Incertitudes des mesures physiques: besoin d'explications.

neokiller007 · 16/09/2008 - 22h38

Salut,

Je dois faire un travail préparatoire pour mon premier TP de L1 de demain.
Et pour faire ceci il y a une quantité importante de nouveau concept à assimiler concernant les incertitudes.
Et j'ai du mal car je trouve le document de cours moyennement bien expliqué et surtout parce qu'il fait référence à une flopée de notion mathématiques jusqu'alors inconnues...

-Déjà on me parle de "biais": "biais éventuels des instruments de mesure". Est-ce que ce mot à la même signification qu'incertitude ?

-Après avoir brièvement expliqué ce qu'était une incertitude absolue et relative on me donne un exemple:
"On mesure une pièce mécanique avec une réglette. On constate que son extrémité se trouve entre la valeur 116mm et 117mm sans que l'on puisse préciser mieux. faute de graduation plus fine. On écrira alors:
$\Delta x=\frac{117-116}{2}=0.5 mm$ et $x=116.5 \pm 0.5 mm$
$\frac{\Delta x}{x}=0.5/116.5 =0.0043=0.43 \%$ et x=116.5 mm à 0.43% près."
Alors premièrement pourquoi l'incertitude est égale à la variation de la mesure divisé par deux, pourquoi pas 1mm?
Deuxièmement est-ce normal que le nombre de chiffre significatif n'est pas respecté ?

Incertitude d'une fonction:"Connaissant l'incertitude absolue sur une mesure x_m d'une grandeur x, comment calculer l'incertitude sur une fonction de ce paramètre f(x) ? Si l'on suppose que $\Delta x$ est une petite variation de x (et sinon ?), on peut approximer la fonction f au voisinage de x $m$ par une droite. La pente de cette droite est donnée par la dérivée de f par rapport à x, calculée au point x_m. L'incertitude sur f(x), s'obtient alors en approximant la pente de la droite par: $|pente|=\|\frac{df}{dx}\|_{x_m }\| \approx \frac{\Delta f}{\Delta x} \Rightarrow \Delta f=\|\frac{df}{dx}\|_{x_m}\| \Delta x$ "

Bon alors je suppose qu'une incertitude de fonction signifie que pour une valeur de la variable ayant une certain incertitude on a une image ayant une autre incertitude?
Et pourquoi faut-il approximer la pente de la droite ? Vu qu'on peut très bien avoir une valeur très précise avec un logiciel ou en la calculant directement.
Et l'incertitude d'une fonction est toujours la même où elle change à chaque point ? (est-ce qu'on peut calculer l'incertitude d'une fonction en prenant n'importe quel point ?)

Bon je vais m'arrêter là avant de passer aux dérivées partielles.

Merci de votre aide.

Coincoin · 17/09/2008 - 08h39

Salut,

Envoyé par neokiller007

Je dois faire un travail préparatoire pour mon premier TP de L1 de demain.
Et pour faire ceci il y a une quantité importante de nouveau concept à assimiler concernant les incertitudes.
Et j'ai du mal car je trouve le document de cours moyennement bien expliqué et surtout parce qu'il fait référence à une flopée de notion mathématiques jusqu'alors inconnues...

C'est le problème des incertitudes : c'est sans doute la chose la plus importante en physique et au final on l'apprend sur le tas... C'est arrivé dans le monde de la recherche qu'on se rend compte de toutes nos lacunes en statistiques.

-Déjà on me parle de "biais": "biais éventuels des instruments de mesure". Est-ce que ce mot à la même signification qu'incertitude ?

Non. Le biais, c'est un écart qui ne varie pas d'une mesure à une autre. Si tu fais du tir à l'arc, l'incertitude correspond au fait que toutes tes flèches n'arrivent pas au même endroit, tandis que le biais correspond au fait que tu as tendance à être décalé par au centre de la cible.

Alors premièrement pourquoi l'incertitude est égale à la variation de la mesure divisé par deux, pourquoi pas 1mm?

