Bizarre tout ça...

[obi76]

Bonjour,

Je préviens avant lecture, je n'ai jamais eu de cours de relativité, et à vrai dire je m'informe dessus mais juste à titre personnel, sans pousser les investigations. Ce qui va suivre est déconseillé aux âmes sensibles car je pense que certaines choses sont un peu (voire complètement) osés , et je pense même qu'il doit y avoir des abérations, mais j'aimerai savoir où elles sont.
Bref je vous pose mon problème :

Aujourd'hui un problème m'est venu à l'esprit. Le but que je me suis fixé est de déterminer la vitesse de libération d'un objet soumis à un champ gravitationnel. Pour cela je voulais tout d'abord résoudre la hauteur d'un objet en fonction du temps soumis à une vitesse verticale, où l'on ne prend en compte que la gravité (mais en la considérant variable avec la distance de l'objet).

J'ai . Résoudre ce problème, I.E. déterminer r(t) revient à résoudre : .

N'étant pas matheux pour un sou, je me suis dis que faire de la physique avec les mains c'était plus propre et élégant que de résoudre ce genre d'équation.
Je me suis donc dit "pour déterminer la vitesse de libération, il faudrai que le travail de la gravité soit TOUJOURS inférieur à l'énergie cinétique fournie à l'objet initialement.
Sachant que si on est au dessus de la vitesse de libération, l'énergie cinétique ne s'annulera jamais (sinon l'objet aura une vitesse nulle à un moment, et rebroussera chemin). Je me suis dit qu'atteindre la vitesse de libération, ce serai fournir initialement à l'objet une vitesse telle que
, avec la distance au centre à partir de laquelle l'objet est lancé..

La condition limite, donc la vitesse de libération vérifierai donc .
On obtient .
Je teste pour la Terre, en prenant égal à son rayon, j'obtiens , ce qui correspond exactement à la vitesse de libération des satellites.
Avec cette méthode on peut à l'inverse, trouver la distance minimale de l'objet à partir de laquelle il faut l'envoyer avec une vitesse connue pour qu'il soit libéré.
J'approfondis un peu et je demande à un pote "Le rayon de Schwarzschild c'est combien ?".
Réponse : , et là un gros choc : en prenant la vitesse maximale que peut prendre un objet : c, on trouve par ma méthode le Rayon de Schwarzschild.
Une question m'interpelle. En gros j'ai déterminé le Rayon à partir duquel tout objet "lancé" depuis l'intérieur devra finir sa vie dedans, mais cela n'exclut pas le fait qu'il puisse le traverser !
L'horizon serai donc une frontière spatiale en dessous duquel tout objet devra finir sa vie sans exclure qu'il pourra en sortir.
Autre point, j'ai pris l'énergie initiale Newtonienne, en la prenant relativiste et en faisant tendre la vitesse d'un objet vers c, on détermine qu'un objet massique envoyé suffisamment rapidement aura une énergie telle que le travail de la force gravitationnelle ne pourra jamais le contrecarrer, donc en somme qu'il pourra s'échapper du trou noir.
Dernière chose, prendre la vitesse d'une entité égale à c, et trouver une équation indépendante de la masse mais uniquement de la distance au centre d'où il a été émis, cela serai donc valable pour les photons. Mais à la différence d'une particule relativiste, les photons ont une énergie bien définie (qui évidement ne dépend pas de leur vitesse). par conséquent ils sont obligés, une fois avoir traversé l'horizon (en étant émis de l'intérieur) de devoir y retourner.

DONC ma conclusion complètement farfelue : les photons ne peuvent pas sortir d'un trou noir (enfin si mais ils devront y retourner car émis à l'intérieur de l'horizon), à la différence de particules massiques relativistes dont l'énergie sera telle qu'ils pourront sortir sans jamais y retourner.

Je sais que je délire complètement (moi et la relativité, c'est à titre purement de loisir je n'ai aucune compétence là dedans), mais pourriez vous me dire ou est l'erreur de mon raisonnement ?
les 2 conclusions (à priori fausses) sont : un objet peut sortir d'un trou noir, mais s'ils a été émis dedans il ne pourra qu'y retourner
un photon ne peut pas en sortir pais une particule relativiste d'énergie suffisante si.

