je cites dans le premier message de ce fil, vous verrez que les deux methodes de resolution proposees (algebrique et geometrique) sont assez differentes...


Pour repondre partiellement a Attila, je pense que le saut temporel du au "mauvais" collage du cylindre pour un observateur en mouvement peut servir de compte-tour et donc peut permettre de determiner la classe de chaque geodesique. Je n'ai pas encore reflechi au cas d'un Univers plus realiste, savoir si cet effet de saut temporel doit etre pris en compte ou pas avec des conditions aux limites definies de facon plus propres...

[Floris]

Salut, deep turlte, dit moi lorsque tu parle de saut temporel à propo du college di cylindre. Si je comprend bien, c'est quand l'objet disparait d'un point pour aparaitre à unautre? Es cela? Ci ce saut prend du temps ou est t'il instantané?
Merci de me répondre.
Bien amicalement a toi.
Flo

[invitec3f4db3a]

Moi j'en comprends , que vaut mieu pas voyager , la relativité nous ratrape toujours

Moi ce que je comprends pas , c'est que on peut refaire la même démonstration en décrétant que Victor est le point fixe et que Robert fais le tours de l'univers . Relativité , quand tu nous tient

[deep_turtle]

Si je comprend bien, c'est quand l'objet disparait d'un point pour aparaitre à unautre? Es cela?

C'est difficile a exprimer avec des phrases qui n'induisent pas en erreur... Disons que le temps pour Victor acquiert des proprietes un peu bizarre. La relativite nous dit que le temps est relie a l'espace, et dans un Univers plat infini usuel, le temps pour un observateur en mouvement est relie au temps et a la position pour un observateur fixe par

Ici dans notre cas c'est plus complique car il faut tenir compte du fait que physiquement a t fixe, les points x=0 et x=L sont equivalents.

L'objet de disparait donc pas, c'est juste que le temps qui lui est attache n'est pas continu.

Moi ce que je comprends pas , c'est que on peut refaire la même démonstration en décrétant que Victor est le point fixe et que Robert fais le tours de l'univers . Relativité , quand tu nous tient

C'est tout le point de ce "paradoxe" de comprendre pourquoi on ne peut pas faire ce que tu dis. Si tu interchanges les mots "Victor" et "Robert" dans la vision correcte que j'ai explicitee plus haut, tu te trompes a chacun des pas. Par exemple, tu supposes a un moment que a t fixe, les points x=0 et x=L sont equivalents, ce qui n'est vrai que pour Robert !

J'insiste sur le fait qu'il y a d'autres facons de comprendre la resolution du paradoxe, qui ne font pas forcement intervenir explicitement cette "discontinuite" des temps pour Victor.

[Gaétan]

donc, j'ai un troisième raisonnement. Pendant tout le voyage, les deux frères se regardent l'un l'autre évoluer plus lentement. Mais au moment de se retourner, il y a un gros décallage des horloges à cause du temps de parcours de la lumière pour faire le tour de l'Univers. En tout cas, c'est parce qu'ils regardent dans deux directions différentes.

Enfin, je crois. (et d'après ce dernier raisonnement, je devrais changer mon vote lol)

PS : non en fait il faudrait un troisième choix possible, c'est pareil pour les deux, mais y a pas de paradoxe !

Mais euh ... je l'avais la discontinuité dans le temps. J'ai pas tout bon, mais j'aurais mérité des encouragements.

[invite73192618]

Bonjour,

Petit grain de sel personnel à ce sujet:

J’ai simplement proposé cette représentation de la partie spatiale de l’espace-temps pour « mieux voir » les différentes trajectoires possibles.
En effet, il est à mon avis plus facile pour quelqu’un qui n’est pas familier de la topologie de se représenter une boucle que l’on peut étirer ou contracter en un point sur une surface que sur un cercle unidimensionnel. On visualise mieux l’impossibilité de ramener un élastique à un point quand celui-ci entoure un donut (selon x par exemple). Le donut étant un objet matériel et l’élastique aussi, un non mathématicien aura à mon avis plus de facilité à conceptualiser, car il se rattache à quelque chose de « plus concret ». On visualise aussi mieux la notion de connexité. Aussi, on se rend plus compte du choix arbitraire des axes et de la conséquence de ce choix lors de la construction du modèle.

N'étant moi même pas familier avec ces questions, je puis vous dire qu'effectivement ce type de représentation aide. Merci!

G

[invitec3f4db3a]

C'est tout le point de ce "paradoxe" de comprendre pourquoi on ne peut pas faire ce que tu dis. Si tu interchanges les mots "Victor" et "Robert" dans la vision correcte que j'ai explicitee plus haut, tu te trompes a chacun des pas. Par exemple, tu supposes a un moment que a t fixe, les points x=0 et x=L sont equivalents, ce qui n'est vrai que pour Robert !

J'insiste sur le fait qu'il y a d'autres facons de comprendre la resolution du paradoxe, qui ne font pas forcement intervenir explicitement cette "discontinuite" des temps pour Victor.

Je suppose que je comprenderais mieu quand j'aurais la relativité dans la tête

[deep_turtle]

Mais euh ... je l'avais la discontinuité dans le temps. J'ai pas tout bon, mais j'aurais mérité des encouragements.

Tu as parle de decalage lie a un temps de parcours, mais c'etait pas evident (pour moi en tout cas) que ca equivalait a une discontinuite... Bon je vais soumettre ton cas au GJPRR (Grand Jury des Problemes de Relativite Restreinte)...

[Gaétan]

Non, c'était pas clair, pas dans ma tête non plus d'ailleurs. D'où la nécessité d'encouragements