Rigidité d'un tube acier

[Darth]

Salut

Je pense être dans le bon forum pour ma question:
Je voudrai mettre un mât sur mon toit pour des antennes TV, pour des raisons de simplicité je voudrai éviter de mettre des haubans, donc mon idée c'est d'utiliser un tube acier de plomberie de gros diamètre, plutôt que du petit tube d'antenne de faible diamètre.

Question:
La rigidité (flexion du tube face au vent) est liée au diamètre ou à l'épaisseur de ses parois?
Est-ce qu'un tube de diamètre 54mm avec 1.5mm d'épaisseur sera plus rigide qu'un tube de 42mm en 1.5mm? Ou alors ce sera pareil car ils ont la même épaisseur?

Merci d'élucider cette question de résistance des matériaux, je n'ai pas les connaissances pour...
-----

[Infra_Red]

c'est la section (surface) qui est important.
donc plus le diamètre et l'épaisseur sont gros, mieux c'est.

[jules]

Bonsoir,

En reprenant les classiques de la théorie des poutres, ce problème s'apparente à la poutre encastrée d'un seul côté.

Les résultats nous donnent la fleche en fonction des parametres suivants:

fleche = F L^3 / (3 E I) avec:

- L : Longueur de la poutre
- F : Force appliquée
- E : Module de Young
- I : Inertie statique

Entre la barre de différents diametres et de meme epaisseur, seule l'inertie statique va changer.

Comment calcule-t-on cette inertie statique?

Je vais passer sur les integrales! Mais les résultats pour une barre de diametre exterieure D et de diametre interieur d, nous disent que I = pi/64 (D^4 - d^4) # pi/64 * 3 * d^3* e avec e = D-d, epaisseur de la barre (DL ordre 1)

Donc à même épaisseur, la barre de plus gros diametre à un plus gros moment d'inertie et donc une plus petite fleche. Ainsi elle est plus solide.

Bonne soirée

[Darth]

Merci

J'ai pas tout compris aux calculs mais c'est normal vu mes lacunes
Néanmoins ta conclusion a le mérite d'être clair, et au "feeling" c'est ce que je pensais

Merci à vous deux

[A voir en vidéo sur Futura]

[mécano41]

Bonsoir,

...mais... ne pas oublier, puisqu'il s'agit aussi de prise au vent (dans le premier message) que (pour des conditions de hauteur et forme identiques par ailleurs) l'effort réparti exercé sur le mât croit comme l'aire du maître-couple donc comme le diamètre du mât.

Cordialement

[Darth]

Salut

Certe, mais l'effort va-t-il augmenter autant que la rigidité? en gros, l'augmentation du diamètre va-t-elle être "annulée" par l'augmentation de la prise au vent?
Le tube est cylindrique, c'est assez aérodynamique... et puis c'est surtout les deux antennes sur le tube qui vont avoir de la prise au vent... enfin je pense...

[Jaunin]

Bonjour,
Pour avoir une idée plus précise, quels sont les diamètres de vos antennes, je suppose des paraboles satellites.
Quelle serait la hauteur de votre mat (pas de problème avec les voisins).
Avez-vous un relevé des conditions des vents dans votre région.
Cordialement.
Jaunin__

[mécano41]

Salut

Certe, mais l'effort va-t-il augmenter autant que la rigidité? en gros, l'augmentation du diamètre va-t-elle être "annulée" par l'augmentation de la prise au vent?
Le tube est cylindrique, c'est assez aérodynamique... et puis c'est surtout les deux antennes sur le tube qui vont avoir de la prise au vent... enfin je pense...

Bonjour,

On parle de raideur ; c'est donc fonction dans tous les cas (voir message de JULES):

- de la charge appliquée
- du matériau (caractérisé par E)
- de la longueur du mât
- de l'inertie de la section du tube I

Toutes les autres valeurs restant égales, si l'on fait varier le diamètre, l'inertie varie à la puissance 4.

Pour la prise au vent on a un effort donné par :

avec :

- F = force exercée par le vent, en N
- Cx = coeff. dépendant de la forme et du mode d'écoulement de l'air. (pour un cylindre, j'ai : 0,35 pour un rapport longueur/diamètre de 5 et 0,33 pour un rapport infini avec un écoulement laminaire)
- = masse volumique de l'air (1,293 kg/m3)
- S = surface du maître couple en m²(soit diamètre x longueur)
- V = vitesse du vent en m/s

On voit donc que, pour les mêmes autres conditions, l'effort est proportionnel au diamètre.

