Equation de Shrodinguer

[Rodeon]

Bonjour à tous,

je suis actuellement en train de bosser sur la naissance de la mécanique ondulatoire et sur l'obtention de l'équation de schrodinger.
D'aprés les différents documents que j'ai pu lire, je sais que cette équation dérive de l'équation d'Hamilton-Jacobi en mécanique analytique et qu'elle est intimement liée à l'onde de De Broglie,
mais je n'arrive pas à trouver une démonstration mathématique rigoureuse. Je suppose également que cette équation (de schrodinguer) doit pouvoir se démontrer de plusieurs facons!

Quelqu'un aurait il sous la main des documents qui traite de la question?
Auriez vous des sites à me conseiller?

Merci
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[mtheory]

Bonjour à tous,

je suis actuellement en train de bosser sur la naissance de la mécanique ondulatoire et sur l'obtention de l'équation de schrodinger.
D'aprés les différents documents que j'ai pu lire, je sais que cette équation dérive de l'équation d'Hamilton-Jacobi en mécanique analytique et qu'elle est intimement liée à l'onde de De Broglie,
mais je n'arrive pas à trouver une démonstration mathématique rigoureuse.

Ben justement y en a pas!
On peut juste faire des dérivations très raisonnables mais comme l'a dit Feynman elle ne se démontre pas vraiment.
Dans son cours de MQ il dit même que certain des arguments de Sc étaient FAUX!
Bon si Humanino passe par là il te dira le contraire,on est cordialement en désaccord

Je suppose également que cette équation (de Schrodinger) doit pouvoir se démontrer de plusieurs facons!

Quelqu'un aurait il sous la main des documents qui traite de la question?
Auriez vous des sites à me conseiller?

Merci

Oui,on peut la dériver de l'intégrale de chemin de Feynman ou des équations de Heisenberg par ex.
Je te conseil de te proccurer les ouvrages de De Broglie,si ce n'est déjà fait comme je le suppose, mais surtout le livre de Sin Itirô Tomonaga sur la MQ.
Une remarque importante ,la mécanique ondulatoire n'EST PAS la mécanique quantique qui contient une équation d'évolution du vecteur d'état.
L'équation d'onde de Sc n'en est qu'un cas particulier.

[invitea3fc981a]

Il me semble d'ailleurs que l'équation de Schrödinger fait partie des postulats de la physique quantique, par essence on ne peut donc pas la démontrer... Non ?!? :confused:

[chaverondier]

Je suis actuellement en train de bosser sur la naissance de la mécanique ondulatoire et sur l'obtention de l'équation de Schrödinger. D'après les différents documents que j'ai pu lire, je sais que cette équation dérive de l'équation d'Hamilton-Jacobi en mécanique analytique et qu'elle est intimement liée à l'onde de De Broglie, mais je n'arrive pas à trouver une démonstration mathématique rigoureuse. Je suppose également que cette équation (de Schrödinger) doit pouvoir se démontrer de plusieurs façons !

Démontrer rigoureusement l'équation de Schrödinger ça doit sûrement être possible en posant les axiomes appropriés, mais il n'est pas habituel de le faire. Une démonstration rigoureuse, donc très formelle, n'apporterait pas grand chose à sa justification physique car poser ces axiomes ne serait pas beaucoup plus naturel que poser brutalement l'équation de Schrödinger elle-même. Il est par contre possible de suivre un cheminement amenant à suggérer cette équation d’évolution de la fonction d’onde (au moins dans le cas de particules libres sans spin).

D'abord on commence par constater, fait expérimentaux à l'appui, le caractère ondulatoire de la lumière (fentes de Young et phénomènes de diffraction notamment) puis le caractère ondulatoire de la matière (diffraction d'un faisceau de neutrons par un cristal par exemple).

On constate ensuite (constat expérimental) la relation d'Einstein-De Broglie établissant le lien énergie-pulsation et le lien impulsion-vecteur d'onde entre grandeurs mécaniques conservées (énergie epsilon et impulsion p) et propriétés ondulatoires (pulsation oméga et vecteur d'onde k).

epsilon = hbar oméga (ou epsilon = h nu si on préfère) et p = hbar k

On remarque alors qu'une onde plane se propageant selon le vecteur d'onde k et avec la pulsation oméga s'écrit en notations complexes

psi(x,t) = exp(i k x - i oméga t)

Or on s'aperçoit que

* dpsi/dt = -i oméga psi soit ihbar d/dt psi = epsilon psi
* dpsi/dx = ik psi soit -i hbar d/dx psi = p psi

Ce constat nous permet d'associer
* à la grandeur mécanique énergie l'opérateur linéaire H = ihbar d/dt
* à la grandeur mécanique impulsion l'opérateur linéaire P = -ihbar d/dx

