[Spé] Mécanique

[invitec053041c]

Bonjour à vous tous.

Je viens de me retrouver face à quelque chose qui ne m'avait jamais posé problème jusqu'alors, disons que je n'avais jamais été confronté à cela.

Lorsqu'on veut calculer le moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe, on calcule (s'il est linéique par exemple):



Bon jusque là pas de problème.

Maintenant je prends une tige de longueur l et de masse m:

O+------------+A -> ex

Son moment d'inertie par rapport à l'axe passant par O et orthogonal à la tige est :



Bon, là est mon "problème": M parcourt le fil, quelle est la différence entre le fait qu'il le parcoure de O à A ou bien de A à O ? Rien vous me direz, et pourtant la différence est complète puisque le signe sera opposé.

Vous allez me dire: on s'en fout, on prend la valeur absolue car un moment d'inertie est positif, soit...
Mais maintenant je vous fais part d'un exemple où le signe est très important:

On a une poulie avec 2 morceaux de fils qui pendent de chaque côté.
Je souhaite calculer le moment cinétique du fil de droite par exemple, dois-je donc intégrer sur le fil de bas en haut ou de haut en bas ? Le signe étant primordial...

Bon, en regardant un point particulier, on peut envisager comment sera dirigé le produit vectoriel et donc leur somme globale, mais comment expliquer cela, sommes-nous obligés de passer par un dessin pour anticiper le signe ?

Je vous serais très reconnaissant si vous m'aidiez à répondre à ces questions qui me taraudent depuis 1/2h .


François
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[deep_turtle]

Salut,

Pour les moments d'inertie, les intégrales font toujours intervenir des quantités positives (longueurs et masses)

Mais maintenant je vous fais part d'un exemple où le signe est très important:

On a une poulie avec 2 morceaux de fils qui pendent de chaque côté.
Je souhaite calculer le moment cinétique du fil de droite par exemple, dois-je donc intégrer sur le fil de bas en haut ou de haut en bas ? Le signe étant primordial...

Cette fois c'est le moment cinétique qui t'intéresse, qui lui est défini proprement avec un produit vectoriel dans l'intégral, C'est un vecteur et la question du signe ne se pose pas...

J'espère que ça répond à ta question.

[invitec053041c]

Salut deep et merci de t'int"resser à mon problème

Salut,

Pour les moments d'inertie, les intégrales font toujours intervenir des quantités positives (longueurs et masses)


Cette fois c'est le moment cinétique qui t'intéresse, qui lui est défini proprement avec un produit vectoriel dans l'intégral, C'est un vecteur et la question du signe ne se pose pas...

J'espère que ça répond à ta question.

En fait pas vraiment .

Un produit vectoriel dans l'intégrale oui, mais quelle intégrale ? Celle du bout A au bout B ou celle du bout B au bout A de la tige ?

[Magnétar]

Bonsoir,

En fait pas vraiment .

Un produit vectoriel dans l'intégrale oui, mais quelle intégrale ? Celle du bout A au bout B ou celle du bout B au bout A de la tige ?

Je ne suis pas sur de comprendre ton problème mais tout dépend d'en quel point tu calcule ton moment cinétique, non ? Si tu le calcules en A alors tu intègre de A à B, ou alors je suis passé beaucoup trop vite sur la mécanique des solides.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec053041c]

Bonsoir magnétar.

Mon problème de poulie ressemble à ça:

| A +O
|
|
|
| B

La barre verticale représente le fil de la partie gauche, l'axe vertical est l'axe y, et la longueur du fil est l (par exemple).
O est décalé de R horizontalement par rapport à A (ce n'est pas important de préciser tout ça car je ne ferai pas le calcul effectif).

Alors,le moment cinétique en O par rapport au référentiel R lié à O fixe de mon fil est :



Mais est-ce ou ?

Quand on fait un petit dessin, qu'on voit que tous les points du fil ont une vitesse verticale dirigée vers le bas, alors on voit le signe du moment cinétique, donc le sens dans lequel il fat sommer sur la barre, mais bon c'est pas toujours très clair sur les dessins...
Je suis en train de me demander si une règle générale n'est pas de toujours sommer dans le sens de l'axe, donc ici de B à A...
Je ne sais pas.

[Magnétar]

Bon alors à la réflexion (après avoir posé la formule plutôt) il me semble que ça n'a pas d'importance, car comme le disait deep_turtle tu as un vecteur dans l'intégrale, ce qui revient à sommer une infinité de vecteurs qui ont chacun leur propre orientation, en fait que tu somme d'abord le vecteur puis le vecteur c'est pareil que de sommer d'abord puis . Pour s'en convaincre il faut essayer de dessiner ses "vecteurs infinitésimaux" puis de les sommer on voit bien alors que si l'on les sommes en partant de A vers B ça revient au même que de les sommer en partant de B vers A.

