Séparation des variables : loi de Fick.

[invite7f0233d4]

Salut,
Je dois résoudre cette équa diff à variable séparé.

Pour info, elle représente la diffusion bidimensionnelle d’un soluté,(Premiere loi de Fick),

La méthode de résolution de cette equa diff m’a était imposée, c’est la méthode des variables séparées.

Voici mes conditions aux limites :
A y=L
A x=0

Donnez moi un coup de main, merci d’avance.

[invitea29d1598]

salut,

ça veut dire et ce sont des constantes ces gens-là ?

[invite7f0233d4]

et ce sont des constantes ces gens-là ?

Oui, c'est exactement cela.
D : coefficient de diffusion (constant),
: vitesse (constante).

[invitea29d1598]

dans ce cas tu introduis des fonctions A et B telles que c(x,y)=A(x)B(y) et tu écris ton équation sous la forme f(A,A',A'',x)=g(B,B',y)=K où les ' désignent des dérivées par rapport à la seule variable dont dépend la fonction et où K sera une "vraie constante".

cf l'exemple II de la partie PDE du wiki anglophone

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7f0233d4]

oula ça me parait pas évident,faut dire que je n'ai jamais manipuler cette méthode de séparation des variables; en plus ds l’exemple il traite une equa du type:
et non pas :


Bon j’espère que les forumeurs me viendront en aide par de plus amples détails.

Ciao.

[invite8c514936]

Bonjour,

j’espère que les forumeurs me viendront en aide par de plus amples détails.

C'est-à-dire ? Je vois pas en quoi c'est compliqué : tu cherches une fonction de la forme f(x)g(y), tu reportes cette forme dans l'équation de départ et tu t'aperçois que tu peux mettre tous les termes dépendant de x à gauche et ceux dépendant de y à droite. À quelle étape bloques-tu ?

[invite7f0233d4]

Bonjour,
C'est-à-dire ? Je vois pas en quoi c'est compliqué : tu cherches une fonction de la forme f(x)g(y), tu reportes cette forme dans l'équation de départ et tu t'aperçois que tu peux mettre tous les termes dépendant de x à gauche et ceux dépendant de y à droite. À quelle étape bloques-tu ?

Salut,
Je bloque à plusieurs reprises, mais très bien on va procéder par étape :
Je pose =X(x) Y(y) ,on remplace dans l’équation principal et on abouti à:



Pourquoi c’est =-je suis d’accord pour dire que ça doit être une constante mais pour quel raison négative et elevée au carré ?

[invite8c514936]

La constante peut être a priori positive ou négative. Essaie avec une constante positive, et tu verras que la solution en X part aux fraises... (essaie, vraiment !).

Une fois convaincu que la constante doit être négative, ben tu l'écris comme l'opposé d'un carré, qui lui est nécessairement positif. Il se trouve que tu auras besoin un peu plus tard de la racine carrée de l'opposé de cette constante négative, alors autant prendre les devants et la noter -lambda^2. Mais rien ne t'empêche de la noter autrement, aucun problème !

[invite7f0233d4]

La constante peut être a priori positive ou négative. Essaie avec une constante positive, et tu verras que la solution en X part aux fraises... (essaie, vraiment !).

Re
Si je prend ma constante = +
J’aurais X’’- X= 0 E.D.L homogène du second ordre.
J’aurais donc une solution:
X(x)=Aexp- + Bexp+ .
Par contre si je la pose= -j’aurais :
X(x)=(A cos x + B sin x)
Désolé mais je ne me rends pas compte de la difficulté lié au choix de la constante ?
Bref de l’autre coté je trouve
Y=C exp( + t).

voila, comment je poursuis...
Ps:merci pour l'aide.

[invite8c514936]

C'est quoi physiquement X et Y dans ton problème ? Si tu implémentes les conditions aux limites, la solution exponentielle tend vers l'infini quand X tend vers l'infini. Est-ce acceptable ? (peut-être que oui après tout, ça dépend de ton problème !)

Bref de l’autre coté je trouve

Heu... non, c'est pas ça la solution de ton équation en Y ! Il faut d'ailleurs te poser les mêmes questions sur l'influence du signe de la constante sur la solution en Y, c'est peut-être là que ça va coincer !

[invite7f0233d4]

C'est quoi physiquement X et Y dans ton problème ? Si tu implémentes les conditions aux limites, la solution exponentielle tend vers l'infini quand X tend vers l'infini. Est-ce acceptable ? (peut-être que oui après tout, ça dépend de ton problème !)

Heu... non, c'est pas ça la solution de ton équation en Y ! Il faut d'ailleurs te poser les mêmes questions sur l'influence du signe de la constante sur la solution en Y, c'est peut-être là que ça va coincer !

tu parle de x,y non pas de Y,X?

x,y sont mes coordonnées cartesiennes.

[invite8c514936]

tu parle de x,y non pas de Y,X?

x,y sont mes coordonnées cartesiennes.

Je parle de tes coordonnées, oui (tu les as notées X et Y dans la première équation). Si ce sont des coordonnées cartésiennes représentant la position dans un plan, je repose ma question :

Si tu implémentes les conditions aux limites, la solution exponentielle tend vers l'infini quand X tend vers l'infini. Est-ce acceptable ?

[invite7f0233d4]

ce n'est pas un t mais un y
Y=C exp( + y)
Voici mes conditions aux limites:
A y=L =0
A x=0 !!!

