Le 1/2 de l'energie cinetique

[ABN84]

bonsoir,
si j'ai bien compris, Newton stipulait que ce qui est conservé c'est m.v et Leibniz m.v² .
la question que je me pose c'est, historiquement comment est-on arrivé à ajouter le 1/2?
merci
-----

[Coincoin]

Salut,
Question intéressante ! mv² est tout aussi valable comme grandeur conservée, le 1/2 ne peut donc venir que d'une comparaison avec d'autres formes de grandeur. C'est en quelque sorte le facteur de conversion entre l'énergie cinétique et les autres énergies. Historiquement, je ne sais pas à quelle autre forme d'énergie ça a été reliée, sûrement une énergie électrique.

[BioBen]

Peut etre pour que l'on puisse passer de l'Ec à la quantité de mouvement en dérivant.....

[GrisBleu]

Salut

A priori, comme ca, ca doit venir du fait que
- l expression la plus simple pour les forces c est F = ma (on aurait pu mettre F=2ma, juste une redefinition des constantes)
- le travail elementaire est F.dl soit m v.dv d ou Ec=1/2 mv2

Il y a peut etre d autres explications

++

[A voir en vidéo sur Futura]

[ABN84]

bonjour,

Peut etre pour que l'on puisse passer de l'Ec à la quantité de mouvement en dérivant.....

à l'époque la notion d'énergie n'existait pas encore. je crois qu'ils appelaient ça force vive. et on n'étaient pas encore d'accord sur l'expression de la quantité de mvt, alors je ne penses pas que ce soit ça.

mv² est tout aussi valable comme grandeur conservée

c'est justement cette réflexion qui m'a amené à me poser cette question.

le 1/2 ne peut donc venir que d'une comparaison avec d'autres formes de grandeur.

c'est une piste à creuser.

[Coincoin]

Je n'avais pas pensé qu'il devait y avoir une relation entre quantité de mouvement et énergie. Néanmoins, je pense que ça ne suffit pas pour autant.

On pourrait très bien considérer mv² et 2mv comme grandeurs pertinentes. Ça oblige à redéfinir ce qu'on appelle "force" (une "force" de 1N donnerait alors une accélération de 0,5 m/s² à une masse de 1kg). Mais au final on se rendrait compte que notre "énergie cinétique" donne le double lorsqu'on la convertit en une autre forme d'énergie.

J'ai pas creusé la question et il faudrait voir dans quelle mesure on peut construire tout un système d'unités cohérent.

[invitec053041c]

Le calcul différentiel n'étant pas développé à l'époque, du moins pas rigoureusement, je ne pense pas que la justification ait été que l'on puisse retrouver la quantité de mouvement en dérivant.
Je suis d'accord avec ce que dit coincoin, il s'agissait de comparer à d'autres types d'énergies..

[invite111cf9ee]

Salut

je crois que le 1/2 vient du calcul intégrale. Un lien entre le carré de mv² et en intégrant, on passe le 1/2 en constante d'intégration.
je devrais retrouver ca... mais je dirais que ca vient de la.

[Rincevent]

salut,

Mais au final on se rendrait compte que notre "énergie cinétique" donne le double lorsqu'on la convertit en une autre forme d'énergie.

J'ai pas creusé la question et il faudrait voir dans quelle mesure on peut construire tout un système d'unités cohérent.

il me semble aussi que le 1/2 est apparu après des considérations sur la conservation de l'énergie et qu'il a en particulier été introduit par Coriolis (ce que semble aussi confirmer wiki qui mentionne aussi "Poncelet").



[edit] ajout de la citation de Wiki

The recalibration of vis viva to



which can be understood as finding the exact value for the kinetic energy to work conversion constant, was largely the result of the work of Gaspard-Gustave Coriolis and Jean-Victor Poncelet over the period 1819-1839. The former called the quantity quantité de travail (quantity of work) and the latter, travail mécanique (mechanical work), and both championed its use in engineering calculation.

