Représentations de groupes et Weinberg

[Thwarn]

Bonjour,

je suis en train (d'essayer) de lire le premier volume du cours de QFT de Weinberg (qui est vraiment très très profond et très très dur ). D'autant plus dur qu'il me sort à tire larigot les différentes représentations du groupe de Poincarré et ou des rotations pour les scalaires, quadrivecteurs, spineurs, etc... Je voudrais savoir où je peux trouver de la documentation d'introduction ou même juste quelles sont les matrices et pourquoi.

J'ai un autre problème. Aux alentours de la page 196 et de l'équation 5.1.24, il arrive à écrire : où est une représentation du groupe de Lorentz homogène (le R signifie que l'on prend ici une rotation) et est une représentation irréductible unitaire (j=0,1/2,1...). et s font référence au projection d'un spin j et peut être par exemple un spineur (l et k faisant référence aux indices spinoriels)
Cela est équivalent à avec et les matrice moment cinétique de et .
Mon problème est que je comprends pas trop la différence entre et . Le fait que les soient irréductibles signifie-t-il qu'on peut fabriquer à partir d'eux? Et le fait de sommer sur le spin ou sur les composantes (l'indice l) n'est pas beaucoup plus claire...

Si vous pouviez m'éclairer sur ce point...
Merci,
-----

[Rincevent]

salut,

Je voudrais savoir où je peux trouver de la documentation d'introduction ou même juste quelles sont les matrices et pourquoi.

il y a divers liens vers des cours sur la représentation des groupes de Lie dans la bibliothèque virtuelle (haut de forum physique)

Mon problème est que je comprends pas trop la différence entre et . Le fait que les soient irréductibles signifie-t-il qu'on peut fabriquer à partir d'eux?

sans le Weinberg et ton cerveau sous les yeux, pas facile d'être certain de ce dont vous parlez

as-tu déjà étudié le principe de la représentation linéaire des groupes de Lie ? si tel n'est pas le cas, fais ça avant d'aller plus loin dans le Weinberg... et dans ce cas pour tenter de t'aiguiller un minimum : oui, les représentations irréductibles permettent de reconstruire toutes les autres.

Et le fait de sommer sur le spin ou sur les composantes (l'indice l) n'est pas beaucoup plus claire...

qu'est-ce qui n'est pas clair dans ça ? si tu veux, la somme représente un produit matriciel... mais je me demande si je passe pas complètement à côté de ta question


ps: j'ai changé un peu ton titre car tes questions me semblent n'avoir que très peu à voir avec SO(3)...

[Gwyddon]

salut,
oui, les représentations irréductibles permettent de reconstruire toutes les autres.

Mieux : les représentations irréductibles fondamentales

Le meilleur exemple pour s'en convaincre c'est SU(2) (que tu connais Thwarn : le spin c'est SU(2) ). Tu peux construire le spin 1 comme tensoriel de deux spin 1/2, tu peux construire le spin 2 comme deux tensoriels de spin 1, qui eux-même sont tensoriels de deux spin 1/2, etc...

Donc tout se ramène à des produits tensoriels de spin 1/2

[Thwarn]

Merci à tous les deux pour vos réponses.
Pour préciser un de mes problèmes :
Par exemple, dans le cas où on choisit (représentation (quadri)vectorielle, c'est ça?), et qu'on prend comme spin j=1, les deviennent (selon ses notations) (dans le référentiel où la particule est au repos, particule massive donc ) avec et (ce sont bien sur des colones, avec la convention pour les quadrivecteurs ).
Jusque là tout va bien.
Comme on a un spin 1, avec J les matrices pour un spin 1 (, etc etc). Et comme on a , le générateur des rotations en représentation quadrivectrielle (dixit Steven) est donné par
et .
Problème : comment relie t on ces deux J? quel est le rapport entre cette représentation "en spin" et celle en "vecteur de l'espace-temps" (houla, je dois dire plein de vilains mots là...)?
Pourquoi ces sommations sur des indices différents donnent le même résultat? Et un problème relié pour finir : quand je fais tourner ma particule, quel sommation j'utilise, celle sur le spin ou celle sur les indices d'espace temps?

