Cinématique relativiste

[inviteb6f66526]

Bonjour

J'ai un petit problème avec un problème de cinématique relativiste.

Une fusée s'éloigne de la Terre à une vitesse de

a) Un passager à bord de cette fusée observe un météore le dépasser parallèlement à sa trajectoire à une vitesse qu'il mesure comme étant . Quelle est la vitesse de ce météore par rapport à la Terre ?

Pour cet exercice J'ai considérer le référentiel O de la terre et le référentiel O' qui correspond à la fusée. Le référentiel O' s'éloigne donc du référentiel O à une vitesse par rapport à O. J'ai ensuite utilisé la formule de transformation des vitesses suivantes :



Je ne suis pas sûr que c'est juste.

Voici l'exercice b).

b) Un module mis à feu sur la fusée quitte celle-ci à une vitesse de 0,82c à angle droit avec la fusée (selon l'observation du passager de la fusée). Quelle est la grandeur et la direction de la vitesse du module (relativement à la direction du mouvement de la fusée selon des observateurs se trouvant sur terre ?

Pour cet exercice, je n'ai pas vraiment d'idée. J'ai essayer de décomposer le mouvement sur des axes x et y puis d'utiliser la formule précédente indépendament sur chacun des axes, mais quelqu'un m'a dit que cela ne marchais pas.

Quelqu'un aurait une idée pour m'aider un peu ? Merci d'avance de votre aide.
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[Thwarn]

Salut,

pour la question a), a moins d'une erreur de calcul ou de signe, c'est bien cette formule qu'il faut appliquer.

pour la b), le plus simple est de se placer dans le referenciel ou le module est au repos, trouver sa quadrivitesse (jusque la, c'est plutot simple) puis de faire deux TL pour repasser dans le ref de la Terre (attention aux signes!).
Une autre facon de voir est de se rappeler que les TL n'affecte pas les direction transversale a la vitesse dans un referentiel donne.
Si tu n'arrives toujours pas a avancer, dis le nous

[Derren Brown]

Salut,

en fait, (pour la question b) ) pour le début, tu peux reprendre exactement le même système d'axe/repère.

Je les notes :

- (R) repère fixe lié à la Terre, avec (4-x)=(x y z ct)
- (R') repère mobile lié à la fusée, avec (4-x')=(x' y' z' ct')

Quand tu t'occupais de la météore, tu trouvais les lois de composition des vitesses par une T.L., et tu en déduisais : Vitesse de la météore par rapport à la Terre : Vx = dx/dt=ce que tu nous as donné (j'ai pas vérifié le calcul, mais ça c'est pas grâve, l'important c'est le dx/dt).

Et bien ici, plutot que de sortir dx/dt, tu sors dy/dt (ou dz/dt, ou une autre direction perpendiculaire à l'axe x, mais ne te complique pas trop ).
Or c'est très simple, puisque dy=dy' (ou dz/dz').

Tu te retrouves avec la vitesse du module par rapport à la Terre (donc, exactement ce que tu cherches) en fonction de la vitesse propre du module V'y (V'x étant nul, celà s'annule dans le calcul).
Il te reste donc plus qu'a trouver V'y, et ce, comme l'a dit Thwarn, en considérant maintenant le système :
- (R) fixe = fusée
- (R') mobile = module

Voilà, méthode rapide après avoir fait la question a), où les matrices sont déjà posées : tu n'as plus qu'à en sortir les infos dont tu as besoins.

A+

PS : dit nous ce que tu trouves quand ce sera fait

[Derren Brown]

EDIT : je corrige un abus de langage qui peut prêter à confusion : quand je dis " vitesse propre V'y ", ça n'a rien à voir avoir un "temps propre" ou "temps impropre ", qui sont des termes bien précis en relativité, je n'aurais donc pas du l'employer ici.

Je parle en fait de la vitesse du module dans le référentiel de la fusée, V'y, soit 0.82c ici.
Il n'y a donc pas non plus besoins de considérer un nouveau système avec (R') mobile = module : on connait déjà la vitesse "relative" au repère (R) fusée.

Désolé si j'ai embrouillév les choses !

A+

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb6f66526]

Effectivement, je suis un peu perdu. Je n'arrive pas vraiment à comprendre si l'on peut dériver tel quel la vitesse du module depuis les transformations de Lorentz car celle-ci valent pour un déplacement dans une seule dimension alors que la on a un déplacement en deux dimensions ?

Est-ce que quelqu'un pourait m'écrire la dérivation depuis les transformations de Lorentz qui permettent d'arriver à la vitesse du module dans le référentiel R.

