Pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué.

[Les Terres Bleues]

Bonjour,

Dans un espace tridimensionnel, l’invariant est, pour la géométrie euclidienne, le carré de la distance infiniment petite qui sépare deux points : ds² = dx² + dy² + dz². S’il s’agit d’un plan, il n’y a pas lieu d’écrire le troisième terme du polynôme et l’on retrouve le théorème de Pythagore. Si nous ne gardons qu’une dimension, il ne reste plus que l’équation de deux carrés impliquant en valeur une égalité de leurs racines, et nous écrirons alors que l’invariant de la droite est la distance entre deux points. En ce qui concerne le continuum spatio-temporel, une variable complexe est ajoutée. Dans le cas plus général d’une topologie d’où sont absentes les conditions d’orthogonalité et dans laquelle les figures géométriques s’étirent, se compriment ou se déforment arbitrairement avec pour seule contrainte, celle de la continuité spatiale, c’est-à-dire aucune déchirure, l’invariant sera décrit par la somme des carrés et des produits deux à deux des projections sur les axes de la distance entre les points. En désignant les dimensions (x, y, z) par (x₁, x₂, x₃), et en affectant g, le coefficient de ces produits, d’indices qui expriment les coordonnées différentielles (g₁₁ étant associé par exemple au carré dx₁ ², et g₂₃ au produit dx₂ dx₃), il devient possible d’écrire que ds ² =
g₁₁ dx₁ ² + g₁₂ dx₁ dx₂ + g₁₃ dx₁ dx₃ +
g₂₁ dx₂ dx₁ + g₂₂ dx₂ ² + g₂₃ dx₂ dx₃ +
g₃₁ dx₃ dx₁ + g₃₂ dx₃ dx₂ + g₃₃ dx₃ ²
ou ds ² = Sigma (somme) de mu, nu = 1 à mu, nu = 3 des produits g_{mu nu} dx_mu dx_nu . Ces neuf coefficients g_{mu nu} disposés en tableau (matrice carrée) déterminent en chaque point de l’espace, tridimensionnel ici, les propriétés indépendantes du réseau de coordonnées, permettant d’éliminer toute définition extérieure et de n’utiliser ainsi que des notions géométriques internes. Ils constituent ce qui est appelé le tenseur métrique fondamental.

Quelqu’un peut-il se risquer à dire s’il est possible de faire moins compliqué dans l’exposé d’un point aussi délicat que celui-ci ?
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[Karibou Blanc]

Quelqu’un peut-il se risquer à dire s’il est possible de faire moins compliqué dans l’exposé d’un point aussi délicat que celui-ci ?

C'est pas que c'est compliqué, c'est surtout nécessaire si tu t'attaques à la description d'une géométrie quelconque.

[gatsu]

Bonjour,...

Alors en fait il se trouve que l'ensemble des composantes dont tu parles dépends justement du système de coordonnées qu'on regarde (donc ce n'est pas une caractéristique intrinsèque ). La théorie assez générale associée à ce genre de chose en espaces vectoriels est appelée "la théorie" des formes quadratiques. Si ça peut te rassurer on peut montrer qu'on peut toujours trouver un système de coordonnées dans lequel 6 termes sur neuf sont nuls (pour ton "tableau" de neuf valeurs) et seulement les termes diagonaux sont non nuls (, , ).

[Les Terres Bleues]

Merci Gatsu,

Dans mon idée, les propriétés indépendantes du réseau de coordonnées étaient les propriétés indépendantes (de toute définition extérieure) appartenant au réseau de coordonnées, mais j’admets sans hésiter que ma formulation est équivoque et prête même à l’interprétation exactement contraire. Aussi, pour lever l’ambiguïté, il me faudrait peut-être écrire « propriétés caractéristiques du réseau de coordonnées » et ajouter éventuellement à la fin de la phrase « afin de pouvoir obtenir des relations invariantes (distances entre les points) indépendantes du réseau choisi. ».