PS: J'aurais adorer pouvoir faire copier-coller sur les formules

Edit :les balises <b> étaient là pour mettre les J en gras, cad que ce sont des vecteurs. Faut croire que c'est pas la bonne commande...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Rincevent]

salut,

je viens d'aller jeter un oeil dans le bouquin car tout ce que tu racontais me semblait pas super clair...

si tu reprends le chapitre 5 depuis le début, tu vois qu'il cherche quelles doivent être les propriétés des coefficients u pour que l'hamiltonien construit à partir des champs (eux-mêmes construits à partir des a) soit un scalaire. Les matrices D initiales ne sont donc pas a priori une représentation, même s'il montre rapidement (entre les équations 5.1.17 et 5.1.18) qu'effectivement, elles doivent l'être par cohérence de la procédure. Mais ce n'est pas supposé auparavant. De même, à ce moment là, il ne peut absolument pas supposer que ces matrices D sont des représentations irréductibles fondamentales : ce qu'on sait, c'est juste qu'elles forment une représentations. Son but tout au long de ce chapitre est de trouver la forme que doivent avoir les "u" pour que le comportement du "champ" sous le groupe de Lorentz soit tel que l'hamiltonien est un scalaire, et tout ça lui donne des contraintes sur les u et aussi sur les représentations utilisables en tant que "D".

je pense que tu devrais reprendre la lecture du chapitre à tête reposée lentement et depuis le début parfois faut pas hésiter à relire plusieurs fois et à prendre son temps...

Problème : comment relie t on ces deux J? quel est le rapport entre cette représentation "en spin" et celle en "vecteur de l'espace-temps" (houla, je dois dire plein de vilains mots là...)?

page 207, il dit qu'il prend maintenant le cas simple où le champ se transforme comme un vecteur. La relation qu'il obtient entre les deux n'est rien de plus que la spécialisation à ce cas précis de la condition qu'il a obtenue plus tôt... encore une fois : son but est de faire le moins d'hypothèses possibles et de déduire un maximum de choses par la simple condition de cohérence de sa méthode...

Pourquoi ces sommations sur des indices différents donnent le même résultat?

elles le doivent pour que l'hamiltonien puisse être un scalaire

[Thwarn]

Merci pour ta reponse

je pense que tu devrais reprendre la lecture du chapitre à tête reposée lentement et depuis le début parfois faut pas hésiter à relire plusieurs fois et à prendre son temps...

Houla, ca fait bien plus que plusieurs fois que je relie ce chapitre

Je crois que j'ai trouve ou se situe le gros de mon probleme : je comprends bien comment se transforme un spin sous une rotation : avec les matrices habituelles pour un spin j.
Je comprends comment se transforme une vecteur sous une rotation avec les generateurs des rotations.
Mais la ou je pige plus, c'est comment se transforme (par exemple) un champ vectoriel de spin 1...

[Karibou Blanc]

c'est comment se transforme (par exemple) un champ vectoriel de spin 1

ben, comme un vecteur. Je ne comprends pas ton problème ?

[Thwarn]

ben, comme un vecteur. Je ne comprends pas ton problème ?

Mais que fait-on du spin?
Quel est la difference de comportement sous une rotation entre un champs vectoriel de spin 0 (par exemple ou est un champ scalaire de spin 0) et un champs vectoriel de spin 1?

[Karibou Blanc]

Quel est la difference de comportement sous une rotation entre un champs vectoriel de spin 0

Un champ vectoriel est un champ de spin 1, qu'il soit un champ fondamental ou construit à partir de la dérivée d'un scalaire, ni change rien, il aura toujours les memes propriétés de transformation.
Idem, un champ scalaire est un champ de spin 0, par définition.

[Thwarn]

Un champ vectoriel est un champ de spin 1, qu'il soit un champ fondamental ou construit à partir de la dérivée d'un scalaire, ni change rien, il aura toujours les memes propriétés de transformation.

Ben c'est pas ce que dit Steven justement (ou alors j'ai rien compris, ce qui fort probable ).
Lui il dit : je prends un champs qui se transforme comme un quadrivecteur. Maintenant, si je me restreins aux rotations, a quel spin cela peut-il correspondre : 0 ou 1. Et c'est la que je bloque. Je comprend plus ce qu'est le spin dans l'histoire...

[Rincevent]

Un champ vectoriel est un champ de spin 1, qu'il soit un champ fondamental ou construit à partir de la dérivée d'un scalaire, ni change rien, il aura toujours les memes propriétés de transformation.

c'est à ça que Weinberg veut arriver justement...

Lui il dit : je prends un champs qui se transforme comme un quadrivecteur. Maintenant, si je me restreins aux rotations, a quel spin cela peut-il correspondre : 0 ou 1. Et c'est la que je bloque. Je comprend plus ce qu'est le spin dans l'histoire...

il dit que le champ se transforme comme un quadrivecteur et cherche le spin possible pour les particules créées (le spin des particules étant associé par définition aux opérateurs de créations et d'annihilation). Et il arrive bien à ce que dit Karibou : champ vectoriel signifie ou particule de spin 1 ou dérivée d'un champ scalaire associé à des particules de spin 0...