[invitea774bcd7]

Ça sort naturellement de la définition, non ? --> http://en.wikipedia.org/wiki/Kinetic...and_definition

[stefjm]

Ça sort naturellement de la définition, non ? --> http://en.wikipedia.org/wiki/Kinetic...and_definition

Historiquement?

[invitea774bcd7]

Bah historiquement, on a dit que c'était le travail nécessaire à amener l'objet à sa vitesse, on a définit comment calculer le travail d'une force et voilà !

[stefjm]

Salut,
Question intéressante ! mv² est tout aussi valable comme grandeur conservée, le 1/2 ne peut donc venir que d'une comparaison avec d'autres formes de grandeur. C'est en quelque sorte le facteur de conversion entre l'énergie cinétique et les autres énergies. Historiquement, je ne sais pas à quelle autre forme d'énergie ça a été reliée, sûrement une énergie électrique.

On ne trouve pas ce 1/2 que dans les énergies cinétiques.
1/2 L i^2 (energie stokée dans une inductance, ok c'est cinétique)
1/2 C u^2 (energie stokée dans un condensateur, là c'est plutôt potentiel)
1/2 k x^2 (energie stokée dans un ressort)

Ce qui est probable, c'est qu'il a du faire se poser des questions au précurseurs qui obtenaient comme grandeur sans dimension ce 1.98 ou 2.02!

2 pile poil, ça sent la géométrie! Je dirais très simplement l'aire du triangle : base*hauteur/2. (m.v).v/2

[invite5456133e]

comment est-on arrivé à ajouter le 1/2?

Il vient du théorème de l'énergie cinétique:
la variation d'énergie cinétique est égale au travail des forces extérieures
dE = dW = F dx
dE/dt = dW/dt = F dx/dt = Fv = m a v = m v dv/dt
dE = m v dv
d'où
E = m v²/2

Salut!

[Gwyddon]

Hello Rik,

J'ai l'impression que tu fais une mauvaise lecture de cette discussion (ou alors c'est moi qui bug )

La question m'a l'air historique : d'où vient, historiquement, l'introduction du 1/2 ?

Car comme déjà dit plus haut, cf les messages de Rincevent, Ledescat et Coincoin.

[stefjm]

Bah historiquement, on a dit que c'était le travail nécessaire à amener l'objet à sa vitesse, on a définit comment calculer le travail d'une force et voilà !

Reste quand même que le 2 sans dimension peut être placer où l'on veut dans le bilan d'énergie.

Pourquoi 1/2 sur le cinétique et pas 2 sur le potentiel?

La question initiale est intéressante; du genre de celles que je me pose volontier.

[stefjm]

On ne trouve pas ce 1/2 que dans les énergies cinétiques.
1/2 L i^2 (energie stokée dans une inductance, ok c'est cinétique)
1/2 C u^2 (energie stokée dans un condensateur, là c'est plutôt potentiel)
1/2 k x^2 (energie stokée dans un ressort)

Tous ces 1/2 m'amènent à penser qu'on les aurait simplifier de la définition de l'énergie s'il y avait eu des 1/2 partout.

Je me dis donc qu'il doit y avoir des relations ne faisant pas intervenir de 1/2.

Ex : Energie potentielle de pesanteur :
G M M' / r²
m g r si champ uniforme.

Il faut donc qu'il y ait un deux quelque part! La seule façon de sucrer ce "2" si on y tient vraiment serait de l'inclure dans la définition des constantes universelles par une opération de rationnalisation du genre de celle de la définition du coulomb et de son 1/(4pi ep0)??

On dirait que ce deux est une indétermination du genre de celle du 2pi entre et

Pourquoi n'a-t-on pas choisi de mettre ce deux sur l'énergie potentielle?
Du genre 2 G M M' / r² ou 2 m g r.

[Deedee81]

Salut,

Pourquoi n'a-t-on pas choisi de mettre ce deux sur l'énergie potentielle?
Du genre 2 G M M' / r² ou 2 m g r.

