Où est l'erreur de raisonnement?

[harmoniciste]

Bonjour,
En essayant de détérminer la conicité que prennent, en tournant, les pales d'un hélicoptère (libres de monter ou descendre, grace une charnière les attachant au moyeu du rotor) j'aboutit à une incohérence. Quelqu'un pourrait-il m'indiquer l'erreur? :
J'appelle R le rayon du rotor, P la portance d'une pale (supposée appliquée à 0,75 R du centre), h la levée du centre de gravité de la pale (supposé à mi-rayon), et Fc la force centrifuge (avec Fc>>P).
Il s'établit un équilibre entre le moment provoquant la levée (P. 0,75 . R) et le moment s'opposant à cette levée (Fc . h) Je tire de cette égalité que h = 0,75 . P . R / h D'où un angle x de levée tel que tg x = h/ 0,5 R = 0,75P/fc
Pourtant, si je cherche à trouver la force Fa avec laquelle la pale soulève le moyeu, elle devrait être à peu près Fc . tgx, soit Fa = 0,75 P, alors que je m'attend à trouver Fa = P. Je ne comprends plus!
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[mécano41]

Bonjour,

Pour l'ensemble des 3 pales, la force centrifuge a une résultante nulle sur l'axe.

Les autres forces sont les trois portances P, égales, verticales dirigées vers le haut et à placées à égale distance de l'axe ; leur résultante est donc située sur l'axe et égale et directement opposée au poids P1 de l'appareil ; on a donc : P1/3 par pale pour la portance.

L'inclinaison de la pale doit répondre à l'équilibre entre la portance P et la force centrifuge Fc. Pour ce faire, il faut que la somme des moments -0,75.R.P et +Fc.h soit nulle. D'autre part on a : h = 0,5.R.tan(x) et P = P1/3

On en déduit :

Enfin, ça c'est pour les seules forces dont tu parles...je ne connais pas grand chose aux hélicos...

Cordialement

[LPFR]

Bonjour.
J'en connais encore moins que Mécano mais je me souviens d'avoir vu les images d'un hélicoptère ruse portant un glaçon avez un mammouth dedans (8 ou 12 tonnes, je ne me souviens pas). La forme des pales était impressionnante: ça faisait une cuvette avec les pales arrondies et courbées vers le haut. En tout cas, pas un cône.
Une chose me surprend tout de même. Vous dites que les pales peuvent monter ou descendre librement. Je ne le pense pas. Les images comme celle-ci ne semblent pas montrer une telle liberté.
De plus, dans votre raisonnement, le couple de torsion des pales n'apparaît pas. On pourrait faire les pales avec du papier si elles ne vrillaient pas.
Mais je rappelle que je ne connais rien.
Au revoir.

[harmoniciste]

Bonjour,

L'inclinaison de la pale doit répondre à l'équilibre entre la portance P et la force centrifuge Fc. Pour ce faire, il faut que la somme des moments -0,75.R.P et +Fc.h soit nulle. D'autre part on a : h = 0,5.R.tan(x) et P = P1/3

On en déduit :

Bonsoir
Je suis parfaitement d'accord avec ce résultat, mécano41. Cependant, les pales ne soulèvent le moyeu que par la traction (pratiquement Fc) qu'elles exercent sur leur charnière, dont l'angle x donne une composante verticale: P1 = 3 Fc sinx (puisqu'il y a 3 pales) d'où :
sinx= P1/3fc, et comme on peut admettre que sinx = tgx pour les petits angles, on trouve on a tg x = P1/3Fc Pourquoi cette différence avec l'autre résultat???

[A voir en vidéo sur Futura]

[cedbont]

Bonjour harmoniciste, mécano41 a parfaitement raison, mais je pense que ton hésitation vient du fait que tu ne sembles pas bien te représenter Fc. Fc est la force centrifuge. Cette force est donc perpendiculaire à l'axe de rotation de la pale. Or cet axe est vertical, n'est-ce pas ? Donc la force centrifuge Fc est à l'horizontale et ne porte pas de composante verticale susceptible de s'additionner avec P. P est bien la seule force de levée de l'appareil !