Ou est le défaut dans mon raisonnement (et au passage si un matheux pouvait me résoudre le )

Merci de votre patience...

Cordialement (et merci)
-----

[invitea774bcd7]

Là tout de suite, je vois un problème d'homogénéité dans une des deux équations…

[obi76]

Désolé j'ai mis une racine en trop :

[invite88ef51f0]

Salut,
Premièrement, il est vrai qu'on peut retrouver le rayon de Schwarzschild facilement dans un cadre newtonien. D'ailleurs historiquement, Laplace avait vu ça et avait prédit l'existence d'"astre occlus", dont la lumière ne pourrait pas s'échapper. Sauf que ça utilisait un modèle corpusculaire de la lumière qui a été mis à mal par les évidences du caractère ondulatoire de la lumière, et qu'en mécanique newtonienne rien n'empêche d'aller plus vite que la lumière. Le fait qu'on trouve bien le rayon de S. vient surtout du fait que si on fait un peu d'analyse dimensionnelle c'est le seul moyen de construire un rayon à partir des constantes qu'on a sous la main (sauf le 2 qui est un coup de pot).

Pour ce qui est de ton problème final, tu fais un joyeux mélange de mécanique newtonienne et de mécanique relativiste. En mécanique relativiste, il faut prendre compte le fait que l'inertie augmente avec la vitesse, et l'expression de l'énergie cinétique est plus compliquée.

[A voir en vidéo sur Futura]

[obi76]

Ben le problème c'est que le résultat ne dépend pas de la masse (et même en rajoutant le facteur de Lorentz, il n'en dépendrai pas non plus). Je peux donc extrapoler la chose en disant qu'une entité, qu'elle ai une masse ou pas aurai une trajectoire qui pourrai traverser l'horizon (dans le sens intérieur-> extérieur) mais qu'elle devra y retourner nécessairement non ?

[obi76]

D'ailleurs si je prend l'énergie cinétique initiale, non plus égale à mais , je trouve que lorsque v->c, le rayon de libération tend vers 0 ce qui va dans le sens de ce que j'ai dis au dessus... Je m'enfonce mais n'empêche c'est curieux...

[invite88ef51f0]

L'énergie cinétique en relativité vaut ( est l'énergie totale).

[obi76]

Avec ?


En quel cas, ce qui revient encore à lorsque que v-> c...

[invite88ef51f0]

Oui, ça veut dire que la seule solution pour que ton corps s'échappe est d'avoir un Rs nul. Dit autrement, si Rs est non-nul, tu ne peux pas t'enfuir si tu es en O.

[obi76]

Ca d'accord, mais si tu es justement entre 0 et (genre ), tu ne pourrai quand même pas envoyer quelque chose de l'autre coté ?

[Sylvain1981]

En faisant moi-même un mélange de mécaniques newtonienne et relativiste, ie en prenant l'expression de l'énergie cinétique donnée par Coincoin mais en gardant l'expression du travail que tu as donnée obi76, j'obtiens pour valeur du "Rayon de Schwarschild alternatif", que je note R_a : R_a=(1+(racine de 2)/2)×R_s avec R_s rayon de Schwarschild. Du coup je me dis : "a problème là..."
Et de fait, j'ai réfléchi que l'expression du travail élémentaire delta_W=F scalaire dl ne pouvait pas convenir, car en relativité (générale), le champ de gravitation modifie la métrique de l'espace-temps ! Seulement pas de bol, je n'ai jamais rien compris aux tenseurs (comme quoi les tests de QI ça vaut pas un clou) alors je n'ai pas pu creuser la question. Je regarderai le poly de relativité qu'une camarade (si si : elle fait trop d'ski* ) de la fac m'a passé pour en avoir le coeur net, car il y est question de la métrique de Schwarschild (à propos je ne garantis pas l'orthographe, n'ayant jamais fait d'allemand sérieusement). Je trouve quand même bigrement étonnant qu'on trouve l'expression exacte du rayon de Schwarschild dans un cadre purement newtonien : rien que ça ça mérite des investigations il me semble.

