Mouvement d'une particule chargee dans un champ magnetique lineaire

[Olorin]

Bonjour,

Voila, j'essaye de resoudre analytiquement le probleme du mouvement d'une particule chargee dans un champ magnetique lineaire (de la forme ax+b). l'equation differentielle que j'obtiens est vraiment horrible:
(m/e)*( x'''/(ax+b) - ax'x''/(ax+b)^2) = - (e/m)*(ax+b)x'

je me demandai si il y avait des solutions analytiques connues pour ce probleme, ou bien comment les obtenir avec mathematica par exemple, parce que meme avec mathematica, je n'y arrive pas (message d'erreur : icomplete expression, more input needed...). Si quelqu'un reussi avec l'une ou l'autre de ces methodes, je serai ravi de savoir comment.
Merci par avance.
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[inviteaccb007d]

Bonjour,

Comment obtiens-tu cette équation du mouvement ?
Quelles sont tes hypothèses de départ ?
- le champ B est orienté suivant ex B = B(x) ex=ax+b ex
- les conditions initiales de ton mouvement positions et vitesses de ta particule

Merci

Cordialement,

[inviteb5395d7e]

il faut que tu trouves dabord l'équation de ton champ magnétique avec le théorème d'Ampère surement.

[Olorin]

Bonjour,

Le mouvement de la particule est plan ( v = vx + vy ), le champ est suivant z et est de la forme Bz = ax + b. La seule force appliquee a la particule est la force de Laplace qv X B. L'equation differentielle du mouvement est facile a obtenir bien que sa solution me semble loin d'etre evidente a trouver, et j'en vient meme a me demande si celle ci existe vue la tete de l'equation a resoudre. Numeriquement, le probleme peut etre solutionne avec un bon algorithme d'integration, mais j'aimerai quand meme avoir la solution analytique pour tester la consistance de mon schema numerique.
Bien cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Olorin]

ah oui, concernant les conditions initiales, elles sont quelconques,
ie x0,y0,z0,vx0,vy0,vz0.
Cordialement.

[inviteaccb007d]

Bonjour,

Tu peux simplifier l'équation du mouvement de la particule soumis à B.
En effet, l'énergie cinétique de la particule est conservée dans le temps donc v = v0.
Tu peux donc simplifier ton équation de départ en posant x'=v0*cos (theta) et y'=v0*sin(theta) et obtenir une équation sur l'angle qui se réduit à la forme suivante : avec où est l'angle initiale (t=0). Je ne suis pas sur à 100% de mes calculs...

Je ne sais pas si il y a une solution analytique à cette intégrale mais c'est peut-être plus facile à intégrer numériquement que ton équation de départ.

De plus, une fois que tu connais la variation de l'angle theta dans le temps, tu en déduis la position et la vitesse de la particule dans le temps par dérivation.


Cordialement,

[inviteaccb007d]

Oups, une p'tite erreur dans la formule de l'angle