à voir toutes tes questions ici, je me demande si tu devrais pas commencer la théorie quantique des champs avec un livre "plus appliqué"... le Weinberg est très général et très intéressant, mais pas trivial pour une première lecture...

[Karibou Blanc]

c'est à ça que Weinberg veut arriver justement...

ok, je ne pensais que c'était l'objet de la demonstration. Mais n'est-il pas évident que le produit tensoriel d'un vecteur et d'un scalaire se transformera comme un vecteur ? D'un point de vue de théorie des groupes (de Lie) ca parait trivial, non ?

l dit que le champ se transforme comme un quadrivecteur et cherche le spin possible pour les particules créées (le spin des particules étant associé par définition aux opérateurs de créations et d'annihilation). Et il arrive bien à ce que dit Karibou : champ vectoriel signifie ou particule de spin 1 ou dérivée d'un champ scalaire associé à des particules de spin 0...

Ok, en fait j'ai rien dit, ici spin fait référence à celui d'une particule (ou d'un champ fondamental) pas au spin de l'objet (qui peut être composite, ie un champ avec des dérivées) dont on regarde les transformations sous le groupe de Lorentz.

[Thwarn]

à voir toutes tes questions ici, je me demande si tu devrais pas commencer la théorie quantique des champs avec un livre "plus appliqué"... le Weinberg est très général et très intéressant, mais pas trivial pour une première lecture...

C'est ce que je me dis aussi... j'attends de devoir le rendre a la bibliotheque et je passe a un autre
je suis en train de me dire que ca doit etre l'absence de tout exemple qui me deroute...
Si j'applique mon champs vectoriel massif sur le vide, j'obtiens quoi comme etat, avec quel projection de spin? Cet etat, il se transforme "comme un spin 1" (avec les , j=1) ou "comme un quadrivecteur" sous une rotation?

J'ai l'impression de pedaler dans la semoule...

PS: la phrase de Karibou "Un champ vectoriel est un champ de spin 1, qu'il soit un champ fondamental ou construit à partir de la dérivée d'un scalaire" signifie donc que la derive d'un champs scalaire de spin 0 est un champs vectoriel de spin 1? Cela me parait en contradiction avec ta phrase "un champ vectoriel signifie ou particule de spin 1 ou dérivée d'un champ scalaire associé à des particules de spin 0" et pourtant tu dis que c'est en accord avec ce que dis KB... Ca va peut-etre parraitre etonnant, mais je suis perdu

[Karibou Blanc]

ignifie donc que la derive d'un champs scalaire de spin 0 est un champs vectoriel de spin 1?

Oui. Si tu regardes les produits de représentations, tu te rends compte qu'une dérivée appliquée à un scalaire, est un produit tensoriel de deux représentations, la première de spin 1 (la dérivée) la seconde spin 0 (le scalaire). Maintenant en théorie des groupes tout produit tensoriel de représentation se décompose comme la somme directe de représentations irréductibles. Dans le (spin 1)x(spin 0) la décomposition est évidente, c'est un spin 1, car le scalaire est une représentation triviale.

Ca va peut-etre parraitre etonnant, mais je suis perdu

Je ne sais pas ce que tu as déjà étudié, mais il me parait important que tu te mettes au point en théorie des groupes et leurs représentations avant d'aller plus loin.

[Rincevent]

Ok, en fait j'ai rien dit, ici spin fait référence à celui d'une particule (ou d'un champ fondamental) pas au spin de l'objet (qui peut être composite, ie un champ avec des dérivées) dont on regarde les transformations sous le groupe de Lorentz.

exactement... grossièrement ce que cherche W c'est à regarder comment on peut construire l'hamiltonien le plus général sachant que c'est un scalaire. Il l'écrit comme une combinaison linéaire de produits de "champs" lesquels sont initialement très généraux (pas des représentations irréductibles). Ensuite, il regarde comment on peut les écrire à partir des opérateurs de créations associés aux diverses particules de spins donnés. De là il déduit par exemple la forme possible pour un hamiltonien libre associé à un seul type de particule.

je suis en train de me dire que ca doit etre l'absence de tout exemple qui me deroute...

certainement...