Bonjour LPFR, je crois que tu oublies de mentionner que l'attraction de la Lune joue ici aussi un rôle et devrait par conséquent déformer les pales. Je me moque gentiment mais je crois que ceci est un exercice d'application sur les forces s'appliquant à un solide indéformable tel qu'en sont proposés de nombreux au lycée ou bien juste après le bac. Je ne pense pas que le modèle utilisé vise à simuler la réalité (ceci est pour l'illustration) ni à calculer l'état de contrainte du matériau (ceci est pour le moment de flexion), mais plutôt à voir la position d'équilibre d'un solide indéformable soumis à trois forces.

Cordialement.

[LPFR]

Bonjour.

Bonjour LPFR, je crois que tu oublies de mentionner que l'attraction de la Lune joue ici aussi un rôle et devrait par conséquent déformer les pales. Je me moque gentiment mais je crois que ceci est un exercice d'application sur les forces s'appliquant à un solide indéformable tel qu'en sont proposés de nombreux au lycée ou bien juste après le bac. Je ne pense pas que le modèle utilisé vise à simuler la réalité (ceci est pour l'illustration) ni à calculer l'état de contrainte du matériau (ceci est pour le moment de flexion), mais plutôt à voir la position d'équilibre d'un solide indéformable soumis à trois forces.
Cordialement.

Vous avez peut-être raison et que ceci est un exercice sans rapport avec la réalité. Mais l'age d'Harmoniciste (60 ans) m'a fait penser qu'il était bien au delà de son bac et qu'il ne s'agissait pas d'un devoir à la maison.
Au revoir.

[harmoniciste]

la force centrifuge Fc est à l'horizontale et ne porte pas de composante verticale susceptible de s'additionner avec P .

Bonjour cedbont
Ce n'est pas ce que je dis. Je dis que la portance de la pale se transmet au moyeu via la traction oblique (angle x) du pied de pale sur la charnière. Or la traction dans le pieds de pale est pratiquement égale à Fc (Fc cos x) et par ce calcul on ne retrouve pas une composante verticale égale à la portance des pales, et cette contradiction me chiffonne bien qu'un degré d'écart serait sans conséquence grave.
Ceci n'est pas un simple exercice, car il s'agit pour moi de déterminer la position d'équilibre du pied de pale d'un autogire que j'ai en projet, pour définir les cotes de percage.
Bonjour LPFR
La photo montre un rotor dit rigide baptisé Starflex par la Sté Aérospatiale qui l'a inventé. Comme son nom l'indique l'étoile qu'on aperçoit au centre est flexible afin de donner cette liberté aux pale de monter et descendre (mais il faut bien limiter les débattements lorsque le rotor est à l'arrêt). C'est un type de "charnières" plus fiable et sans entretien.

[cedbont]

Bien je me répète puisque je ne vois pas ce qui pose problème :
- la traction dans la charnière du pied de pale (donc dans l'axe de la pale est égale à Fc/cos(x) ou sqrt(P²+Fc²))
- la résultante verticale des actions mécaniques est P
- la résultante radiale est Fc.

[LPFR]

Ceci n'est pas un simple exercice, car il s'agit pour moi de déterminer la position d'équilibre du pied de pale d'un autogire que j'ai en projet, pour définir les cotes de percage.

Bonjour.
Bon, maintenant que les remarques désobligeantes de Cedbont à propos des phases de la lune s'avèrent non fondées, on peut recommencer à parler physique.
Comme l'avait bien indiqué Mécano, les forces horizontales des pales se compensent et il ne reste que les forces verticales. Il est évident que la force verticale totale sur le rotor venant des pales est égale à la somme des portances, et ceci indépendamment du mécanisme de transmission.
Ce qui me semble discutable dans vos hypothèses c'est le point d'application et de la portance et de la force centrifuge.
Pour la portance je ne suis pas sur, mais si on suppose que la portance de chaque morceau de pale est proportionnel à la vitesse linéaire de ce morceau, le point d'application de la portance est le milieu de la pale et non ¾ de la longueur.
Pour la force centrifuge je n'ai pas de doutes, c'est bien la moitié de la longueur de la pale.
Donc les deux forces sont appliquées au même endroit.

