Champ magnétique créé par 2 fils rectilignes

black templar · 19/01/2008 - 11h03

Bonjour à tous.

J'ai calculé le champs magnétique créé par 2 fils rectilignes supposés infini en un point M entre ces 2 fils (dans le plan des 2 fils)
J'en ai ensuite déduit l'inductance du système.

Voila mes calculs :

L : inductance
x : distance entre l'axe Y et le point M
a : distance entre l'axe Y et les fils (le fil 1 est placé à -a et le second à +a)
I : l'intensité parcourant les fils (sens de déplacement opposé)
$\epsilon$ : épaisseur du fil
(Conférer schéma)

$\oint_\Gamma \vec{B}.\vec{dl} = \mu_0 I$

$\vec{B_1} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi (a - x)}.\vec{e\theta}$

$\vec{B_2} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi (a + x)}.\vec{e\theta}$

$\vec{B_{total}} = \vec{B} = \frac{\mu_0 a I}{\pi (a^2 + x^2)}.\vec{e\theta}$

$\Phi = \int_S \vec{B}.\vec{dS} = \int_{\epsilon-a}^{a-\epsilon} \frac{\mu_0 I a}{\pi (a^2 + x^2)}.dx = \frac{\mu_0 I}{\pi} [\arctan(\frac{x}{a})]_{\epsilon-a}^{a-\epsilon}$

$\Phi = \frac{2 \mu_0 I}{\pi} \arctan(1-\frac{\epsilon}{a})$

$\Phi = I L$

$L = \frac{2 \mu_0}{\pi} \arctan(1-\frac{\epsilon}{a})$

Voila.
D'abord, j'aimerais savoir si je n'ai pas fait d'erreur, parce que des Arctg dans mes résultats, ça me semble bizarre ...

Ensuite, j'aurais voulu savoir si ces calculs sont bon si je prend une épaisseur du fil non négligeage par rapport à l'écartement des 2 fils ?

Merci à vous.

Jeanpaul · 19/01/2008 - 13h17

Je ne vois pas d'où vient le a² + x² et en plus ça ne me paraît pas homogène. De plus on a en général des ennuis quand le rayon du fil tend vers zéro, ce qui n'est pas le cas ici.

alien49 · 19/01/2008 - 13h33

salut,

attention (a+x)(a-x) = a²-x², ce qui t'enlèvera les arctan !

black templar · 19/01/2008 - 22h55

Envoyé par alien49

salut,

attention (a+x)(a-x) = a²-x², ce qui t'enlèvera les arctan !

En effet, petite erreur de calcul :

donc l'arc tangente est remplacé par un Argth(

Envoyé par Jeanpaul

Je ne vois pas d'où vient le a² + x² et en plus ça ne me paraît pas homogène. De plus on a en général des ennuis quand le rayon du fil tend vers zéro, ce qui n'est pas le cas ici.

Comme l'Argth( est une fonction défini sur ]-1 ; 1[ il y a un problème quand l'épaisseur du fil est égal à 0 (ce qui n'est bien sur pas réalisable ^^)

$\vec{B_{total}} = \vec{B} = \frac{\mu_0 a I}{\pi (a^2 - x^2)}.\vec{e\theta}$

$\Phi = \frac{2 \mu_0 I}{\pi} Argth(1-\frac{\epsilon}{a})$

$L = \frac{2 \mu_0}{\pi} Argth(1-\frac{\epsilon}{a})$

Je repose donc ma question :

Si j'ai par exemple deux fils de 2cm d'épaisseur séparé de 4cm. Est ce que ça implique d'autre calcul du champ magnétique et de l'inductance ou alors ceux là sont valable ??

Je me pause aussi une autre question : si on imagine une expérience du rail de laplace sur ces 2 fils.
Vu que l'on a un champ magnétique stationnaire mais non uniforme (dépendant de x) comme ça marche vu qu'il y aura un champ magnétique plus fort qui s'exercera sur les extrémités du rail mobile et moins forte au centre entre les 2 fils ??

alien49 · 19/01/2008 - 23h19

Envoyé par black templar

En effet, petite erreur de calcul :

donc l'arc tangente est remplacé par un Argth(

Comme l'Argth( est une fonction défini sur ]-1 ; 1[ il y a un problème quand l'épaisseur du fil est égal à 0 (ce qui n'est bien sur pas réalisable ^^)

$\vec{B_{total}} = \vec{B} = \frac{\mu_0 a I}{\pi (a^2 - x^2)}.\vec{e\theta}$

$\Phi = \frac{2 \mu_0 I}{\pi} Argth(1-\frac{\epsilon}{a})$

$L = \frac{2 \mu_0}{\pi} Argth(1-\frac{\epsilon}{a})$

Je repose donc ma question :

Si j'ai par exemple deux fils de 2cm d'épaisseur séparé de 4cm. Est ce que ça implique d'autre calcul du champ magnétique et de l'inductance ou alors ceux là sont valable ??