PS: la phrase de Karibou "Un champ vectoriel est un champ de spin 1, qu'il soit un champ fondamental ou construit à partir de la dérivée d'un scalaire" signifie donc que la derive d'un champs scalaire de spin 0 est un champs vectoriel de spin 1?

oui

Cela me parait en contradiction avec ta phrase "un champ vectoriel signifie ou particule de spin 1 ou dérivée d'un champ scalaire associé à des particules de spin 0" et pourtant tu dis que c'est en accord avec ce que dis KB... Ca va peut-etre parraitre etonnant, mais je suis perdu

tu as des champs fondamentaux directement associés à des particules de spin fixé : les opérateurs d'annihilation a dont Weinberg t'a expliqué le comportement sous le groupe de Lorentz plus tôt. Après, le mot "champ" désigne un objet mathématique, pas nécessaire un truc "directement physique". Cet objet mathématique général (que W utilise pour construire son hamiltonien) peut être fabriqué à partir des champs fondamentaux précédents, mais pas uniquement comme simple combinaison linéaire. W te montre par exemple qu'un objet mathématique qui a un comportement vectoriel peut être fabriqué à partir de la dérivée champs fondamentaux (= opérateurs d'annihilation a) qui ont un spin nul (la dérivée étant représentée par une multiplication dans l'espace des impulsions)

[Thwarn]

Bon, une derniere question sur ces histoires de representation, avant que mon cerveau ne fume

C'est quoi le rapport entre les pour un spin j (qui donne ) et les generateurs des rotations qui donnent .

Ou, dit autrement, si un champs vectoriel est un champs de spin 1, pourquoi les pour un spin 1 sont differents des ? (je pense que c'est cette question qui resume mon incomprehension du rapport en le spin et le champs (scalaire, vectoriel...))

En tout cas, merci a tous les deux (enfin, a tous les trois en comptant Gwyddon)

[Gwyddon]

Ou, dit autrement, si un champs vectoriel est un champs de spin 1, pourquoi les pour un spin 1 sont differents des ? (je pense que c'est cette question qui resume mon incomprehension du rapport en le spin et le champs (scalaire, vectoriel...))

Parce que l'objet désigne l'élément du groupe des rotations de façon générale [rem : ou plutôt de l'algèbre de Lie, mais bon...], qui ensuite sera représenté par différents selon la représentation choisie (spin 0, 1/2, 1, etc...).

Il faut donc bien distinguer groupe (ou algèbre) de Lie, et ses diverses représentations.

[Thwarn]

Il faut donc bien distinguer groupe (ou algèbre) de Lie, et ses diverses représentations.

Ok, c'est la que je distingue pas trop les deux encore... Hop, je retourne a mes cours de Theorie des Groupe

[BioBen]

Je ne sais pas si c'est un must de commencer la qft avec le Weinberg, qui est très "fondamental".
Le Peskin est plus calculatoire mais donne une vision plus intuitive de la QFT (oulah attention faut pas mal interpréter ce que je dis, calculatoire veut pas dire que c'est pas profond).

Hop, je retourne a mes cours de Theorie des Groupe

Pour le théorie des groupe j'utilise beaucoup le Georgi et le Glmore, vraiment très clairs je trouve. Tu utilises quels bouquins/cours ?

[Thwarn]

Je ne sais pas si c'est un must de commencer la qft avec le Weinberg, qui est très "fondamental".
Le Peskin est plus calculatoire mais donne une vision plus intuitive de la QFT (oulah attention faut pas mal interpréter ce que je dis, calculatoire veut pas dire que c'est pas profond).

C'est ça que j'ai bien aimé avec Weinberg, même si je suis loin de comprendre tous ses arguments. J'ai le Peskin à la maison, des que je dois rendre le W, je me mets à celui la!

Pour le théorie des groupe j'utilise beaucoup le Georgi et le Glmore, vraiment très clairs je trouve. Tu utilises quels bouquins/cours ?

Ben j'ai pas vraiment de bouquin, je vais de pdf en pdf... Mais is tu me conseil le G&G, je vais y jeter un coup d'œil.

[BioBen]

C'est ça que j'ai bien aimé avec Weinberg, même si je suis loin de comprendre tous ses arguments. J'ai le Peskin à la maison, des que je dois rendre le W, je me mets à celui la!

Oki !

Mais is tu me conseil le G&G, je vais y jeter un coup d'œil.

C'est deux bouquins différents.
Le Georgi est vraiment très bien pour la physique des particules, le Gilmore est plus matheux.

[Thwarn]

C'est deux bouquins différents.

Qui c'est qui vient de passer pour un boulet?

Le Georgi est vraiment très bien pour la physique des particules, le Gilmore est plus matheux.

Je vais commencer par le premier alors

[Gwyddon]

Sinon il y a les polys de la biblio de physique du forum, qui sont pas mal