mouvement rectiligne NON uniformement accéléré

[galaxien]

Deux objet de même masse m (séparés par une distance r0), qui s'attire par la force gravitationnelle :
F = Gmm/r²

Un est considéré comme fixe, et l'autre à une vitesse initiale v0 nulle.
La vitesse en r est v = racine[ 2Gm ( 1/r - 1/r0) ]

Pour calculer le temps j'ai obtenu sur un site internet cette formule mais je ne suis pas sûr de son exactitude :
t - t0 = intégrale de r0 à r [ dr / v ]

ce qui donne t - t0 = intégrale de r0 à r [ dr / racine[2Gm ( 1/r - 1/r0)] ]

Peut-on me dire si elle est exacte et si on peut calculer cette intégrale (j'ai essayer avec changement de variable, intégration par partie ...AU secours! (vais-je devoir utiliser une méthode de calcul approchée?)

[calculair]

J'ai commencé à calculer ton problème

La force qui agit est F = G m m / R²

Cette force est portée par la droite qui relie les 2 centre de gravité. Le problème est donc à 1 dimension

la relation de la dynamique F = m a conduit à

G m m / R² = - m d²R / dt²

dR/ dt = 2 G m / R - 2 G m / R° =

En integrant une 2° fois

R = 2 G m Log R - 2 G m Log R° - 2 G m t / R°

et donc t = (R R° - 2 G m Log R + 2 G m Log R° ) / ( 2 G m )

en faisant R = 0 c'est le choc des 2 masses .........

J'ai fait ça directement verifie quand même.....


Il y a un oS ! quand R = 0 F est infinie, mais la densité de la masse m l'est aussi..........il faut envisager un R min si non c'est le trou noir!

Qu'en penses tu ?

[galaxien]

Pour l'intégrale de dR/dt il me semble que c'est ln plutôt que log, mais bon cela me semble juste.
Pour mon problème je n'ai pas besoin d'aller jusqu'au choc, et j'ai en effet une distance minimale (sinon effectivement il y a un os comme tu dis)

[Magnétar]

Bonjour,

G m m / R² = - m d²R / dt²

dR/ dt = 2 G m / R - 2 G m / R° =

En integrant une 2° fois

R = 2 G m Log R - 2 G m Log R° - 2 G m t / R°

et donc t = (R R° - 2 G m Log R + 2 G m Log R° ) / ( 2 G m )

en faisant R = 0 c'est le choc des 2 masses .........

J'ai fait ça directement verifie quand même.....

Bon je ne voudrai pas jouer les rabats joies mais pour moi c'est faux car tu intègre d'un coté de l'égalité sur t et de l'autre sur R et tu n'as pas le droit de faire ça. Bon après j'ai peut-être loupé quelque chose. De toute façon dimensionellement parlant c'est faux.

[galaxien]

Non, en fait j'étais pas vraiment réveillé.
La première formule est juste (la relation de la dynamique) , mais la suivante est fausse car tu intègre d'un côté suivant R et de l'autre suivant t.
dR/dt correspond à la vitesse que tu peux obtenir grâce à la loi de conservation de l'énergie (énergie cinétique à l'arrivée : 1/2mV² = énergie potentielle de départ Gmm(-1/R0 + 1/R)) , sachant qu'en partant de la relation de la dynamique F= ma tu peux obtenir l'énergie potentielle :
En intégrant F par rapport à R : Epot = -Gmm/R
On a donc la vitesse :
1/2mV² = Gmm(-1/R0 + 1/R) => v² = 2Gm(-1/R0 + 1/R) =>
v = racine[ 2Gm(1/r - 1/r0) ]

[galaxien]

En même temps bravo!

[Magnétar]

Bon alors juste une idée comme ça :

on applique le PFD ce qui donne :



en multipliant chaque termes par dr/dt :



on peut alors intégrer terme à terme :



puis par séparation de variables :



puis on intègre terme à terme et on obtient r(t).

[galaxien]

Sur la fin (la dernière formule) ça ne serait pas racine[ 2GM ]*dt ?

En faite ce que tu veux me dire c'est que c'est tout simplement intégrale de racine de R à la constante près :
t = (1/racine[2GM]) * intégrale de racine[R] dR

donc t - t0 = (1/racine[2GM]) * 2/3 * [R puissance 3/2] de R à R0 ?

[Magnétar]

Oui tout à fait désolé j'ai zappé le 2 mais sinon oui c'est ça.

[galaxien]

Merci Magnetar, tu es un dieu, je vais pouvoir, grâce à toi, continuer mes calculs.
Cordialement Galaxien