Besoin d'un coup de main pour calcul d'echange de chaleur.

[invite2313209787891133]

Bonjour à tous

Je suis confronté dans mon taff à un petit probleme d'échange de chaleur; concretement je dois evaluer la quantité d'eau necessaire pour refroidir un bain, mais un petit schema vaux mieux qu'un grand discours:

XXXXXXXXXX PJ insérée XXXXXXXXXXXXX

En bleu clair c'est un bain d'eau à 90°C.
En bleu il s'agit d'une conduite d'eau avec une temperature d'entrée de 15°C ("un serpentin").

La conduite d'eau est en inox, avec un diametre exterieur de 40mm et interieur de 38mm, avec une valeur de λ de 25 W.m^-1.°C^-1.


Voici mon probleme: Comment puis je exprimer la temperature de l'eau en sortie de la conduite en fonction du débit et de la longueur de la conduite ?
Inutile de calculer l'evolution de la temperature du bain, sur ce point je saurais me debrouiller (on peut considerer qu'il reste à 90°C).

Je remercie sincerement toute personne qui pourra me repondre; j'ai potassé les articles sur Wikipedia, mais je n'ai rien compris du tout...
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[LPFR]

Bonjour.
Vous pouvez faire l'hypothèse que la température varie linéairement le long du serpentin.
Donc, vous faites le calcul avec d'un coté du tube, les 90° et de l'autre de l'eau à la température moyenne entre l'entrée et la sortie (que l'on ne connaît pas).
Calculez quelle est la chaleur qui passe à cette température pendant un temps donnée. Puis la quantité d'eau à laquelle ce temps correspond. Calculez l'augmentation de température du volume d'eau calculé.
Cela doit vous permettre de calculer la température moyenne et donc la finale.
Pour le tuyau, comme il est de paroi fine, vous pouvez l'approcher par une surface plane égale à la longueur du serpentin multiplié par le périmètre moyen du tube.
Au revoir.

[invite2313209787891133]

Merci pour cette reponse, mais je ne vois pas comment l'appliquer.
Idealement il me faudrait une formule "prete à l'emploi".

[inviteb36430b8]

Bonjour,

je vous propose un mode de calcul reprenant les grandes lignes de LPFR :

D'abord, la température entre l'entrée et la sortie du tube va varier grâce à l'énergie que le bain à 90 °C va apporter, selon la formule suivante :



avec m la masse de l'eau à chauffer et c la capacité calorifique de l'eau (4180 J/kg/°C). Soit autrement écrit :




Il reste à évaluer le :
L'échange d'énergie entre l'inox et l'eau est modélisé par la formule suivante :



avec h le coefficient de de convection entre l'eau et l'inox (env. 5570 W/m²°C), S la surface totale.
En première approximation, nous pouvons prendre comme variation de température entre la paroi et le fluide : 90 °C - 15 °C = 75 °C (ceci n'est pas tout à fait exact compte tenu du fait que la température du fluide n'est pas la même selon la position de la particule de fluide).
On estime ainsi l'apport totale d'énergie par le bain :



La variation de temps est donné par le volume et le débit :



soit :



Enfin, on égalise (1) et (2) :





avec , on obtient finalement :



CALCUL :
h = 5570 W/m²°C
S = 2.Pi.R.L = 2*3,14*38E-6*L = 2,39E-4 . L (en mètre)
rho = 1000 kg/m3
c = 4180 j/kg/°C

voilà, je pense que ca doit ressembler à ça !
n'hésitez pas si vous voyez une erreur à le faire remarquer.

Bonne suite

[A voir en vidéo sur Futura]

[chatelot16]

la conduction thermique du tube n'a pas beaucoup d'importance : c'est ce qui se passe dans l'eau qui compte

a l'interieur du tube tout depand de la vitesse : si l'ecoulement et turbulent l'echange sera plus efficace que par simple convection , donc plus efficace qu'a l'exterieur

mais c'est l'echange entre le tube et l'eau du bain qui sera le plus mauvais , a moins qu'il y ai une bonne agitation du bain

je ne vois pas quel calcul theorique faire : la convection dans le bain depand de toutes les dimensions

pour moi le plus simple est de faire des essai avec ce qui tombe sous la main et de deduire le resultat recherché par des calculs de proportion

[LPFR]

Bonjour.
Dans ce problème il faut faire des hypothèses. Celles que j'ai proposé étaient que la température de sortie du serpentin était très en dessous des 90°C du bain, et que l'échange de chaleur était limité par la conduction et non par la convection.
Aussi bien Vulcain14 et Chatelot16 pensent que c'est la convection qui prime.
Je voudrais que Dudulle nous précise:
-est-ce que le bain est au repos ou le liquide est en mouvement, agité, etc.? Cela tranchera à propos de la convection/conduction.
-Souhaitez-vous que la température de sortie du serpentin soit proche de la température d'entrée (15°) ou proche de la température du bain (90°). Cela dépend si vous voulez refroidir le bain ou chauffer le liquide du serpentin. D'après la rédaction de votre question, il s'agit de refroidir le bain. Dans ce cas l'hypothèse de la température de sortie du serpentin doit être basse comparée aux 90°C.