Parce qu'on a l'habitude de l'indiquer sous la forme ±. On en met donc la moitié au-dessus et la moitié en-dessous. On peut tout à fait imaginer d'autres conventions (par exemple dire qu'on est dans l'intervalle [116,117] avec 95% de confiance).

Deuxièmement est-ce normal que le nombre de chiffre significatif n'est pas respecté ?

Non. C'est juste le signe que tu comprends suffisamment pour voir les imprécisions dans les explications. En pratique, on ne pourra en effet jamais dire que la limite inférieure est pile 116mm, il y aura une incertitude. Les chiffres significatifs sont une manière simple de donner un ordre de grandeur de l'incertitude.

Bon alors je suppose qu'une incertitude de fonction signifie que pour une valeur de la variable ayant une certain incertitude on a une image ayant une autre incertitude?

Oui. Imagine ton incertitude comme correspondant à un petit intervalle dans lequel tu penses que ta valeur se trouve. Si tu considères une fonction de ta variable, tu te demandes ce que devient cet intervalle, quelle est l'image de cet intervalle.

Et pourquoi faut-il approximer la pente de la droite ?

Parce que c'est plus simple. Et parce que généralement les incertitudes sont suffisamment petites et les fonctions sont suffisamment linéaires pour que l'approximation soit satisfaisante.

Vu qu'on peut très bien avoir une valeur très précise avec un logiciel ou en la calculant directement.

Oui, mais ça complique beaucoup. Généralement, l'incertitude qu'on donne n'est pas très précise, on l'a surestime souvent pour être tranquille. Si la précision est cruciale (par exemple tu es en train de faire la mesure la plus précise jamais réalisée sur cette grandeur) alors effectivement il faudra y regarder de plus près et faire tourner l'ordinateur.

Et l'incertitude d'une fonction est toujours la même où elle change à chaque point ? (est-ce qu'on peut calculer l'incertitude d'une fonction en prenant n'importe quel point ?)

Elle change légèrement car la pente change.

En résumé, j'ai l'impression que tu cherches à être trop précis. C'est bien, c'est ce que font les chercheurs d'ailleurs, mais ce n'est pas toujours utile. Pendant un TP, on te demande de ne pas passer plus de quelques (dizaines de) minutes sur l'incertitude et on ne t'en voudra pas si tu dis ±0,6 au lieu de ±0,5.

neokiller007 · 17/09/2008 - 09h18

Merci Coincoin tes réponses sont très claires.
Donc je continue:

"Pour une fonction f(x,y), les valeurs mesurées étant x $m$ et y_m" avec pour incertitudes respectives $\Delta x$ et $\Delta y$ . On peut déterminer séparément l'influence de $\Delta x$ et $\Delta y$ sur l'incertitude finale. Pour cela on étudie l'influence de $\Delta x$ en maintenant constante la valeur de y (fixée y_m), c'est à dire la fonction f(x,y_m). On peut appliquer la formule précédente:
$\Delta f_x= \|\frac{df(x,y_m)}{dx}\| \Delta x = \|\frac{\partial f}{\partial x}\| \Delta x$ (pourquoi on note pas: $\Delta x= \| \frac{df(x,y_m)}{dx}\|_{y_m} \| \Delta x = \| \frac{\partial f}{\partial x} \|_{y_m} \| \Delta x$ ? (latex a un peu de mal avec les barres verticales mais j'espère que vous avez compris)).
De la même manière on calcul $\Delta f_y$ .
L'incertitude s'obtient en sommant chaque source d'incertitudes (et pourquoi ?), et en calculant la valeurs des dérivées partielles au point (x $m$ ,y_m):
$\Delta f= \Delta f_x + \Delta f_y = \| \frac{\partial f}{\partial x} \|_{xm,ym} \| \Delta x + \| \frac{\partial f}{\partial y} \|_{xm,ym} \| \Delta y$
Et j'ai un exemple après ceci: "Pour un calcul de vitesse à partir d'une mesure de longueur et v(L,T)=L/T
$\frac{\partial v}{\partial L}=\frac{1}{T}$ , $\frac{\partial v}{\partial T}=\frac{-L}{T^2}$ donc $\Delta v =\|\frac{1}{T} \| \Delta L +\| \frac{-L}{T^2}\| \Delta T=\frac{1}{T} \Delta L + \frac{-L}{T^2} \Delta T$

