Flèche d'une poutre rectangulaire encastrée - formule

[invitefe330b71]

Bonjour tout le monde !

Alors je suis étudiant en 2eme année de prépa , et je n'ai aucune notion (profonde ) en résistance des matériaux. En fait avec mon groupe nous avons choisi ce thème pour le présenter pour l'épreuve de TIPE, et on voulait caler un petit exercice qui étudiais la réponse d'une poutre à une déformation, cet exercice qu'on avait eu à l'occasion d'un DS.

Bon en fait le petit problème c'est que dans l'énoncé de cet exercice , il était question d'étudier la déformation d'une fibre encastrée soumise à une force F, les paramètres étant :
-d , le diamètre
-l , la longueur sur laquelle la fibre était encastrée
- E , le module de Young du matériau de la fibre.
-F , la force à laquelle était soumise la fibre.

et la formule donnant la flèche est Y= 7* l³*F / [ E*d⁴ ].
Avec ça montrais qu'il y avait équivalence avec un ressort de longueur à vide nulle et ensuite c'était comme sur des roulettes, Y et F ayant même exposant.

Maintenant en fait il me faudrait l'expression de la flèche pour une poutre rectangulaire donc où on tiendrait compte des variables de hauteur et largeur, car pour ce qu'on veut faire par la suite une fibre de verre ça passe pas du tout :-/ . J'espère que la linéarité entre F et Y sera conservé sinon tout tombe à l'eau ..

J'ai cherché par moi mais j'ai pas trouvé grand chose malheureusement.

Merci et à bientot !

EDIT : J'ai oublié de préciser la poutre est horizontale et le mouvement de l'extrémité est vertical.
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[sitalgo]

B'jour,

Je ne vois pas d'où tu sors un 7.
La formule de la flèche est ici y = FL³ / 3EI
L'inertie d'une section circulaire I = pi d⁴ / 64
Section rectangulaire I = bh³ / 12

[Jaunin]

Bonjour,
Je ne comprends pas votre phrase :"-l , la longueur sur laquelle la fibre était encastrée" ou libre. Auriez-vous un croquis.
Sinon, Sitalgo, vous à donné toutes les formules.
Cordialement.
Jaunin__

[invitefe330b71]

Bonjour !

En fait Jaunin j'ai fait une erreur en recopiant , l est la distance de la fibre et non la distance sur laquelle la fibre est encastrée ( d'ailleurs je trouve ça surprenant que cette variable là n'intervienne pas) .

Ok d'accord, pour le facteur 7 , je ne sais pas non plus la formule est donnée comme ça , il est juste précisé que ce facteur 7 est adimensionné.

Pour Sitalgo, tu me dépannes bien merci beaucoup ! Bon alors juste 1 ou 2 précisions , dans la formule du moment d'inertie de la section rectangulaire les variables b et h représentent quoi ? b est la "profondeur " et h la " hauteur " de la section ?

Sinon c'est bizarre parce que en plus avec la formule du moment d'inertie d'une section circulaire que tu me donnes , on retrouve pas du tout la formule que j'ai moi.
En fait peut être que 7 = très approximativement = 64/ (3*Pi) , mais ça me parais vraiment grossier pour expliquer ce facteur 7.

En tout cas merci beaucoup à vous deux !

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jaunin]

Bonjour,
Pour vous faire une idée un peu plus précise, je vous joins un site qui pourra vous aider si vous ne l'avez pas déjà vu, il y en a d'autre.
La partie encastrée fait partie de l'encastrement, si je puis dire, dans votre cas.
Pourriez-vous nous dire d'où viens la formule avec le 7 (qui n'est pas un porte-bonheur)
Amicalement.
Jaunin__

http://fr.wikipedia.org/wiki/Moment_quadratique

[invitefe330b71]

Bonsoir !

Et bien merci pour ce site , en fait les moments quadratiques me font pas mal penser aux moments d'inerties qu'on a étudié en classe pour la mécanique des solides indéformables, en particulier je vois qu'on retrouve le théorème de Huygens sur le changement d'axe !

Alors pour la formule avec le 7 , en fait l'an dernier quand j'étais en MPSI ( je pense que le terme " math sup" est plus parlant ) en physique-chimie on avait un chapitre qui concernait les oscillateurs et les équations différentielles associées ; et à la fin du chapitre on avait eu un DS où on étudiait les vibrations de la poutre ayant subit une déformation ; la formule reliant Y et F était donnée sans justification dans l'énoncé.

Voilà .

En tout cas merci !