Donc : si tu multiplies le diamètre par 2 par ex., tu multiplies l'effort dû au vent par 2 mais tu multiplies la raideur par 16 ; la flèche à un point donné sera donc divisée par 8

De même, pour la contrainte dans le métal, celle-ci dépend du module de flexion I/V qui varie comme le cube du diamètre. Un tube 2 fois plus gros travaillera donc 4 fois moins.

Sauf erreur...

Cordialement

[mécano41]

Evidemment, j'ai raisonné sur un cylindre plein pour le principe. Avec un tube, tout dépend de la variation de donc également de la variation d'épaisseur...

[jules]

Rebonjour à tous,

Çà fait longtemps que j'ai pas fait de rdm, mais si mes calculs sur les poutres sont exacts, nous avons vus qu'à longueur de la barre constante, la flèche est inversement proportionnelle à f / d^3 * e avec d diamètre de la barre, e l'épaisseur et f la force de contrainte en bout de barre

L'inertie varie ainsi comme la troisième puissance du diamètre dans le cas d'un tube creux et non comme la quatrième puissance comme pour un tube plein

Ok ensuite pour une force proportionnelle au diametre

Au final cela fait donc une flèche inversement proportionnelle à la seconde puissance du diamètre

J'espère ne pas m'être trompé

Bonne journée à tous

[jules]

Rebonjour à tous,
la flèche est inversement proportionnelle à f / d^3 * e avec d diamètre de la barre, e l'épaisseur et f la force de contrainte en bout de barre

Il faut lire "la flèche est proportionnelle à f / d^3 * e avec d diamètre de la barre, e l'épaisseur et f la force de contrainte en bout de barre"

[jules]

Je me suis amusé à chiffrer (toute vérification est la bienvenue!)

- Parabole de 70cm de diametre
- Vent max 150 km/h
- On va prendre pour une parabole un Cx de 1 à 1,5 (cas d'une demi-sphere)

On a ainsi F # 700N (70 Kg-force)

- Tige d'acier de 1m (E = 200 Gpa)
- d = 42mm avec e = 1,5mm

D'où une flèche f de 7 cm avec ces hypothèses.

En augmentant le diametre par 25% (passage de 40mm à 50mm), on diminue la fleche d'un facteur 1,25^3 soit une fleche de 3cm ce qui me semble préférable

En plus le cout de la barre creuse (on le suppose // à sa masse) est proportionnel à son diametre...

[Darth]

Wouhaou

J'aimerai bien avoir toutes ces formules en tête comme vous
Et surtout en faire quelquechose


Donc si je résume:
- J'ai autant choisir le tube du plus gros diamètre, même si l'épaisseur de ses parois est la même.
- La prise au vent (du tube seul) est négligeable dans mon cas suivant le diamètre.


Pour info, c'est pour mettre deux antennes "râteau", une petite classique et surement une longue 1m/1,5m.
Le tube fera 6m au total, mais 3/4m env va dépasser du toit, la partie basse me sert de fixation à la charpente.

Voilà, j'ai plus qu'à acheter du tube!
Merci tous pour vos lanternes

[jules]

Wouhaou
Donc si je résume:
- J'ai autant choisir le tube du plus gros diamètre, même si l'épaisseur de ses parois est la même.

Oui, exactement.

- La prise au vent (du tube seul) est négligeable dans mon cas suivant le diamètre.

J'ai fait le calcul dans le cas d'une parabolique. Une antenne râteau a beaucoup moins de prise au vent.

[Darth]

Tant mieux parceque le but c'est de capter un émetteur à 110km de moi en Belgique pour avoir les chaines Belges en TNT, j'ai besoin que ce soit le plus stable possible dans le plan horizontal.

[Mathieu Pertus]

Bonsoir à tous.

Je reviens sur ce sujet même s'il date mais je ne pensais pas utile d'écrire un nouveau message car c'est seulement les valeurs qui change dans mon cas.

comment trouver la résistance à la flexion d'un tube creux d'acier de diamètre 88,9mm et 5mm d'épaisseur (moment d'iniertie de flexion : 116,315 cm4)

En insérant verticalement ce poteau de 1500mm (longueur total) de 400mm dans un sol bétonné (gymnase sportif), quel serait la force maximal que l'on peut appliquer perpendiculairement au sommet du tube ?


comme dit plus haut :

fleche = F L^3 / (3 E I) avec:

- L : Longueur de la poutre
- F : Force appliquée
- E : Module de Young
- I : Inertie statique

Je n'arrive pas à utiliser cette formule ni à trouver sur d'autres forum une réponse à ma question.