Je comprend l'exemple mais plus haut on me dit de calculer les dérivées partielles au point (xm,ym) alors que là on en a rien à faire.

J'ai réussi à démontrer que l'incertitude absolue sur une somme ou une différence est la somme des incertitudes absolues.
Mais je bloque pour démontrer ceci:
f(x,y)=x/y -> $\Delta f/f = \Delta x/x + \Delta y/x$ (de plus y a pas un problème de notation? c'est pas $\Delta x/x + \Delta y/y$ ?)

Voila mon raisonnement:
$\Delta f= \|\frac{\partial f}{\partial x} \| \Delta x + \|\frac{\partial f}{\partial y} \| \Delta y = \|\frac{1}{y}\| \Delta x + \|\frac{-x}{y^2}\| \Delta y$

Donc $\frac{\Delta f}{f}=\frac{\Delta f}{|f|}=\frac{\|\frac{1}{y}\| \Delta x + \|\frac{-x}{y^2}\| \Delta y}{\frac{x}{y}}=\frac{\|\frac{ 1}{y}\| \Delta xy + \|\frac{-x}{y^2}\| \Delta yy}{x}$
Mais après je peux rien faire à cause des valeurs absolues.

philou21 · 17/09/2008 - 09h47

Envoyé par neokiller007

Mais après je peux rien faire à cause des valeurs absolues.

Y-a pas de valeurs absolues, c'est une plaie ces valeurs absolues dans les formules de propagation d'erreurs...
Je ne sais pas qui a commencé avec ça...

neokiller007 · 17/09/2008 - 09h51

Ben si les valeurs absolues sont là pour être sûr que l'incertitude va être postitive.

philou21 · 17/09/2008 - 10h12

Envoyé par neokiller007

Ben si les valeurs absolues sont là pour être sûr que l'incertitude va être postitive.

Non, la formule au final c'est quelque chose comme ça :

$\Delta y \simeq \sqrt {\left( {\frac{{\partial f}}<br /> {{\partial y}}} \right)^2 \left( {\Delta y} \right)^2 + \left( {\frac{{\partial f}}<br /> {{\partial x}}} \right)^2 \left( {\Delta x} \right)^2 }$

neokiller007 · 17/09/2008 - 10h20

Je sais pas d'où elle srot cett formule, moi j'applique juste mon cours. (enfin, si on peut apeller ça comme ça...)

philou21 · 17/09/2008 - 10h46

C'est $\Delta f$ pas $\Delta y$ bien sûr

$\Delta f \simeq \sqrt {\left( {\frac{{\partial f}}<br /> {{\partial y}}} \right)^2 \left( {\Delta y} \right)^2 + \left( {\frac{{\partial f}}<br /> {{\partial x}}} \right)^2 \left( {\Delta x} \right)^2 }$

neokiller007 · 17/09/2008 - 11h01

Sinon personne ne voit comment faire avec "ma" méthode ?
Parce que pour démontrer que l'incertitude relative sur un produit est la somme des incertitudes relatives, ça fonctionne sans problème par contre avec le quotient ...

Coincoin · 17/09/2008 - 18h56

Pour ce qui est de la somme des incertitudes, ça se complique. On met des valeurs absolues car ce qu'on nomme "incertitude" est forcément positif. Dire que les incertitudes se somment simplement est une manière de faire. Elle est simple mais pas forcément optimale. Lorsqu'on fait les choses plus proprement, on modélise l'erreur par une variable aléatoire gaussienne. Ce sont alors les carrés des incertitudes qui se somment, d'où la formule de Philou21. C'est plus précis, tandis que la simple somme sur-estime les erreurs (il faudrait vraiment ne pas avoir de chance pour cumuler une grosse erreur sur x et une grosse erreur sur y).