Un bon moyen de le voir c'est de "discrétiser" ton fil, le découper en trois parties par exemple, qui sont chacune caractérisée par la position de leur centre de masse et la vitesse de celui-ci, puis de calculer le moment cinétique en O associé à chacune de ces parties de fil, et enfin d'en déduire le moment cinétique total : celui-ci ne dépend pas de l'ordre dans lequel tu sommes les trois moments cinétiques, dans le cas continu c'est pareil sauf qu'au lieu de sommer un nombre fini de vecteurs on somme un nombre infini de vecteurs infinitésimaux.

J'essaye d'être clair mais je n'y arrive pas. Je réessaierai un truc plus clair demain.

[invitec053041c]

Bonsoir, et merci pour ton aide précieuse magnétar.

Je suis face à un autre petit problème:
Si je me donne par exemple un fil de longueur L ,de répartition massique non uniforme, avec par exemple la loi:
m(x)=x²/L² m

Comment faites-vous pour avoir la masse totale ? On passe par une intégrale:



Mais j'ai toujours un peu de mal à trouver un dx en passant par dm, tout en restant homogène et en faisant un raisonnement pas trop faux.

Si quelqu'un pouvait juste poser le calcul pour que je m'en imprègne, car là je bloque un peu (décidémment en ce moment je me bloque sur des détails...)

Merci.

[invitec053041c]

Je viens de penser à quelque chose, et je pense que la réponse est là.

On définit une distribution de densité massique (lambda(x), sigma(x,y), rho(x,y,z)) et non une distributin massique pure,enfin il me semble.
Avec cela, on relie facilement dx à dm, par dm=lambda(x)x etc...

Donc dire, m(x)=(x/L)²m n'a pas vraiment de sens.

Me trompe-je ?

[.:Spip:.]

Bonsoir, et merci pour ton aide précieuse magnétar.

Je suis face à un autre petit problème:
Si je me donne par exemple un fil de longueur L ,de répartition massique non uniforme, avec par exemple la loi:
m(x)=x²/L² m

Comment faites-vous pour avoir la masse totale ? On passe par une intégrale:



Mais j'ai toujours un peu de mal à trouver un dx en passant par dm, tout en restant homogène et en faisant un raisonnement pas trop faux.

Si quelqu'un pouvait juste poser le calcul pour que je m'en imprègne, car là je bloque un peu (décidémment en ce moment je me bloque sur des détails...)

Merci.

Salut Ledescat, je vais essayer de t'aider un peu.


alors pour ca : m(x)=x²/L² m
ben tu peux defnir un \lambda(x) masse par unité de longueur
ca donne :


ensuite, on intégre
et là c'est bon tu as ta masse, sauf erreur de ma part.

Sinon, pour ta barre de tout en haut, tu peux caculer ton moment d'inertie au mileu de ta barre (intégre entre -l/2 et l/2) et prendre un coup de huygens pour l'avoir où tu veux...


François

[.:Spip:.]

tiens, je repense à un truc sur ton inversion de borne d'intégrale...

j'ai peur de dire une boulette quand meme mais je dis

tu as par exemple

bon, le , c'est juste pour dire, c'est le rho en x,y,z par ex, c'est mon vecteur position.

Mais dans le d^3\vec{r} , tes eleements différentiels sont orientés ! Sonc, si tu t'amuses a retourner tes bornes, tu parcours selon donc, tu dois remettre un "-" ...

Si je suis pas clair, je rajoute ceci : lorsque tu calcules l'intégrale de tu prends bien en compte l'orientation de ta surface. c'est pas pareil qu'un dS ...

de toute facon, il est clair que l'on doit avoir qqch de positif quelques soit le sens, car si on reprend la meme formule mais dans le cas discret, on a un nombre fini de point, que j'ajoute d'abord cet atome ci, ou bine l'atome la bas, ca doit pas changer mon résultat.

Enfin, moi je le vois comme ca...

François

[invitec053041c]

Merci :spip: !
Je me doutais bien qu'il fallait passer par une distribution linéique de la forme lamda(x).

Sinon, mon histoire de moment cinétique n'est pas un problème de calcul, j'ai simplement voulu comprendre le sens physique de:

Et il semble que dans le cas présent (comme pour calculer ), ce "-" ne signifie pas grand chose. En effet, dire que l'on somme dm de A jusqu'à B ou bien de B jusqu'à A est identique (au sens physique du terme). Pourtant, niveau calcul ça colle pas.

J'en ai déduit une sorte de règle: il faut toujours intégrer avec a<b (en physique) ,et de manière générale dans le sens croissant des axes, et ce pour obtenir un résultat positif lorsque le sens physique attend un résultat positif, et un résultat négatif lorsque le sens physique attend un résultat négatif.


PS: si tu as un peu de connaissances en chimie, j'ai aussi un petit problème... (et là c'est à rendre ).


Merci pour ton aide en tout cas.

EDIT: je viens de voir ton nouveau post, et je suis d'accord avec toi . Les surfaces, longueurs etc...sont orientés. D'où ma sorte de "règle" .

[.:Spip:.]

re je suis pas sur que tu as lu mon messag d'il y a 4 min, que j'ai posté quand tu m'as répondu ...

je ne me suis pas plongé dans ton moment cinétique, j'ai juste traité tes problemes d'inerties ...


Fr.