Merci d'avance!

[Jaunin]

Bonjour Mathieu Pertus,
Bien venu sur le forum de Futura-Sciences.
C'est bien le principe du cantilever et votre formule est juste.
Mais il faut faire un choix, vous avez une force connue et vous aurez une flèche ou vous admettez une flèche et vous aurez une force en conséquence.
Cordialement.
Jaunin__

[Mathieu Pertus]

Bonjour.
Merci d'avoir répondu rapidement.

Je voudrais savoir à partir de quelle force le tube plie (et ne reviens pas droit) donc je suppose que l'on peut admettre la flèche limite.

Faut-il alors utiliser le "Module de flexion élastique" ou "plastique" (respectivement 26,17 et 35,238 cm3) ?
(ou cela n'a t'il rien a voir avec mon problème?)

[Jaunin]

Bonjour,
Il faudra contrôler la contrainte à l'encastrement pour pas quelle ne dépasse le module de flexion élastique.
Cordialement.
Jaunin__

http://forums.futura-sciences.com/ph...e-flexion.html

[SIMEARTH]

Bonjour,

Il s'agit d'un problème de Rdm très basique (flexion simple).
Dans votre cas, pour modéliser le problème il faut considérer une poutre verticale de longueur L=1100mm, encastrée à une extrémité (sol) et sollicitée pr un effort horizontal F sur l'autre extrémité.

Si le tube revient à sa position/forme initial, cela signifie qu'il reste dans son domaine élastique. Si il plie de manière irréversible cela signifie qu'il a plastifié (il est entré dans son domaine plastique). La "limite élastique" d'un matériau est la contrainte seuil entre les 2 domaines élastique et plastique.
Votre but est de connaître l'effort F maxi qui amènera le matériau du tube à sa limite élastique.

Il faut connaitre le type d'acier de votre tube pour connaître sa limite élastique. Il s'agit probablement d'un acier de construction basique type S235, ayant une limite élastique Re=235 MPa.

Pour calculer F maxi, il suffit de partir de l'expression de la contrainte de flexion :

Sigma = Mf / (Igz / v)

Sigma = contrainte méca dans le tube ; Mf= moment fléchissant ; Igz = moment quadratique ; v = rayon du tube

Mf maxi = F x L => Sigma maxi = (FxL) / (Igz/v)

On exprime F en fonction du reste :

F = (Sigma maxi . (Igz/v)) / L


Il y a encore plus simple, c'est d'utiliser le logiciel Rdm6 (logiciel de Rdm gratuit téléchargeable sur internet) qui fait tous ces calculs très rapidement et simplement.

Avec quelques itérations rapides je trouve :

F maxi = 5500 N (= 550 Kg)
Flèche = 10,0 mm
(contrainte maxi atteinte = 231 MPa)

Après biensur en fonction de votre application, il faudra mettre un coef de sécurité.

[SIMEARTH]

En faisant l'application numérique de la formule que j'ai indiquée en gras plus haut, on trouve :

F maxi = 5590,4 N (qui engendre une contrainte méca interne exacte de 235 MPa donc...)

[Jaunin]

Bonjour,
J'ai fais une simulation avec les 400 [mm] encastré et une force de 5590.0 [N] au bout du tube de 1100 [mm].
A la sortie de l'encastrement j'ai une contrainte de Von Mises de 627.6 [MPa] et une contrainte de cisaillement de 359.7 [MPa].
La flèche est de 10.5 [mm].

[SIMEARTH]

Concernant la modélisation pour le calcul, on étudie une poutre AB dont l'extrémité A est considérée comme théoriquement encastrée, donc la longueur de poutre en prise dans le béton n'a aucune incidence sur le problème posé (on peut avoir 10mm, 400mm, ou 3m, on s'en fou ça ne change rien)

@ Jaunin : Je ne suis pas d'accord, en RDM, dans un cas de flexion simple (= poutre sollicitée par 1 moment fléchissant et 1 effort tranchant), la contrainte de cisaillement peut être négligée si la distance entre l'effort F et l'encastrement est "suffisamment" grande.