Avec mes hypothèses je trouve un résultat qui est, évidemment, différent de celui de Vulcain14:


est la température de sortie du serpentin
D est le débit en m3/s
L la longueur en m
3,063 L est la résistance thermique du serpentin.

En attendant les précisions de Dudulle,
Au revoir.

[LPFR]

Re.
Petit facteur 1000 d'erreur dans la formule. Voici corrigée (à par les autres boulettes):

est la température de sortie du serpentin
D est le débit en m3/s
L la longueur en m
3063 L est la conductance thermique du serpentin.
Au revoir.

[invite2313209787891133]

Merci pour ces nouvelles réponses.

Pour repondre aux precisions demandées le bain est en fait un melange d'acide sulfurique à 20% et d'eau. Un agitateur rend le melange homogéne.
L'elevation de temperature est d'environ 80°C (80°C qui viennent s'ajouter à la temperature de l'eau et de l'acide).

En fait ma question avait pour but de determiner la surface d'échange pour empecher le melange de depasser 80/90°C, ce qui explique que je me place uniquement à cette condition de temperature (où l'échange est maximal).

[LPFR]

Bonjour.
Les indications de Dudulle décident en faveur de la conduction comme facteur prépondérant. C'est dommage pour les calculs de Vulcain14 et sa page de TeX.

Maintenant que mes hypothèses semblent valables, j'inclus les équations de départ pour que Dudulle puisse vérifier si je n'ai pas fait de boulette.
Variables:
température finale du liquide de refroidissement.
température initiale du liquide de refroidissement (15).
température moyenne du liquide de refroidissement.
conductivité thermique de l'inox (25).
capacité thermique de l'eau (4182)
périmètre moyen du serpentin (avec un diamètre de 39 mm)
longueur du serpentin
épaisseur du serpentin (1 mm)
temps pendant lequel le serpentin débite un volume
débit.

La température moyenne dans le serpentin est

Pendant un temps t, la chaleur transmisse à travers la paroi du serpentin est:

qui est égale à la chaleur acquisse par le volume V:

En égalisant les deux équations et divisant par t:

Il ne reste que les trois paramètres Tf, L et D.
Je rappelle que ceci n'est valable que si la température de sortie est plutôt proche de la température d'entrée.
Il reste aussi l'hypothèse que dans le serpentin le flux n'est pas laminaire et que l'eau se mélange bien. Pour être sur, il faudrait vérifier le nombre de Reynolds avec les valeurs trouvés, pour vérifier qu'il est suffisamment élevé pour exclure le flux laminaire.
Au revoir

[inviteb36430b8]

Tant pis, en méca flux on est jamais sûr de rien

[obi76]

Tant pis, en méca flux on est jamais sûr de rien

On arrive quand même à d'extrêmement bonnes prédictions

[chatelot16]

calculer ce qui se passe avec un tuyaux c'est bien mais pourquoi ne pas faire des le depart le maximum de surface d'echange : mettre une double paroi : en plus le deuxieme recipient exterieur poura etre en n'importe quel materiaux sans besoin de resister a l'acide : mieux et moins cher ...

ca ne resoud pas le calcul non plus ...

[chatelot16]

aussi bien dans le cas d'un tuyaux serpentin que d'une double paroi il faut que ce soit turbulent dans l'eau froide : ce n'est pas pour autant qu'il faut gaspiller de l'eau froide : il est possible de mettre une pompe qui recycle l'eau avec un gros debit , et une alimentation en eau froide juste suffisante pour que la temperature ne monte pas trop

[LPFR]

Re.
On peut rendre le flux turbulent dans un tuyau sans augmenter la vitesse. Il suffit que les parois ne soient pas lisses, qu'il y ait des obstacles, bref, on fait le contraire que quand on veut avoir un flux laminaire.

Quant au gaspillage de l'eau, nous pouvons faire confiance aux industriels, si l'installation de systèmes de récupération est plus économique que le coût de l'eau, ils feront l'installation sans qu'on leur lui demande.