Ou 1/sqrt(2) et srqt(2), comme ça tout le monde est content (et c'est symétrie, comme la TF)

Blague à part, la question est historique et justement l'objet de ce fil. Je suis prêt à parier que c'est Wlad qui a raison car je sais qu'il y a eut une grosse discussion à ce sujet au XVIIIème siècle, où justement il était question de "démontrer" que l'énergie cinétique était en mv ou en mv^2 (ça t'étonne de voir cette différence de dimension ? Ben, non, puisque justement c'était discuté Ca ne s'appellait pas comme ça d'ailleurs à l'époque. C'est pas la "force vive" ? Je ne suis plus sur). Or ces calculs devaient sûrement se faire dans le cadre de la mécanique (et la vérification expérimentale s'est faites en mesurant la déformation due à un impact en laissant tomber des poids sur une surface molle).

Ceci dit, je connais l'histoire mais pas les articles ayant conduit à ça. Il fraudrait lire les écrits de Madame du Châtelet (Gabrielle Émilie Le Tonnelier de Breteuil), elle remettait justement en cause l'énergie en mv et défendait celle en mv² (elle a même traduit les Principia et était, sur ce point, en désaccord avec Newton). Si quelqu'un a accès à ses travaux, qu'il vérifie si le 1/2 y est déjà (un certain nombre de ses oeuvres, dont la traduction des principa, sont disponibles en ligne mais pas celles où elle effectue le calcul de l'énergie cinétique, snif)

[chatelot16]

Le calcul différentiel n'étant pas développé à l'époque, du moins pas rigoureusement, je ne pense pas que la justification ait été que l'on puisse retrouver la quantité de mouvement en dérivant.

l'energie potentielle est facile a definir des le depart comme la multiplication d'une force par une distance : aucune raison d'y mettre un coefficient

pour l'energie cinetique c'est aussi la multiplication d'une force par une distance si on lance un mobile avec une force constante appliqué sur la distance qu'il faut pour avoir la bonne vitesse

evidement avant la formalisation de l'integration ce n'est pas facile mais les savants de genie ont compris la physique avant de faire des maths

je pense que les experience pour mesurer la chutes des corps ont du etre importantes

[Universus]

Bonjour à tous,

Sujet bien intéressant. Cela m'a amené à jeter un coup d'oeil dans mon bouquin scolaire qui traite brièvement aussi de l'histoire de certains concepts physiques. Je vous propose donc ici le passage traitant du principe de conservation de l'énergie¹:

En 1667 (deux ans avant la formulation vectorielle de la définition de la quantité de mouvement par Wallis), Christian Huygens découvre que pour une collision entre deux balles rigides, la somme des quantités scalaires mv² des deux balles est la même après la collision qu'avant. Gottfried Leibniz donne le nom de vis viva à la quantité mv², ce qui signifie «force vive» en latin. (La vis viva correspond au double de notre concept moderne d'énergie cinétique : il ne s'agit pas d'une force, mais bien d'une énergie).

Les expériences de Newton sur les collisions montrent que la conservation de la vis viva est une propriété particulière de certaines collisions seulement (celles que l'on appelle aujourd'hui des collisions élastiques), alors que la conservation de la quantité de mouvement est une principe universel qui est valable pour toutes les collisions. En 1702, Huygens démontre que dans toute collision qui conserve la vis viva, les vitesse relatives sont inversées [...].

Il faudra attendre 150 ans pour que l'observation particulière de la conservation de la quantité mv² dans une collision élastique mène à la formulation du principe général de conservation de l'énergie. En effet, pour pouvoir formuler le principe de conservation de l'énergie, il faut d'abord réaliser que l'énergie peut exister sous plusieurs formes très diverses dont l'énergie cinétique, l'énergie potentielle gravitationnelle et l'énergie thermique.