Sur l’autre point, je te remercie également de bien vouloir me rassurer, mais je m’aperçois là-aussi que ma question obtient encore une fois l’effet inverse de celui escompté. Lorsque je dis Pourquoi faire simple, etc. je veux montrer qu’il est possible d’aborder le problème du tenseur métrique fondamental – pas si évident que ça au premier abord – d’une manière accessible à tous, y compris les non-spécialistes, et cela sans céder sur le niveau d’exigence concernant les contenus.
J’y reviens donc gentiment : qui va se risquer à dire qu’il est possible de faire moins compliqué ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[mariposa]

Bonjour

Quelqu’un peut-il se risquer à dire s’il est possible de faire moins compliqué dans l’exposé d’un point aussi délicat que celui-ci ?

Bonjour,

Pour la bonne compréhension et sans rien ne changer à ce que tu écris il faudrait presenter ta distance au carré comme le produit (de gauche à droite) de 3 matrices:
.
une matrice ligne [dx1, dx2, dx3]
La matrice carré des [g (i,j)]
une matrice colonne [dx1, dx2, dx3]
.
Il est facile de voir que si tu fais un judicieux changement de base des [dx1, dx2, dx3] ta matrice [g] deviendra diagonale.
l

[invite8ef897e4]

Bonjour,
considerant :

C'est pas que c'est compliqué, c'est surtout nécessaire si tu t'attaques à la description d'une géométrie quelconque.

formes quadratiques

il faudrait presenter ta distance au carré comme le produit [...] "ligne*matrice*colonne"

Je crois effectivement que l'on peut repondre a

Quelqu’un peut-il se risquer à dire s’il est possible de faire moins compliqué dans l’exposé d’un point aussi délicat que celui-ci ?

Oui, nous nous y risquons. Ce n'est complique qu'en apparence, au premier abord. Il semble que l'on parle ici d'objet representable directement en trois dimensions, donc pour lesquels nous avons une intuition geometrique. M'est avis que la vraie complication arrive lorsque l'on passe a 4-D.

Posté par Hawking
Pour montrer proprement ce diagramme, j'aurais vraiment besoin d'un ecran quadri-dimensionnel. Cependant, a cause des coupures budgetaires gouvernementales, nous n'avons pu fournir qu'un ecran bidimensionnel.

[Les Terres Bleues]

Encore une fois merci d’avoir accepté d’apporter quelques unes de vos remarques à ma tentative de montrer les avantages d’utiliser, quand c’est possible évidemment, un langage simple plutôt que des tournures compliquées afin de définir les notions physiques sortant de l’ordinaire, l’exemple proposé du tenseur métrique fondamental n’étant pas, je le répète, d’une approche aussi facile que ça, même en ne travaillant à la base que sur trois dimensions « géométriquement intuitives ».
La question par la suite consisterait selon moi à faire percevoir la matrice carrée, bien qu’elle n'en soit que le cadre mathématique, comme une vraie représentation de l’espace à l’intérieur duquel les évolutions étudiées se déroulent, et pas obligatoirement de rechercher en priorité l’annulation de quelques uns ou de la plupart de ses termes. Cette dernière démarche en effet, sous le prétexte louable d’alléger les calculs, risquerait au contraire de se révéler en pratique davantage perturbatrice que rassurante, car on sait que le vide n’a pas pour qualité première de tranquilliser les consciences, il est surtout connu pour donner le vertige particulièrement à ceux qui marchent près du bord.

M’est avis que la vraie complication arrive lorsque l’on passe à 4-D.