Je me pause aussi une autre question : si on imagine une expérience du rail de laplace sur ces 2 fils.
Vu que l'on a un champ magnétique stationnaire mais non uniforme (dépendant de x) comme ça marche vu qu'il y aura un champ magnétique plus fort qui s'exercera sur les extrémités du rail mobile et moins forte au centre entre les 2 fils ??

je pencherais plus pour des ln (avec une petite décomposition en éléments simples ca s'intègre tout seul

)...mais ca fait longtemps que j'ai pas utilisé les fonctions hyperboliques avec leur équivalent avec les fonction "usuelles" donc ca revient peut-être au même.
ensuite pour ton problème de fils de 2cm et tout, normalement cette formule est valable, tant que la situation physique est possible (pas prendre des fils de rayon 10cm écartés de 1cm par exemple, ce qui est irréalisable) Avec 2cm écarté de 4cm, tu te places dans le cas où les fils se touchent, donc j'ai des doutes quant à la validité du calcul (quoique normalement ca passe en cas limite)....

pour les rails de Laplace, c'est comme pour un champ magnétique uniforme, sauf que l'expression du flux est un peu plus compliquée, mais c'est toujours l'intégrale de B.dS (vecteurs en gras) avec dS = dx.dy, et B qui dépend de x.

Jeanpaul · 20/01/2008 - 09h10

On m'a toujours appris (mais ça fait un bail) qu'on ne pouvait calculer une inductance que par une intégrale volumique justement à cause de la divergence si le fil est infiniment fin.
Pour l'expérience des fils de Laplace, le barreau va bouger pour satisfaire au critère du flux maximal. On le voit en regardant les forces.

black templar · 20/01/2008 - 13h13

hum...

ça devient de plus en plus compliqué ...

en fait I dépend de t (décharge d'un condensateur) donc B aussi...

pour le rail de Laplace, je trouve :

$m . \frac{d\vec{v}}{dt} = 2 . B(x, I(t)) . I(t) . (a - \epsilon) \vec{ey}$

$E(t) = R . I(t) + 2. B(x, I(t)) . v(t) . (a - \epsilon)$

avec E la tension délivré par les condensateurs (de la forme : $E(t) = E_{cond}(1 - e^{-\frac{t}{R.C}})$ avec C : capacité du condensateur)

En gros, c'est pas trop faisable ...

Enfin, une petite question quand même parce que je ne vois toujours pas quel valeur de B prendre pour la barre.

le barreau va bouger pour satisfaire au critère du flux maximal.

C'est à dire, je ne comprend pas ...
Pour B, je prend quoi pour ma barre ?? Bmoyen ?? quelle valeur ??

Les exercices, je sais les faire séparément : le rail de Laplace dans un champ uniforme, je sais faire ! mais dès que j'essaye de faire un truc un peu plus complexe en regroupant 2 exo, je suis complètement pommé ...

alien49 · 20/01/2008 - 13h38

Envoyé par Jeanpaul

On m'a toujours appris (mais ça fait un bail) qu'on ne pouvait calculer une inductance que par une intégrale volumique justement à cause de la divergence si le fil est infiniment fin.
Pour l'expérience des fils de Laplace, le barreau va bouger pour satisfaire au critère du flux maximal. On le voit en regardant les forces.

pour moi on calcule plutôt l'inductance en partant du flux, donc par une intégrale surfacique, pas volumique...

C'est à dire, je ne comprend pas ...
Pour B, je prend quoi pour ma barre ?? Bmoyen ?? quelle valeur ??

On a (vecteurs en gras) dF(x) = I dx vect B(x)
en passant en norme (tous les dF sont dans le même sens, donc on pourra sommer les normes après) :
dF(x) = I B(x) dx
Il suffit ensuite d'intégrer sur la longueur de la barre pour avoir la force de Laplace.