[...] on a mentionné que Galilée a découvert qu'en l'absence de frottement, une bille qui part du repos et qui accélère en descendant un plan incliné remonte un deuxième plan incliné afin de revenir à sa hauteur verticale initiale [...]. Galilée a également remarqué un comportement similaire pour la masse d'un pendule : aux extrémités de son mouvement, la masse revient toujours à la même hauteur et ce, même si on entrave l'oscillation avec un clou [...].

Ces deux observations montrent que malgré la complexité du mouvement, il y a «quelque chose» qui demeure constant. Toutefois, si on considère seulement la vis viva, il n'y a pas de conservation : la vis viva est maximale au point le plus bas du mouvement et elle disparaît aux deux extrémités. Huygens savait que la vitesse au point le plus bas est proportionnelle à la racine carrée de la hauteur verticale de chute (v α √(Δy)); ainsi, la vis viva mv² est proportionnelle à mΔy. On n'est pas très loin de (1/2)mv² = mgΔy, mais on n'y est pas encore!

La suite de l'histoire de la découverte du principe de conservation de l'énergie est intimement reliée à l'évolution des machines à vapeur Vers 1710, les premières machines à vapeur commerciales sont utilisées pour pomper l'eau des mines. Pour faire fonctionner un moteur à vapeur, on chauffe de l'eau jusqu'à ébullition en faisant brûler du charbon et on introduit la vapeur dans un cylindre muni d'un piston. En arrosant l'extérieur du cylindre, on diminue la température du cylindre; la vapeur à l'intérieur se condense, la pression diminue, la pression atmosphérique extérieure enfonce le piston, et on recommence le processus.

Au cours du 18e siècle, plusieurs scientifiques se penchent sur le fonctionnement des machines à vapeur pour tenter d'améliorer leur rendement. Afin de quantifier le rendement, on développe des méthodes pour comparer «l'énergie» que possède le carburant et le «travail» utile effectué par le moteur. On s'aperçoit que pour comparer entre eux les travaux effectués par les moteurs à vapeur utilisés pour pomper l'eau des mines, il est utile de calculer le produit du poids de l'eau pompée, mg, multiplié par la hauteur de pompage, Δy.

afin de calculer la quantité de combustible nécessaire pour faire bouillir une certaine quantité d'eau et la quantité de liquide de refroidissement nécessaire pour condenser une certaine quantité de vapeur, Joseph Black élabore en 1764 les concepts de chaleur spécifique et de chaleur latente. En optimisant les différentes étapes du fonctionnement du moteur à vapeur, un collègue de Black, James Watt, parvient à améliorer le rendement des moteurs à vapeur par un facteur 6 environ. En 1775, Watt obtient un brevet d'un quart de siècle sur ses inventions, ce qui fera de lui le premier physicien-ingénieur de l'histoire à s'enrichir de manière phénoménale!

Entre 1842 et 1847, trois scientifiques arrivent indépendamment à la même conclusion : il est possible de définir une quantité physique qui peut prendre différentes formes (chimique, cinétique, thermique, etc.) et dont la valeur est conservées dans tout système isolé.

En 1842, le médecin Julius Mayer émet l'hypothèse que la chaleur générée par le corps humain est produite par la combustion de l'oxygène dans le sang et par le relâchement et la contraction des muscles. Le lien étroit qu'il entrevoit entre l'énergie chimique, l'énergie mécanique et l'énergie thermique l'amène à énoncer un principe général d'interconvertibilité et de conservation de l'énergie. Il affirme même que toutes les formes d'énergie que l'on utilise sur Terre ont comme origine ultime le rayonnement solaire. Malheureusement, la communauté scientifique ne reconnaît pas immédiatement l'importance des travaux de Mayer; en raison de sa formation médicale, il n'utilise pas le style et le jargon auxquels sont habitués les autres physiciens.

Ignorant l'existence des travaux de Mayer, James Joule mesure l'élévation de la température dans un liquide remué par une spatule rotative reliée par une corde à un bloc qui tombe d'une certaine hauteur. Il détermine ainsi avec précision une relation générale entre l'élévation de température et le produit de la masse du bloc, du champ gravitationnel et de la hauteur de chute (mgΔy). En 1845, il présente les résultats de son expérience ainsi que ses idées concernant l'interconvertibilité et la conservation de l'énergie.