Dans votre raisonnement, je pense que l'erreur est de dire que la force verticale sur le moyeu est Fc tg(x). Dans la mesure où les deux forces, poussée et centrifuge, ne sont pas appliquées au même point, rien ne permet d'affirmer que le résultante a la même direction que la pale.

De toute façon, quoi que l'on dise ou qu'on calcule, la force verticale sur le moyeu est égale à la force verticale sur la pale. Si non, c'est Newton qui risque de se fâcher.

Vous connaissez sans doute beaucoup plus que moi sur les hélicoptères (ce n'est pas difficile), mais les images des pales que je mentionne dans mon post ne prêtaient à aucune confusion entre pales droites et pales avec un rayon de courbure visible.
Au revoir.

[cedbont]

Bonjour.
Pour la portance je ne suis pas sur, mais si on suppose que la portance de chaque morceau de pale est proportionnel à la vitesse linéaire de ce morceau, le point d'application de la portance est le milieu de la pale et non ¾ de la longueur.
Pour la force centrifuge je n'ai pas de doutes, c'est bien la moitié de la longueur de la pale.

Non ! Mais pourquoi non ?
Si on suppose que la portance de chaque morceau de pale est proportionnelle à la vitesse linéraire de ce morceau, alors est exercée une force du type x/R.k.V.dx pour chaque morceau (k coefficient de proportionnalité, V vitesse en bout de pale et R longueur de la pale), on peut voir où (rayon r) le torseur résultant de la portance a un moment nul en résolvant cette équation :
int( (r-x).x/R.k.V.dx , x=0..r) = int( (x-r).x/R.k.V.dx , x=r..R)
et on trouve r = 2R/3.
Si on suppose que la portance de chaque morceau de pale est proportionnelle au carré de la vitesse de ce morceau, alors on peut voir où (rayon r) le torseur résultant de la portance a un moment nul en résolvant cette équation :
int( (r-x).x²/R.k.V.dx , x=0..r) = int( (x-r).x²/R.k.V.dx , x=r..R)
et on trouve r = 3R/4.

Même raisonnement pour la force centrifuge où l'on intègre le moment d'une force variant linéairement avec le rayon x. Donc r (point d'application) = 2R/3.

Dans votre raisonnement, je pense que l'erreur est de dire que la force verticale sur le moyeu est Fc tg(x). Dans la mesure où les deux forces, poussée et centrifuge, ne sont pas appliquées au même point, rien ne permet d'affirmer que le résultante a la même direction que la pale.

De toute façon, quoi que l'on dise ou qu'on calcule, la force verticale sur le moyeu est égale à la force verticale sur la pale. Si non, c'est Newton qui risque de se fâcher.

Exact. Donc, en reprenant le premier message de harmoniciste :

"En essayant de détérminer la conicité que prennent, en tournant, les pales d'un hélicoptère (libres de monter ou descendre, grace une charnière les attachant au moyeu du rotor) j'aboutit à une incohérence. Quelqu'un pourrait-il m'indiquer l'erreur? :
J'appelle R le rayon du rotor, P la portance d'une pale (supposée appliquée à 0,75 R du centre), h la levée du centre de gravité de la pale (supposé à mi-rayon), et Fc la force centrifuge (avec Fc>>P).
Il s'établit un équilibre entre le moment provoquant la levée (P. 0,75 . R) et le moment s'opposant à cette levée (Fc . h) Je tire de cette égalité que h = 0,75 . P . R / Fc [il y avait une petite erreur de frappe]. D'où un angle x de levée tel que tg x = h/ 0,5 R = 1,5.P/Fc [erreur de calcul].
Pourtant, si je cherche à trouver la force Fa avec laquelle la pale soulève le moyeu, elle devrait être à peu près Fc . tgx, soit Fa = 1,5 P [cf plus haut], alors que je m'attend à trouver Fa = P. Je ne comprends plus!"