PS : je ferai un effort en TEX si et seulement si ça marche comme sur www.les-mathematiques.net, merci de m'éclairer à ce sujet.

*Désolé de cet humour lamentable, mes neurones ont pris froid dans la salle de l'INSA qui once more n'était pas chauffée...

[Sylvain1981]

PS : obi76 si tu veux vraiment que ça passe de l'autre coté de l'horizon à mon avis il faut faire appel à la MQ et son fameux effet tunnel. Mais mêler la quantique à la RG* est à peu près aussi sûr que de conduire bourré à 250 km/h à l'envers sur l'autoroute en gardant les yeux fermés, et je ne maîtrise déjà pas la RG alors...

*j'ai pourtant des idées personnelles à ce sujet, mais elles risquent de s'avérer assez farfelues elles aussi.

[obi76]

*j'ai pourtant des idées personnelles à ce sujet, mais elles risquent de s'avérer assez farfelues elles aussi.

Je crois que dans le fond on a le même problème, n'empêche qu'avec ces équations là, on peut traverser l'horizon mais on ne peut qu'y revenir, sans aucun autre échappatoire.

[obi76]

Je me permets de remettre le problème sur le tapis.
Après les petites corrections, qui peut me dire pourquoi on pourrai traverser l'horizon, mais dans ces cas là on ne pourra qu'y retourner (dans le trou noir) ?

Merci d'avance

[obi76]

Personne ?

[obi76]

ça fait longtemps alors un ptit up

comment avec des équations purement newtoniennes j'ai pu trouver une caractéristique de la RG ?
Ce que je dis comme quoi une particule peut traverser l'horizon mais devra y retourner est-elle valable (je me doute que non mais pourquoi ?).

[invite40f82214]

j'ai lu juste ton premier message et j'ai pas compris pourquoi tu dis:

un photon ne peut pas en sortir pais une particule relativiste d'énergie suffisante si.

pourquoi tu dis qu'une particule relativiste pourrait en sortir alors que juste au dessus tu as refait la demonstration qu'a partir d'un certains rayon se n'est pas possible?

[obi76]

Ce que j'ai montré, c'est que le travail de la gravité ne permettra pas à la particule de s'échapper.
Donc elle peut sortir de l'horizon, mais quelque soit sa vitesse et sa direction, la gravité sera suffisamment forte pour qu'elle doive forcément revenir

[invite88ef51f0]

Salut,
J'ai la flemme de me plonger dans tes calculs, mais je peux te donner le développement de ce que techniquement on appelle "l'effondrement sphérique".

Si tu pars d'une configuration à symétrique sphérique avec une masse M dans un rayon r (peu importe comment est répartie la masse dans la sphère, d'après le théorème de Gauss, tant qu'elle est à symétrie sphérique), alors tu as l'équation du mouvement : .
D'où : .
On intègre par rapport à t : où E est ma constante d'intégration.
Si tu mets tout à gauche : tu reconnais dans le premier terme une énergie cinétique (par unité de masse) et dans le second terme l'énergie potentielle de gravitation (par unité de masse), donc E est l'énergie mécanique par unité de masse.

Ensuite, tu as deux familles de solutions en fonction du signe de E.
Si E<0, alors la solution peut s'écrire sous la forme paramètrique :


(Je n'ai jamais cherché à comprendre d'où ça venait, mais on vérifie assez facilement que ça marche).
Les constantes A et B pouvant s'exprimer à partir de GM et -E.
C'est une cycloïde. Le rayon va augmenter de allant de 0 à , puis va se mettre à diminuer et s'effondrer en un point en .

Si E>0, alors ton système n'est pas lié mais va s'expandre indéfiniment. La solution est du même genre, mais avec des cosinus et des sinus hyperboliques.

[obi76]

Je viens de voir la fin de la discussion, je n'ai pas tout à fait compris ce que tu voulais dire Coincoin, la solution de ton système c'est donc une trajectoire possible pour les objets soumis à des champs gravitationnels ?