[invite8c514936]

Bin non, mets cette forme de Y dans l'équation (celle aux variables séparées), tu verras que ça marche pas... D'ailleurs, tu as défini Y comme ne dépendant que de y, tu ne peux pas avoir du x dedans !

[invite7f0233d4]

la resolution donne bien ceci Y=C exp( + y)

??

[invite8c514936]

Arghh oui tu as absolument raison... je me suis embrouillé dans les notations... En fait j'ai toujours pas vraiment compris pourquoi c'était la loi de Fick. L'équation de diffusion est habituellement introduite avec une dérivée première par rapport au temps et une dérivée seconde par rapport aux coordonnées d'espace.

Tu es bien sûr que y représente une coordonnée cartésienne et pas le temps ? Et c'est quoi VZ ???

(quelque chose me dit que le signe de la constante va changer... )

[invite7f0233d4]

Arghh oui tu as absolument raison... je me suis embrouillé dans les notations... En fait j'ai toujours pas vraiment compris pourquoi c'était la loi de Fick.L'équation de diffusion est habituellement introduite avec une dérivée première par rapport au temps et une dérivée seconde par rapport aux coordonnées d'espace.

Ok,Non celle la c’est la deuxième loi de Fick (considérant le régime transitoire).
Mais la je suis dans le cas de la première loi de Fick sauf que j’étudie la diffusion bidimensionnel (d’habitude c’est dans une direction).

Et c'est quoi VZ ???

C’est désole (je suis désole pour les notations) c’est la vitesse du soluté selon y elle est constante.

(quelque chose me dit que le signe de la constante va changer... )

lol,
Du moment que j’assimile et comprenne la façon de résoudre c’est pas un problème

[invite8c514936]

Mais la je suis dans le cas de la première loi de Fick sauf que j’étudie la diffusion bidimensionnel (d’habitude c’est dans une direction).

Alors dans ce cas il te manque un terme de dérivée seconde en y !

L'équation de diffusion avec un terme de convection à vitesse constante dans la direction y s'écrit

et dans le laplacien [tex\Delta[/tex] il y a deux dérivées secondes, une par rapport à x et une par rapport à y :

Nan, j'ai loupé un truc ?

[invite7f0233d4]

tu veux dire celle la:


c'est pas plutot un probleme avec ma fonctionX(x)!!?

[invite8c514936]

Non !

Tu mélanges x et X depuis le début, c'est peut-être dès là que ça dérape. L'équation de diffusion fait intervenir les variables que tu as appelées x et y. La méthode de séparation des variables consiste à chercher la solution CA sous la forme CA=f(x)*g(y). Tu as choisi d'introduire la notation CA = X(x)*Y(y), c'est ton droit, mais tiens-toi y !

Ensuite, dans le message #7 tu as bien séparé les variables et tu obtiens deux équations, une sur X(x) et une autre sur Y(y). La fonction Y que tu écris depuis deux messages n'est pas la bonne solution.

[invite7f0233d4]

Non !

Tu mélanges x et X depuis le début, c'est peut-être dès là que ça dérape. L'équation de diffusion fait intervenir les variables que tu as appelées x et y. La méthode de séparation des variables consiste à chercher la solution CA sous la forme CA=f(x)*g(y). Tu as choisi d'introduire la notation CA = X(x)*Y(y), c'est ton droit, mais tiens-toi y !

Ensuite, dans le message #7 tu as bien séparé les variables et tu obtiens deux équations, une sur X(x) et une autre sur Y(y). La fonction Y que tu écris depuis deux messages n'est pas la bonne solution.

ok,
donc celle la - Y'+ Y=0 (Dans le cas ou je prend ma constant=-)

ça marche ou bien je suis vraiment K.O

[invite8c514936]

Oui c'est ça, il te reste maintenant à la résoudre ! (ce qui se fait très bien, mieux que l'autre même !)

[invite7f0233d4]

En négligeant la convection, et considérant ainsi le transfert régis par un phénomène de diffusion on a :


+ = 0…(1) (Bidimensionnel)

On est d'accord,c’est bien un « + » mais Contrairement à d’habitude la on a! >0
Car je dois avoir: < 0 (sens négatif des y)

Ok, J’ai retenu la leçon lol : je pose .

Je remplace cette dernière dans (1) :
Je trouve .
Je pose ma constante = - c’est bien ça ?
J’obtiens deux équations :

{Ce sont des E.D.L homogène du second ordre}.

On aboutira aux solutions suivantes de la forme :
.
.

Voila comment poursuivre?

[invite8c514936]

En négligeant la convection

Pas besoin de la négliger, tu l'as prise en compte dans ton changement de variables précédent... Mais peu importe, poursuivons...

La constante, a priori, peut être positive ou négative, il faut voir si ton problème physique interdit une de ces deux possibilités ou pas.

Pour aller plus loin, il te faut écrire les conditions aux limites, ça va fixer certaines constantes d'intégration en fonction d'autres. Il y a aussi une raison physique pour laquelle D doit être nulle...

[invite7f0233d4]

Pas besoin de la négliger, tu l'as prise en compte dans ton changement de variables précédent

A vrai dire, j’ai négliger ce que j’appelle le terme Transport= (c’est pas ça que tu designe par convection).

Bref
Si la constante est >0 on aura tout juste le contraire en terme de solutions:
.
.

Mes conditions limites (d’après l’énoncé disponible plus haut) :
Pour .

Pour

Pour .
On est d'accord?

J’ai j’ai des conditions sur x y ça veut dire qu’il faut que ça soit indépendant de ce que j’ai ds G(y)!!.
J‘y vois pas grand-chose.