En 1847, un autre médecin, Hermann von Helmoltz, arrive indépendamment aux mêmes conclusions que Mayer et Joule. Étant mis au courant des travaux de Mayer, il insiste pour que la primauté de la découverte revienne à Mayer. De nos jours, il est d'usage de créditer la découverte du principe de conservation de l'énergie à Mayer, Joule et von Helmoltz.

Autrement, comme le montre monsieur Séguin dans son livre, il est possible, à partir de la définition du travail, du principe fondamental de la dynamique et des équations du mouvement afin de déterminer l'expression de l'énergie cinétique sans faire intervenir le principe de conservation de l'énergie (comme semble le faire remarquer chatelot16).

Amicalement
________________
1. SÉGUIN, Marc. Physique xxi : Mécanique. Automne 2007. p.279-281.

[Deedee81]

Bonjour,

Merci universus. Il me semble que cette synthèse historique était fort utile.

Cet historique, en combinaison avec les expériences de mesure de l'énergie cinétique par la chute d'objets (Chatelet et d'autres dont je ne me souviens malheureusement plus le nom, j'avais entendu cette discussion sur l'énergie dans le fameux documentaire E=mc², autopsie d'une équation), il semble donc que ca tourne autour du dix-huitième. Reste à trouver le coupable qui a mit le 2 en dessous

[gersol]

Bonjour,
Je regrette de faire revivre cette discussion. A mon avis il semble que ce soit seulement une question (d'action = réaction). Exemple: une voiture qui accélère sur une route acquiert une énergie cinétique mais donne la moitié de l'énergie dépensé à la terre dans l'autre sens d'ou 1/2mv2 pour la voiture seule.

[soliris]

Bonjour,
Je regrette de faire revivre cette discussion. A mon avis il semble que ce soit seulement une question (d'action = réaction). Exemple: une voiture qui accélère sur une route acquiert une énergie cinétique mais donne la moitié de l'énergie dépensé à la terre dans l'autre sens d'ou 1/2mv2 pour la voiture seule.

C'est l'une de mes 2 options, la deuxième sortant de l'espace parcouru (d) dans l'accélération: E = 1/2 mv² mais aussi E = M. a. d = M. a. at²/2.

[Deedee81]

Salut,

Ce sont des explications sympas mais pas très juste (par exemple, la "moitié de l'énergie", pourquoi cela devrait-il être forcément la moitié de mv² ?!!!!).

En fait, ça vient de l'intégration. Voir ici :
https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89...cin%C3%A9tique

Le travail est défini comme la force fois le déplacement, et chttit calcul, on en déduit l'énergie cinétique.

(le 1/2 signalé par Soliris avec at²/2, ça vient aussi de l'intégration et c'est la distance parcourue, ce qui via la définition du travail donne en effet ce bon vieux 1/2 de l'énergie cinétique)

P.S. quand on n'est pas sûr, il est préférable de poser une question plutôt que de faire une affirmation et dans une nouvelle discussion, ce qui évite le déterrage.
D'autant en plus qu'ici la bonne réponse avait déjà été donnée dans le message 4.
(et ensuite on a surtout discuté histoire)

[albanxiii]

A mon avis

Ceci n'a aucune valeur scientifique.
L'énergie cinétique dépend du référentiel dans lequel on se place. Votre phrase ne veut rien dire.

Soliris : n'importe quoi, comme à votre habitude.

[Deedee81]

Ca ne (re)part pas vraiment sur de bonnes bases (en plus du déterrage, of course).

Je prend donc la liberté de fermer.

Gersol, si tu avais d'autres questions concernant l'énergie cinétique ou approchant, je ne peux que te conseiller d'ouvrir une nouvelle discussion en expliquant bien l'objet de ta question.