Formalisme Lagrangien:au secours!!

[invite37ecd276]

Salut à tous,
J'étudie en ce moment la mécanique analytique en cours.
Nous en sommes au formalisme Lagrangien que nous avons introduit à partir du principe de Hamilton.
Je me pose quelques questions au sujet de ce nouveau formalisme et je cherche quelqu'un qui puisse éclairer ma lanterne.

Déjà, je me demande le lien qu'il existe entre ce formalisme et celui de Newton.Attention, mathèmatiquement ,je connais mon cours et je sais retrouver les équations de Newton à partir de celle de Lagrange et vice versa.
Ma question ce porte plutôt au niveau de l'introduction des concepts: est ce que le principe de moindre action est une principe fondamental équivalent aux postulats fondamentaux de la mecanique(je sais au moins que la réponse est oui pour le second postulat de Newton mais aucune idée pour l'existence des référentiels inertiels et les actions/reactions) .
Ensuite est ce que l'expression du Lagrangien en mécanique classique découle des lois de Newtons pour être intégré dans le principe de Hamilton?

Désolé si je ne suis pas clair mais je patauge un peu et j'espere que quelqu'un pourra me donner une bouée de secours...
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[Jeanpaul]

La mécanique lagrangienne est une autre façon de considérer les interactions entre objets : au lieu de dire qu'un objet exerce une force sur un autre, on va dire qu'ils présentent une énergie d'interaction.
C'est moins commode pour des problèmes très pratiques, surtout quand il y a frottement, mais c'est bien plus sympa quand il y a de nombreux degrés de liberté (ça évite notamment les erreurs de signes).
De plus, le concept de Lagrange ou Hamilton se transpose bien en Mécanique Quantique, ce qui n'est pas le cas pour la Mécanique newtonienne.

[Sephi]

Le mécanisme lagrangien permet aussi d'isoler les degrés de liberté d'un système (coordonnées de Lagrange) afin de travailler avec le plus de confort possible. Et enfin, Joseph-Louis de Lagrange est super, donc ça vaut le coup rien que pour ça

[invite37ecd276]

Je vous remercie pour vos réponses mais je connais ceci: l'expression du Lagrangien en mécanique classique me permet de voir directement que je travaille avec de l'energie, tout comme l'expression de l'Hamiltonien qui lui même represente une energie totale.
De plus le fait que les eq de Lagrange ou de Hamilton ne dépendent pas du sytéme de coordonnée nous permet de travailler confortablement avec les systémes les mieux adaptés en faisant disparaitre les forces de contraintes dont on ne connait pas toujours les expressions.
Quand à la généralité de ces formalisme, je le connais:j'ai deja commencé à introduire le lagrangien relativiste(en relativité restreinte) et le hamiltonien est plutôt chose courante dans l'équation s de Schrödinger par exemple.

Je me pose des questions plus fondamentales car j'essaie de lier concretement les choses dans ma tête.D'ou viens le principe de moindre action?Quest ce qu'un Lagrangien?Le definition de la meca classique est L=T-V(T energie cinétique,V en pontentielle) pour un systéme quelconque; je sais aussi qu'il existe en économie, avec une expressions différente(entre autre). De plus on l'a utilisé pour calculer la distance minimale entre deux points en géometrie euclidienne et riemanienne avec une expression différente.

merci encore pour vos réponses....

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jeanpaul]

On connaît bien le principe de moindre chemin en optique :la lumière, de par sa nature ondulatoire va "flairer" tous les chemins possibles. Quand la distance atteint un minimum, les ondes vont avoir la même phase et vont s'ajouter : c'est le chemin que prennent les rayons.

On peut généraliser cela à des particules ou des systèmes macroscopiques : c'est le principe de moindre action de Schwinger. A chaque trajectoire (dans l'espace des phases x -p), on associe une amplitude complexe, dont la phase est l'action L.t. Les particules vont essayer tous les chemins et ne retenir que celui où l'action est minimale.

[deep_turtle]

Il y a une discussion très intéressante du principe de moindre action dans le bouquin de Goldstein de mécanique. En gros, la mécanique quantique te dis que les objets sont décrits par une fonction d'onde. C'est cette onde qui "explore" tous les chemins possibles, en interférant destructivement prsque partout, sauf le long d'une ligne qui se trouve être la trajectoire classique, et qui se trouve aussi rendre l'action extrémale (l'action a un lien très fort avec la phase quantique des objets, et ce n'est pas un hasard si une condition d'interférence constructive, sur la phase donc, est reliée à une condition d'extrémum de l'action...).

[j.yves]

Je suis d'accord avec deep_turtle que la raison profonde pour laquelle on retrouve le lagrangien partout en mécanique comme en optique géométrique, c'est le caractére ondulatoire sous-jacent. En économie, je ne connais pas, mais j'imagine que ce sont simplement des problèmes de minimisation sous contraintes?

[BioBen]

Salut à tous,
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étant donné que je pense que je vais commencer ce genre de truc bienot (en tout cas ca a l'air interessant) : "formalisme lagrangien" et les trucs de Hamilton (principe de Hamilton ?), est ce que quelqu'un pourrait me filer ou quelques sites internet qui présentent simplement (niveau L1) ces "choses" (pour moi c'est encore des choses, en fait je sais aps comment les appelrer), ou m'en faire une rapide présentation, je suis preneur.
PS : Prenez pas 2h, y'a rien d'urgent ni de très important
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Merci beaucoup
a+
ben

[j.yves]

Au risque de paraître vieux jeu... il y a des livres qui sont très bien sur le sujet, tu les trouveras facilement à la bibliothèque de ta fac: le titre est mécanique classique, et l'auteur, tu peux prendre Goldstein ou Landau-Lifshitz, les deux sont traduits en français. Ca te prendra un certain temps si tu veux le faire en profondeur, mais ça ne sera pas du temps perdu. En principe accessible en L1, le seul bagage mathématique dont on ait besoin c'est l'intégration par parties... et les dérivées partielles, aïe... mais c'est pas compliqué les dérivées partielles. Bon courage...

[BioBen]

OK merci beaucoup pour les indaications.
Pour ce qui est des dérivées partielles et des integration par parties, ca je sais faire
a+
ben