Si je n'ai pas fait d'erreur, avec les dimensions du tube et un débit de 1,1 litres/s on obtient un nombre de Reynolds de 3900 ce qui correspond, si me souvenirs sont bons, au début du régime turbulent.
A+

[obi76]

3900 c'est en transition, donc c'est pas sur...
5000 ça serai mieux à mon sens (pour chipoter )

[chatelot16]

bien sur on peut mettre des chicane pour rendre turbulant avec un faible debit , mais ensuite ca fait des perte de charge qui empechent de mettre un gros debit si il le faut

le systeme de mettre une alimentation en eau froide + une pompe de recyclage permettant une vitesse importante est une facilité de mise au point quand on ne peut pas tout calculer : une fois le debit d'eau a 15° determiné par l'experience on peut voir si la pompe de recyclage peut etre remplacé par autre chose

[obi76]

bien sur on peut mettre des chicane pour rendre turbulant avec un faible debit , mais ensuite ca fait des perte de charge qui empechent de mettre un gros debit si il le faut

C'est bien là qu'intervient la subtilité de la turbulence : un compromis à faire entre turbulence et pertes. La turbulence ça aide la conduction de chaleur, mais ça chauffe aussi ^^
Bref, de toutes façons vu qu'il ne sagit pas de fabrication de nitroglycérine, on peut se permettre quelques degrés d'écart

[mamono666]

Moi j'aurais plutôt fais comme ça:

en régime permanent on a donc dans le tuyau un certain débit donc une certaine variation de masse.

Disons que le tuyau à une capacité thermique massique c_t qui à priori sera exprimable en fonction des paramètres de celui ci.

La variation d'énergie du système est donc:



avec dm qui est:



D_int le diamètre intérieur et rho la masse volumique.

donc on a:



dU/dt c'est le flux en Watt qui entre dans le tuyau. Donc ici on a une diffusion, on le calcul donc avec l'équation de propagation de la chaleur:



disons que l'on soit en cylindique, on prend donc le laplacien en cylindrique. Et comme on se place en régime permanent dT/dt = 0



aux limites, donc sur le diamètre extérieur on a 90° C et sur l'intérieur 15° C
on peut noter T_ext et T_int

donc,



maintenant pour le flux on utilise fourier:





Il reste a déterminer la capacité thermique du tuyau....enfin sauf erreur

[mamono666]

ah si, j'ai fait une erreur lol ^^ j'ai pris en sphérique ....

[mamono666]

ça serait plutôt,



avec L la longueur du serpentin.

[inviteb36430b8]

Si on veut introduire le débit dans ta réponse (ce qui est demandé plus haut), est-ce donné par (avec D le débit) :



?

[mamono666]

oui, et mon c_t c'est la capacité thermique de l'eau aussi ^^'

[invite2313209787891133]

Merci pour ces réponses supplementaires.
Pour repondre à chatelot utiliser une double paroie est moins facile à réaliser; l'eau est prelevée sur un circuit aero-refrigeré, donc la double paroie devrait être totalement étanche.
Par ailleurs une enveloppe exterieure existe deja pour eviter les débordements.

D'après mes 1eres estimations (et si je ne me suis pas trompé) ce systeme est tout simplement à abandonner; en effet l'injection d'acide se fait en quelques minutes, et le volume de la cuve est telle qu'il faut dissiper environ 200 MJ...
Je vais devoir chercher une autre solution.

[LPFR]

D'après mes 1eres estimations (et si je ne me suis pas trompé) ce systeme est tout simplement à abandonner; en effet l'injection d'acide se fait en quelques minutes, et le volume de la cuve est telle qu'il faut dissiper environ 200 MJ...
Je vais devoir chercher une autre solution.

Re.
200 mégajoules n'est pas tant que ça. Cela correspond a une augmentation de température de 50°C d'un mètre cube d'eau.
A+

[invite2313209787891133]

Il s'agit ici d'une cuve de 800l d'acide à 30%; le probleme étant que je dois dissiper cette quantité de chaleur aussi rapidement qu'elle se forme (en quelques minutes), car les pompes doseuses qui vont utiliser cet acide ne sont pas prevues pour un liquide trop chaud.
La surface d'echange est alors telle qu'un serpentin ne me semble pas trés adapté.

Les differentes reponses ne sont pas inutiles pour autant, je vais garder ce lien sous le coude pour le jour où j'aurai un autre probleme similaire.

[LPFR]

Bonjour.
Je vois. Dans ce cas là peut-être que la solution est d'inverser la géométrie et de faire passer le liquide à refroidir dans le serpentin.
Au revoir.