Théorème de réciprocité des contraintes : incompréhension

[erff]

Bonjour tout le monde,

Je voulais juste comprendre qque chose à propos du théorème de réciprocité des contraintes (ou de Cauchy) en Mécanique des Milieux Continus (les solides en particulier)

- Nous avons démontré que le tenseur des contraintes était symétrique en utilisant le PFS (somme des moments en le centre = 0) sur un petit cube : jusque là pas de soucis.
Le pb est que nous utilisons encore le fait que ce tenseur est symétrique alors que nous faisons de la dynamique des solides déformables :
Comment se fait il qu'un résultat s'appuyant sur de la statique soit encore valable en dynamique ?
Est ce une approximation ? ou y a t-il une preuve plus générale utilisant de la dynamique ?

Merci
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[b@z66]

Bonjour tout le monde,

Je voulais juste comprendre qque chose à propos du théorème de réciprocité des contraintes (ou de Cauchy) en Mécanique des Milieux Continus (les solides en particulier)

- Nous avons démontré que le tenseur des contraintes était symétrique en utilisant le PFS (somme des moments en le centre = 0) sur un petit cube : jusque là pas de soucis.
Le pb est que nous utilisons encore le fait que ce tenseur est symétrique alors que nous faisons de la dynamique des solides déformables :
Comment se fait il qu'un résultat s'appuyant sur de la statique soit encore valable en dynamique ?
Est ce une approximation ? ou y a t-il une preuve plus générale utilisant de la dynamique ?

Merci

Cela peut dépendre du fait que le principe de la dynamique s'applique ou pas ici à des éléments de masse très faible (atomes, molécules...). Je sais qu'en électricité, c'est la raison principale pour laquelle la masse des électrons n'est pas prise en compte dans les calculs: on considère que l'équilibre des forces est toujours réalisé (on doit monter au delà de la dizaine de GHz pour que cette approximation ne soit plus valide). Je ne sais pas si ce raisonnement peut s'appliquer en mécanique des milieux mais cela peut être un indice.

[erff]

Bonjour et merci pour cette réponse.

Je vois bien où tu veux en venir, mais dans notre cours, on a un chapitre où on démontre ce théorème grâce à de la statique, et dans le chapitre d'apres on fait de la dynamique, donc l'égalité utilisée précédemment n'est plus vraie car on a un terme d'accélération que l'on ne néglige pas dans les calculs.

J'aurais donc aimé connaître les raisons "physiques" de cette approximation (une preuve).

Donc si qqun connaît ces raisons...qu'il n'hésite pas


Merci

[Jeanpaul]

Ma réponse s'est perdue par une interruption, je crois.
La raison de la symétrie est celle que tu donnes : on dit que le couple sur un petit couple de côtés dx, dy et dz est nul.
Supposons qu'il ne soit pas nul parce que le tenseur n'est pas symétrique.
Alors le couple est proportionnel à dx*dy*dz* la différence des tenseurs.
Ce couple vaut dI A" où dI est le moment d'inertie du cube, A" l'accélération angulaire (finie). On voit assez bien que dI est du genre M R² donc du 5ème ordre.
D'où la conclusion.
Je crois qu'il en irait autrement si le milieu était magnétique parce que dans ce cas il subit un couple du genre dM x B (produit vectoriel) et dM est du 3ème ordre en dx*dy*dz. Alors ça ne marche plus.

[A voir en vidéo sur Futura]

[erff]

Merci

Donc si je comprends bien, il est d'usage de négliger le moment dynamique (donc cinétique) des particules élémentaires.

D'ailleurs je viens de tilter sur qque chose, on s'est toujours intéressé à l'equation de résultante dynamique, mais jamais celle des moments car on nous dit que celle-ci était automatiquement vérifiée CAR le tenseur est symétrique...En fait ce qu'on a voulu dire c'est qu'en calculant le moment dynamique, on se serait rendu compte qu'il aurait fallu tout négliger, et du coup on serait retombé sur le théorème de Cauchy...non ?

En tous cas merci.

[Jeanpaul]

Ce mot de particule élémentaire ne me convient pas, il s'agit d'un élément de volume infiniment petit.