Pour ce qui est de ton problème, tu as : $d\frac{x}{y}=\frac{dx y - x dy}{y^2}$ Donc $\frac{d\frac{x}{y}}{\frac{x}{y }}=\frac{dx }{x} -\frac{dy}{y}$ . Une autre manière de le voir est d'utiliser la "dérivée logarithmique" : df/f n'est rien d'autre que d(ln(f)). Donc pour $f=x^a y^b$ , $\frac{df}{f}=d(ln(x^a y^b) =d(a ln(x) + b ln(y)) = a \frac{dx}{x} + b \frac{dy}{y}$
Pour passer aux incertitudes, il te suffit de remplacer les $\frac{d(toto)}{toto}$ par $| \frac{\Delta toto}{toto} |$ et de remplacer le moins par un plus (parce qu'on veut des trucs positifs).

zeb33 · 18/09/2008 - 16h45

Salut neokiller, le forum,

Bon là t’as pas de bol. Tu tombes sur une université où l’on enseigne une méthode de calcul d’incertitude qui date de Mathusalem ou presque. Cette méthode n’est plus utilisée dans l’industrie depuis près de 20 ans.

Aujourd’hui pour le calcul d’incertitude, on considère que tout ce que l’on observe se comporte comme une variable aléatoire (loi, espérance mathématique, variance).

Ta méthode, enfin celle que l’on ose t’enseigner est basée sur un calcul foireux de log.

En bref tu as :
X = A + B,
ΔA incertitude A (ton doute de la valeur A), ΔB et ΔX

Le calcul donne ΔX = ΔA + ΔB

C’est simple mais faux (dans l’approche « moderne »), même résultat si A-B ou B-A.

Si tu as X = A/B ou A*B ou B/A

Le calcul donne ΔX/X = ΔA/A + ΔB/B

C’est un peu plus compliqué (mais aussi faux).

Lorsqu’un étudiant me dit qu’il a appris ça, je lui demande de tout oublier (le pôvre) et on passe à la méthode actuelle.

Dans le concept moderne la notation devient U incertitude élargie, u incertitude-type (même notion que celle de l'écart-type, voir cours sur variables aléatoires).
La relation entre U et u est :

U = k.u, avec k facteur d'élargissement (habituellement k=2, ce qui donne un niveau de confiance d'environ 95%, c'est un ordre de grandeur pas une valeur exacte)
Donc si tu annonce X = 12,7 ± 1,3
Tu annonces que X est entre 11,4 et 14,0 est si k=2 que tu en sur à peu près à 95%. C'est pas top mais c'est pas si mal que ça, celà suffit amplement pour l'industrie.

Le calcul est alors :
pour X=A+B u²(X) = u²(A) + u²(B)
et
pour X=A/B u²(X)/X² = u²(A)/A² + u²(B)/B².

Cette dernière expression est compatible avec celle de philou21 qui te l'a adpatée à ta notation.

Petite explication pour X=A+B.
Tu sais (enfin j'espère) qu'une des propriétés de la variance est :
V(X1+X2) = V(X1) + V(X2), si X1 et X2 sont des variables aléatoires indépendantes
D'autre part l'écart-type σ et la variance sont reliés par:
V = σ²

Si on applique on a alors :
σ²(X1+X2)=σ²(X1)+σ²(X2)
Comme je te l'ai dit, u(X) inceritude-type c'est la même notion que l'écart-type, donc on a
u²(X1+X2)=u²(X1)+u²(X2) ou u²(X)=u²(A)+u²(B).
C'est le résultat donné précédemment.
Pour X=A*B, c'est un peu plus compliqué, il faut passer par un calcul de dérivé partielle.