Oui et non à la fois ! Non d’une part, puisqu’une fois la structure mentale dont je viens de parler, solidement installée, je suis persuadé que l’on ne se perdra plus. L’on aura beau grossir la matrice d’autant de lignes et de colonnes qu’il sera nécessaire pour onze, douze ou trente-six dimensions, tout nous paraîtra simple. On s’y retrouvera toujours dès lors qu’ainsi rendus visibles, les axes constituant « la charpente » de l’univers pourront nous servir de repère.
Mais d’un autre côté, oui. Si d’aventure par exemple, ou délibérément l’on cherchait à introduire à l’intérieur du schéma nouvellement formé une ou des dimensions d’une nature différente. Et il faut reconnaître que c’est ce qui se passe avec l’adjonction quasi-systématique de la variable temporelle à la quatrième place. Or quoi que l’on en croie, la réalité ne justifie pas cette option. Toute action se déroule toujours et partout au présent : il n’existe que variables physiques et positions dans l’espace à comparer entre elles. Malheureusement sur ce site, il semble qu’on n’ait pas le droit d’en discuter.
Aussi, revenons vite au sujet initial, et encore une fois posons-nous la question d’un savoir collectif à la portée de tous, de l’efficacité de partager la connaissance avec le plus grand nombre. Dans le prolongement de ma proposition sur le tenseur métrique, qui pourrait essayer de développer les explications générales permettant de comprendre ce qu’est un isospin, ce qu’est l’isoespace ?

[mariposa]

Dans le prolongement de ma proposition sur le tenseur métrique, qui pourrait essayer de développer les explications générales permettant de comprendre ce qu’est un isospin, ce qu’est l’isoespace ?

.
Pour comprendre ce qu 'est l'iso-spin il suffit de comprendre ce qu'est le spin.

Ceci est du au fait qu'il s'agit de la même structure mathématique (lié au representations du groupe sU(2)). Physiquement le spin a une conotation mouvement angulaire alors que 'isospin renvoie à un multiplet de particules.

Exemple le plus simple.
.
Mathématiquement: Soient deux états (vecteurs) orthogonaux |a> et |b>

Physiquement:

Pour le spin 1/2 il s'agit de |up> et [down> (spin vers le haut et vers le bas).
Pour l'isospin il s'agit de |N> et |P> qui representent le neutron et le proton.

[Deedee81]

Salut,

M'est avis que la vraie complication arrive lorsque l'on passe a 4-D.

Ca, ça va encore. Penser 4D euclidien c'est pas si difficile (enfin, tant qu'on imagine pas des structures à la mord moi le noeud). Penser 4D pseudo-euclidien, ça nécessite un effort. Penser 4D riemanien, sauf cas simples, ouaaaah ! Les maux de têtes assurés sans y arriver (en tout cas en ce qui me concerne, mes représentations mentales sont du type "perspective 4D en 3D", et ce n'est pas toujours suffisant, surtout en pseudo-euclidien, une "tranche" à R constant de Schwartzchild, ça va, plus, ça va pas pffffffff)

Par contre, si on se limite aux outils mathématiques, 4D, 3D, même combat. C'est pas plus difficile. Sauf cas particuliers (par exemple le tenseur de riemann est univoquement déterminé par le tenseur de ricci en 3D mais pas en 4D, c'est une des raisons pour laquelle la RG est si difficile).

Concernant le sujet de Les Terres Bleues, j'ai quelques doutes d'arriver à "un savoir collectif à la portée de tous" (je veux dire contenant les tenseurs, les groupes, etc.). Mais, amha, le plus simple est de travailler avec les objets géométriques, sans référence aux coordonnées.

Ca devient simple et élégant (sauf quand il faut faire des calculs ).

Franchement, écrire G=T pour l'équation d'Einstein, qui dit mieux (plus simple) ? (en MQ, on peut rarement avoir aussi compact par contre)

Pour le spin, je me suis déjà arraché les cheveux (heureusement j'en ai encore beaucoup ) : c'est pénible à vulgariser. Par contre, mariposa a raison, l'isospin n'est jamais que le "spin de l'espace des paramètres internes" au lieu d'être géométrique. C'est simple (enfin, une fois qu'on sait ce qu'est le spin)