Je ne sais pas comment vous avez fait vos calculs mais dans notre cas la contrainte de cisaillement maxi est 9 MPa. Négligeable par rapport à la contrainte normale maxi (235 MPa). De plus, la contrainte de cisaillement n'est pas appliquée aux mêmes endroits de la section que la contrainte normale maxi : là où la contrainte normale est maximum, la contrainte de cisaillement est nulle => donc la contrainte de Von Mises maxi est égale à la contrainte normale maxi. ( pour rappel, la contrainte de Von Mises est un mix de la contrainte normale et de la contrainte de cisaillement)

[Jaunin]

Bonjour, Simearth,

Concernant la modélisation pour le calcul, on étudie une poutre AB dont l'extrémité A est considérée comme théoriquement encastrée, donc la longueur de poutre en prise dans le béton n'a aucune incidence sur le problème posé (on peut avoir 10mm, 400mm, ou 3m, on s'en fou ça ne change rien)

Je suis presque d'accord avec vous.

Voilà se que j'obtiens :

[SIMEARTH]

Bonjour,

Je suis pas capable de donner une explication technique poussée mais je sais juste que sur un cas d'école comme celui-ci, un calcul analytique de RDM est plus fiable et approprié qu'un calcul élément finis.

Dans le cas de votre calcul EF, les contraintes maxi que vous obtenez sont visiblement des sortes de concentrations de contraintes situées sur la zone "sensible" de votre modélisation. Sur cette zone, votre modélisation représente mal la réalité et ainsi le logiciel calcule une contrainte de cisaillement localement élevée, qui n'existerait pas en réalité. Il faut les négliger à mon avis, ou redéfinir des conditions limites plus réalistes de l'encastrement.

Une chose est sur, dans un cas de flexion simple, la contrainte de cisaillement devrait être maximale sur les zones bleues de la section du tube (cf l'illustration de mon message précédent). Donc sur votre 3ème illustration "Contrainte de cisaillement", pour moi la répartition graphique des contraintes n'a pas de sens.

[Jaunin]

Bonjour,
Il faudrait connaître exactement l'utilisation de ce tube, si il y a des fréquences de traction, car à la longue il pourrait se créer une amorce de rupture.

[Mathieu Pertus]

Bonsoir messieurs,
Je vous remercie de passer un peu de temps sur ce sujet.
L’utilisation finale sera de tendre une sangle entre deux poteaux encastrés dans le sol d’un gymnase (voir schéma ci dessous si l'image à chargé..)



Je cherche à définir l'épaisseur du tube nécessaire pour une utilisation normal à 500Kg de tension à 1m de haut.
Mais afin d'avoir une marge de sécurité en cas de mauvaise utilisation et pour prévenir l'usure de la pièce car les poteaux seront très régulièrement utilisés (mais à des tensions moindre), j'imagine qu'un facteur 3 serait le bienvenus (donc ne pas plier à 15kN).

En espérant qu'il ne faille pas un tube plein...

Ou alors descendre le point de tension de 10 ou 20 cm afin de ne pas avoir une épaisseur trop importante.


Coté calcules, je comprend le raisonnement mais malheureusement je n'arrive pas à l'appliquer, je me suis arrêter vite dans mes études de physique/chimie
Mais c'est intéressant de se replonger dans des équations !
(idem avec rdm6, pas vraiment facile de répondre à mes questions rapidement)

[Jaunin]

Bonjour,
Ah, bien.
Un lien intéressant :

https://fr.wikipedia.org/wiki/Slackline

Cordialement.
Jaunin__

[Jaunin]

Bonjour,
Il va falloir calculer avec la nouvelle force puis les fréquences modal, puis les chocs, non ?
Cordialement.
Jaunin__

[Mathieu Pertus]

Bonsoir.
Effectivement dans l'idéal il y a quelques calcules à faire...

Par contre les chocs sont limitées voir inexistant, la tension va fluctuer mais sans vraiment de choc (une personne qui monte ou qui descend de la sangle).

Les 500Kg de tension sont une tension max, l'utilisation normal devrait se situer autour de 200 ou 300 Kg (peut être qu'une résistance à 1t est une marge suffisante...?).
A voir comment un poteau de diamètre de 88,9 mm réagit face à 1t ou 1,5t.

Cordialement