La réponse telle quelle ne m'intéresse pas vraiment, mais j'aimerais bien comprendre la dérivation depuis la transformation de Lorentz.

Merci d'avance.

[Thwarn]

ce qui est bien avec les TL, c'est que quand tu fais 2 TL de suite, s'en est encore une.
C'est peut etre un probleme de niveau... tu as bien vu les quadrivecteur? et surtout la quadrivitesse?
Si c'est bien le cas, le mieux est de trouver la 4vitesse dans le ref du module (c'est simple, il est au repos), puis de faire une TL pour se placer dans le ref de la fusee. Comme ton module va vers les y positif, tu fait une TL celon y. Puis tu passe du ref de la fusee a celui de la Terre, avec une TL celon les x.
Comme ces deux TL sont ortogonales, il n'y a pas de soucis.
Tu remarqueras que ton probleme est en 3D (t,x,y).

Si tu n'arrives toujours pas a avance, dis nous ce qui te bloque.

[Derren Brown]

Je n'arrive pas vraiment à comprendre si l'on peut dériver tel quel la vitesse du module depuis les transformations de Lorentz car celle-ci valent pour un déplacement dans une seule dimension alors que la on a un déplacement en deux dimensions ?

Oui, je vois le pb. C'est vrai qu'on nous répète sans arrêt qu'on choisit la direction x pour le sens du déplacement du référentiel mobile par rapport au référentiel fixe...mais pour les compositions des vitesses, ça ne s'arrête pas là.

Je reprends mes notations : (R) fixe = Terre et (R') mobile = fusée

Pour la question a), tu as du trouver les lois de composition des vitesses, non ?
Tu as calculé x en fonction de x' et t', et t en fonction de x' et t' par la T.L.
Ensuite tu as différentié tout ça pour avoir dx/dt, et tu as trouvé ton Vmx.
Ici, tu as donc trouvé la vitesse du météore, qui est un objet en déplacement dans le référentiel mobile (R') qui se déplace selon l'axe x.

Bon, et bien pour le b), ton module, c'est comme le météore, sauf qu'il se déplace selon (par exemple) l'axe y. Tu as donc toujours un objet en déplacement dans ton référentiel mobile (R') qui se déplace bien selon x, lui.
Il n'y a donc aucun problème à ce niveau là.

Pour cette question, il te faut juste considérer dy/dt au lieu de dx/dt. C'est exactement la même chose. C'est même plus simple, tu verras lors des calculs.

Au fait, pour pas t'embrouiller : la méthode que je propose n'est pas la même que celle de Thwarn, n'essais donc pas de les recouper ! Par contre, je te conseille de faire les deux, tu verras celle qui te convient.

A+

[inviteb6f66526]

Tu as donc toujours un objet en déplacement dans ton référentiel mobile (R') qui se déplace bien selon x, lui.

C'est exactement ceci que je n'avais pas remarqué. Mais j'ai toujours un problème quand j'essaie de trouver .

Je vais ceci :

D'après les transformations de Lorentz, on a :


et


On a donc :



et



Donc la dérivation :



Mais là je suis bloqué je ne vois pas ce que je dois faire pour continuer. Quelqu'un aurait une idée ?

[Derren Brown]

Ok, donc déjà, c'est bien d'avoir trouvé le problème.

Pour ton calcul, il ne faut pas trouver t' et ensuite en déduire t, ça complique.
Prend directement la T.L. dans le bon sens (attention aux signes).

Tu as donc :


et au final, tu obtient donc :


car dans ce cas.

Or, , donc c'est terminé !

Voilà, dis nous si c'est compris maintenant.

A+

[inviteb6f66526]

Ok donc ça fait :



En fait je n'arrive pas à obtenir comme toi car j'obtiens . Quelle est mon erreur ?

[Derren Brown]

L'erreur vient du "sens" de ta T.L..

Toi, tu trouves t' en fonction de t puis tu isoles t...au lieu de trouver directement t en faisant une T.L. dans le "bon" sens.

Bien sûr, en faisant comme tu le fais, tu devrais quand même trouver le bon résultat après des transformations/simplifications...mais comment ?

-> Ici, il te suffit de remplacer dx par sa valeur en fonction de dx' grâce à ta T.L. ! Comme tu le vois, autant prendre la T.L. dans l'autre sens, ça t'évite deux transformations supplémentaires.

Voilà voilà (et dsl d'avoir répondu un peu tardivement, mais je n'étais pas chez moi ces jours-ci).

A+

[inviteb6f66526]

Ok j'ai compris maintenant. Merci beaucoup en tous cas.

[Derren Brown]

De rien, et bon courage pour la suite .

A+