Aide pour un exo de méca

[invite171486f9]

Merci a tous de vos explications, donc au point P, sur la sphère :
V=racine(2gR(1-sinθ))
je dérive d'abord par rapport à θ :
dV/dθ=(-2gR.cosθ)/(2.racine(2gR(1-sinθ)))

pour avoir dV/dt, il faut multiplier l'expression par dθ/dt (comme si elle n'était pas assez compliquée comme ca ) :

dV/dt=(-gR.cosθ.racine(2gR(1-sinθ))/(R.racine(2gR(1-sinθ)))
a=-g.cosθ

enfin tout se simplifie...

Quelques dernières questions :
pourquoi R.dθ=V.dt ?
la vitesse calculée était dirigée par le vecteur unitaire orthoradial e_θ . Mais qu'en est-il de l'accélération trouvée ? Ce n'est pourtant pas une norme...

Merci d'avance
-----

[LPFR]

Re.

a=-g.cosθ

Je pense que vous voues êtes trompé dans le calcul. J'obtiens a=g sin(θ). C'est à dire la composante de g parallèle à la surface de la sphère (logique non?).

Quelques dernières questions :
pourquoi R.dθ=V.dt ?
la vitesse calculée était dirigée par le vecteur unitaire orthoradial e_θ . Mais qu'en est-il de l'accélération trouvée ? Ce n'est pourtant pas une norme...

Les deux côtes de l'égalité sont la distance parcourue par le point pendant un temps dt. L'arc R dθ et le distance Vdt.
Cette accélération est l'accélération tangentielle. L'accélération radiale est l'accélération centripète V²/R.
A+

[invite171486f9]

Ah oui en effet, je me suis trompé
on trouve uniquement la composante de l'accélération selon e_θ, parce que la vitesse s'exprimait uniquement selon e_θ ?
Pour l'accélération centripète, est-ce une formule à apprendre ? à savoir retrouver ?
Merci d'avance, bonne journée

[LPFR]

Re.
Les deux, mon capitaine.
La formule est assez facile pour la retenir:
Pour la retrouver on peut le faire comme Mamono l'a indiqué, ou faire un tout petit peu de géométrie. Je trouve la deuxième méthode plus pédagogique car plus simple à "voir". La première est mathématique et peut rester obscure pour beaucoup.
A+

[invite171486f9]

quelque chose m'inquiète, la dérivée du vecteur vitesse V=racine(2gR.(1-sinθ)) est bien :

dV/dθ=(2gR.cosθ)/(2.racine(2gR.(1-sinθ))) ?

j'espère que mon erreur ne réside pas dans la dérivée

en réalité, mon vecteur accélération que j'obtiens en dérivant V est toujours g.cosθ au lieu de g.sinθ (ma dérivée par rapport à θ donne du cos)...

merci d'avance pour tout renseignement

[mamono666]

quelque chose m'inquiète, la dérivée du vecteur vitesse V=racine(2gR.(1-sinθ)) est bien :

dV/dθ=(2gR.cosθ)/(2.racine(2gR.(1-sinθ))) ?

il manque un signe moins.

[invite171486f9]

oui désolé, l'expression initiale de V est : V=-racine(2gR.(1-sinθ))
donc le moins s'annule avec le signe moins de la dérivée.
Mais cela n'amène toujours pas de sinθ...

[LPFR]

Re.

il manque un signe moins.

Oui.
Cela vient de l'origine. Du zéro de l'angle thêta. Avec le choix de Citron, le thêta diminue avec le temps. Et ce que j'avais dit que j'obtenais g sin(theta) pour l'accélération est, en fait le même résultat que celui obtenu par Citron avec son choix d'angle.
Moi j'ai choisi et lui avis conseillé de choisir thêta=0 pour le début du mouvement, à la verticale du centre d la sphère. Mais dans la correction le choix est celui que Citron a fait.
Et il "manque" un signe moins dans presque toute les équations que j'ai écrites.
A+

[invitec1242683]

On cherche alpha tel que l'objet quitte la sphere.
Les deux forces appliquées au solide sont le poids et la réaction normale de la sphere.
d'apres la seconde loi de newton on a :
P+R=mv²/r ( base de frénet)
et en projetant sur l'axe normal de la base de frénet ( colinéaire à l'accélération ) on a R-mgcos(alpha)=mv²/r
on cherche désormais v , la vitesse au moment ou l'objet quitte la sphere .
si l'on applique le théoreme de l'énergie cinétique on obtient : 1/2mv²=mgr(1-cos(alpha))
donc v = [2gr(1-cos(alpha)]^1/2
donc R=m([2gr(1-cos(alpha)]^1/2+gcos(alpha)]
Lorsque l'objet quitte la sphere
R=O
on résout donc l'équation R=0 dont la seule inconnue est alpha
on en déduit alpha .

[invitec1242683]

pardon si je n'ai pas été tres explicite .

[invite171486f9]

Re.

Oui.
Cela vient de l'origine. Du zéro de l'angle thêta. Avec le choix de Citron, le thêta diminue avec le temps. Et ce que j'avais dit que j'obtenais g sin(theta) pour l'accélération est, en fait le même résultat que celui obtenu par Citron avec son choix d'angle.
Moi j'ai choisi et lui avis conseillé de choisir thêta=0 pour le début du mouvement, à la verticale du centre d la sphère. Mais dans la correction le choix est celui que Citron a fait.
Et il "manque" un signe moins dans presque toute les équations que j'ai écrites.
A+

Dans le schéma de l'exo, l'angle θ était imposé (diminue au cours du temps). Mais ce pourquoi je trouvais ma réponse bizarre, est que la réaction donnée par la correction est R=3mgsinθ-2mg (tout comme LPFR trouve en choisissant un angle θ différent...), c'est à n'y rien comprendre

[invitec1242683]

R donnée par la correction est exacte