[invitefe330b71]

En fait j'ai un peu cherché dans les documents que j'avais déjà et j'ai une formule faisant intervenir un moment quadratique c'est la suivante

f = FL3 /48EI , y'a juste un petit schéma avec où on voit que f est la flèche de la poutre , et que celle ci semble encastrée entre 2 murs distant de L, et soumise semblerait il à une contrainte F en son milieu. Quelqu'un peut confirmer que la formule est bien celle donnant la flèche d'une poutre soumise à une contrainte en son milieu et encastrée entre 2 murs ? ?s

Merci !

[Jaunin]

Bonjour,
Toute votre description est juste, sauf :"et encastrée entre 2 murs ? ?s"
C'est une poutre sur 2 appuis.
Cordialement.
Jaunin__

[sitalgo]

Quelqu'un peut confirmer que la formule est bien celle donnant la flèche d'une poutre soumise à une contrainte en son milieu et encastrée entre 2 murs ? ?s

La poutre est soumise à un effort, une force, une charge... les contraintes sont les efforts intérieurs à la poutre, sigma et tau.

[Jaunin]

Bonjour, Duhendil,
Ci-joint une information, que j'espère vous apportera quelque réponse à vos questions.
Amicalement.
Jaunin__

http://www.dunod.com/pres_detail/203...itsPartie7.pdf

[invite293b26c4]

Bonjour tout le monde,

J'ai une question sur les calculs de force pour des efforts de flexion.
On obtient un coefficient K=3 pour une flexion pure et K=48 pour une flexion avec 2 appuis.
Comment obtient-on ces 2 coefficients ??

Merci d'avance.
Cordialement.

[Jaunin]

Bonjour, Guimon,
Pourriez-vous me rappeler ce qu'est une flexion pure, je ne m'en souviens pas.(âge)
Pour ce qui est du facteur K, dans ce cas 48, il faut reprendre les équations des déformées de la poutre, et pour finir dans le cas de la charge au centre, pas simplification, on obtient cette formule finie.
Amicalement.
Jaunin__

[invitefe330b71]

OK merci beaucoup Jaunin !

Sur le schéma que j'avais dans mes documents on voyait mal que la poutre reposait sur 2 appuis et n'était pas encastrée, merci pour la documentation !

Dernière petite question , pourriez vous m'écrire la formule pour la flèche d'une poutre , comme avant mais encastrée entre deux murs à la place de posée sur deux appuis ? En tout cas celle avec les 2 appuis va m'être assez utile je pense , je suis ravi .

Merci beaucoup !

[Jaunin]

Bonsoir,
Pour une poutre encastrée à chaque extremité
Chargement ponctuel à mi-travée:

Reaction A = Reaction B = P/2

Moment = (P/8)*(L-4x)

x=>distance d'application de la mesure
L=>distance entre point d'encastrement

Moment A = -Mmax = -PL/8

Fleche Yx = (P/(48EJ))*(3x^2L-4x^3)

Fleche max au centre = (PL^3)/(192EJ)

Cordialement.
Jaunin__

[invite293b26c4]

Pourriez-vous me rappeler ce qu'est une flexion pure

Je voulais simplement désigner une flexion simple (une seule extrémité fixée).
Merci pour votre réponse et votre aide.
Cordialement.

[invite293b26c4]

C'est encore moi,

J'ai une nouvelle question: concernant votre lien, http://www.dunod.com/pres_detail/203...itsPartie7.pdf, qui m'a permis de comprendre comment on trouvait le K=48, d'où provient la relation : Y''=-Mf/(E*I) car c'est le départ de la démonstration...
Cordialement

[Jaunin]

Bonjour,
Comment vous dire, on comprend comment se forme le Mmax=Px/2 pour x=l/2 M=Pl/4.
Dans le cas d'une poutre constante, le J est constant et E est connu.
On dit, on sait que y'' =-M/EJ= (P/EJ)*(l-x), car y'' est la coubure, y' est la pente le long de la déformée,y f(x) est la ligne elastique.

J'espère vous avoir un peu aidés, c'est ce que je me souviens (1972), maintenant si quelqu'un sur le forum peut être plus explicite avec une information plus récente, je suis aussi intéressé.
Cordialement.
Jaunin__

[invite9521b76c]

Bonsoir,
J'ai trouvé ce powerpoint en ligne qui redémontre la formule Y''=Mf/EI sur les 5 premiers slides. C'est expliqué de façon assez claire.
http://lsms.epfl.ch/enseign_files/MS...ion_pr_pdf.pdf

Cordialement.

[invite9521b76c]

[edit] Désolé pour le double post, erreur de manipulation...