On constate en effet que l'onde psi(x,t) = exp(i k x -i oméga t)
* est vecteur propre de l'opérateur H = ihbar d/dt
* a pour valeur propre associée l'énergie epsilon = hbar oméga

* est vecteur propre de l'opérateur P = -ihbar d/dx
* a pour valeur propre associée l'impulsion p = hbar k

Par ailleurs, dans le domaine non relativiste et pour une particule libre de masse m, son énergie epsilon égale sa seule énergie cinétique selon la relation epsilon = (1/2) m v^2 = p^2/2m (relation epsilon = espilon(p) qui n’est autre que la relation non relativiste de Hamilton-Jacobi) (1)

Or cette relation est vraie pour toutes les valeurs propres associées aux vecteurs propres communs à l'opérateur H et à l'opérateur P (opérateurs qui se diagonalisent dans la base commune des ondes périodiques exp(i k x -i oméga t) et agissent sur l'espace vectoriel engendré par leurs vecteurs propres).

On sait alors que H = P^2/(2m) (car la relation algébrique entre deux opérateurs linéaires est la même que celle entre leurs valeurs propres) soit encore

ihbar d/dt = (- i hbar d/dx)^2/(2m)

Cela donne finalement l’équation de Schrödinger recherchée (pour une particule libre de masse m supposée associée à une onde psi(x,t) non nécessairement périodique cette fois-ci)

i hbar dpsi/dt = -(hbar^2/2m) d^2psi/dx^2

Maintenant, pour une interprétation physique de l'équation de Schrödinger comme exprimant la conservation d'un flux de probabilité de présence de la particule, voir le « Mécanique Quantique » tome I de Claude Cohen Tannoudji, édition Hermann, collection Enseignement des Sciences, chapitre III "Les postulats de la mécanique quantique", paragraphe D "Contenu physique de l'équation de Schrödinger".

Bernard Chaverondier
(1) La relation non relativiste de Hamilton –Jacobi définit l’Hamiltonien H par la relation H = p^2/(2m). Cette relation peut être vue comme l'approximation (pour c très grand) de la relation relativiste de Hamilton-Jacobi (H/c)^2 = p^2 + (mc)^2. Cet Hamiltonien relativiste H = H(p) découle lui-même du passage du Lagrangien L=L(v) au Hamiltonien H(p) = pv –L où p = dL/dv. Le Lagrangien L est associé au principe de moindre action consistant, pour une particule libre de masse m, en la recherche de la ligne d’univers minimisant l'intégrale d'action S = -int (mc ds) avec dans ce cas L = -mc^2 (1-v^2/c^2)^(1/2). En effet, pour p petit devant mc on a H = [p^2 + (mc)^2]^(1/2) = p^2/(2m) + mc^2 soit H(p) = p^2/(2m) en laissant tomber la constante mc^2 (car elle n’a pas d’incidence sur les équations d’évolution dynamique de Hamilton associées à H à savoir dx/dt = dH/dp et dp/dt = -dH/dx).

[A voir en vidéo sur Futura]

[Rodeon]

Bonjour,
merci pour votre réponse.
Cependant je cherche vraiment à reprendre la démarche historique.

Dans son traité Schrodinger part de l'équation d'Hamilton-Jacobi qui déjà à l'époque founissait un lien entre la mécanique et l'optique ondulatoire. Il effectue ensuite un calcul variationnel pour aboutir à son équation. Dans son ouvrage il ne détaille pas les calculs.
C'est pourquoi, j'aurais en fait voulu avoir plus d'info sur cette approche initiale.

[mtheory]

Bonjour,
merci pour votre réponse.
Cependant je cherche vraiment à reprendre la démarche historique.

Dans son traité Schrodinger part de l'équation d'Hamilton-Jacobi qui déjà à l'époque founissait un lien entre la mécanique et l'optique ondulatoire. Il effectue ensuite un calcul variationnel pour aboutir à son équation. Dans son ouvrage il ne détaille pas les calculs.
C'est pourquoi, j'aurais en fait voulu avoir plus d'info sur cette approche initiale.

Connais-tu le livre Classical mechanic de Goldstein?

[Rodeon]

Non je ne connais pas ce livre

[mtheory]

Non je ne connais pas ce livre

Il regroupe ,entre autres,tous les concepts de mécanique analytique,lagrangien,calcul variationnel,théorie de Hamilton Jacobi etc...nécessaire pour leur généralisation en relativité restreinte et MQ.
C'est le Landau,mécanique analytique, en mieux et beaucoup plus complet.
Toute les biblis des facs de sciences ont ce livre normalement.

[Rodeon]

Ok merci j'irai jeter un coup d'oeil