L'erreur vient du "à peu près" et du fait que les forces ne sont pas appliquées aux mêmes points : on ne peut donc pas les sommer pour en faire une force résultante.

[harmoniciste]

. Il est évident que la force verticale totale sur le rotor venant des pales est égale à la somme des portances, et ceci indépendamment du mécanisme de transmission.

Bonjour LPFR
Bien sûr et c'est ce qui me chagrinais dans le résultat différent obtenu par Fc cos x. avec l'angle calculé par mécano41

...si on suppose que la portance de chaque morceau de pale est proportionnel à la vitesse linéaire de ce morceau, le point d'application de la portance est le milieu de la pale et non ¾ de la longueur.

Attention, la portance est proportionnelle au carré de la vitesse ce qui reporte bien son point d'application au 3/4 du rayon.

...Dans votre raisonnement, je pense que l'erreur est de dire que la force verticale sur le moyeu est Fc tg(x). Dans la mesure où les deux forces, poussée et centrifuge, ne sont pas appliquées au même point, rien ne permet d'affirmer que le résultante a la même direction que la pale.

Bon sang, mais c'est bien sûr ! c'est là que réside la divergence de résultat. Merci beaucoup, je vais pouvoir percer, et mieux dormir.
Je considérais qu'une pale est trop flexible pour transmettre des composantes transversales par son pied, ce qui est exact. Mais telle n'était pas l'hypothèse du calcul! L'angle au pied de pale sera donc en réalité un peu plus faible

...les images des pales que je mentionne dans mon post ne prêtaient à aucune confusion entre pales droites et pales avec un rayon de courbure visible.

Cette flexion est précisément due à la non concordance entre le centre de gravité à R/2 et le point d'application de la portance à 3/4 R. Elle ne pourrait s'annuler qu'en accroissant la densité de la pale proportionnellement au carré du rayon pour faire coincider les deux points, mais c'est impossible.

[harmoniciste]

Nos messages se sont croisés, cedbont et tout devrait rentrer dans l'ordre maintenant.

Même raisonnement pour la force centrifuge où l'on intègre le moment d'une force variant linéairement avec le rayon x. Donc r (point d'application) = 2R/3.

Cela me semble correct, mais faut que j'assimile ce résultat étonnant.

[mécano41]

Si tu considères un tronçon de pale de largeur a, d'épaisseur b de densité , sa masse pour une longueur dR sera :



A une vitesse angulaire la force centrifuge s'exerçant sur ce tronçon sera :

La force totale exercée sur la pale est :



soit :



Le couple est le produit de la force à un niveau donné par le niveau d'application au même point. Si la pale est inclinée de , le niveau d'application est égal au rayon d'application R multiplié par soit :



d'où :



soit :



La hauteur d'application, par rapport au pivot, sera :



ce qui donne pour le rayon d'application :




Cordialement

[f.vignon]

et pout complifier (ou simplifier, c'est suivan selon) ... j'ai entre les mains un bout de pale de robinson R44: structure en nid d'abeille creuse sur toute la longueur .... sauf vers les 50 derniers centimètres (en gros) où la structure est pleine : maximum de force centrifuge car rayon le plus grand et faible masse globale ....
estimation rapide : 15 t/s, rotor de r=6m, en prenant que le poid du bout de pale (20~30kg), f=20kg x (15 x 2 x pi)²=180.000N par pale, donc 540.000N à comparer au 20.000N de la portance, on arrive à un angle de 2° avec l'horizontale ... presque plat ... difficile à voir sur une photo ...
attention: la force centrifuge est dans mon estim. beaucoup plus faible que la réalité (je n'ai pris que la masse du "balourd" en compte) ...

[LPFR]

Cette flexion est précisément due à la non concordance entre le centre de gravité à R/2 et le point d'application de la portance à 3/4 R. Elle ne pourrait s'annuler qu'en accroissant la densité de la pale proportionnellement au carré du rayon pour faire coincider les deux points, mais c'est impossible.

Re.
Voilà qui est une explication satisfaisante à ce que j'ai vu! Merci.
A+

[harmoniciste]

Merci pour ces renseignements, je peux me remettre à l'ouvrage.
A+