Bon tu n'as plus qu'a appliqué (malheureusement) la méthode que t'as enseigné ton prof.
Ce que t'as indiqué coincoin dans son derrnier message est correct avec ta méthode.

Zeb

neokiller007 · 22/09/2008 - 18h53

D'accord j'ai compris mais quelqu'un peut répondre à mes questions du message #3 ?

zeb33 · 23/09/2008 - 08h35

Salut Neokiller, le forum

Ta question du message 3, laquelle ?
Sur le pb des dérivées partielles ?
Voici une réponse à ce problème.

Bon comme je l'ai dit, on cobnsidère que tout ce qu'on l'observe ce comporte comme une variable aléatoire.

Soit Y:f(X1,X2, ... XN).
X1 .. XN sont des variables aléatoires indépendantes,
Y le mesurande (la grandeur dont on veut connaître valeur et incertitude).

L'expression de l'incertitude-type (équivalent à un écart-type) est donnée par :

u²(y)=Σ((df/dxi)².u²xi)

C'est à dire la somme au carrées du produit des dérivés partielles de Y par rapport à chaque variables Xi par l'incertitude-type au carrés de la variable Xi.

Lorsque les grandeurs ne sont pas indépendantes, c'est un peu plus compliqué. Toutefois, le calcul montre que si on considère que toutes les grandeurs sont corrélées (avec un coefficient de corrélation de 1), on obtient alors les mêmes expressions que dans le calcul qui était utilisé il y a plus de 20 ans.
Ce calcul étant "pessimiste" car il conduit à une estimation de l'incertitude "trop" grande.

Zeb

neokiller007 · 23/09/2008 - 17h39

Mes questions sont:
"pourquoi on note pas: $\Delta x= \| \frac{df(x,y_m)}{dx}\|_{y_m} \| \Delta x = \| \frac{\partial f}{\partial x} \|_{y_m} \| \Delta x$ ? (latex a un peu de mal avec les barres verticales mais j'espère que vous avez compris)"
Et:
"Je comprend l'exemple mais plus haut on me dit de calculer les dérivées partielles au point (xm,ym) alors que là on en a rien à faire."

zeb33 · 24/09/2008 - 15h03

Salut neokiller; le forum

Cette explication de satisfait-elle ?
Je ne comprend pas trés bien ta notation, ni ce qu'elle signifie.

Considérons 2 cas de figures et appliquons la méthode « moderne » en comparant les résultats alors obtenus avec la méthode « ancienne ».

1° cas : Y = A + B
u(A) et u(B) sont les incertitudes-types respectives des grandeurs A et B.

Par la méthode classique on a :
ΔY = ΔA + ΔB
où ΔY, ΔA, ΔB sont les incertitudes des grandeurs Y, A et B.

Par la méthode moderne on obtient :
u²(y) = (δy/ δA)².u²(A) + (δy/ δB)².u²(B)
puis :
u²(y) = u²(A) + u²(B)
L’incertitude élargie est donnée par U = k.u , habituellement on prend k=2 (ce qui cinduit à un niveau de confiance d’environ 95%).

On constate que les résultats sont très différents puisque l’on a :

Méthode classique : somme des incertitudes (ou des incertitudes-types)
Méthode moderne : somme des carrés (ou quadratiques) des incertitudes (ou des incertitudes-types)

2° cas : Y = A / B

Par la méthode classique on a :
ΔY/Y = ΔA/A + ΔB/B
où ΔY, ΔA, ΔB sont les incertitudes des grandeurs Y, A et B.

Par la méthode moderne on obtient :
u²(y) = (δy/ δA)².u²(A) + (δy/ δB)².u²(B)
avec : (δy/ δA) = 1/B et (δy/ δB) = -A/B²

u²(y) = (1/B)² . u²(A) + (-A/B²)² . u²(B)
où encore :
u²(y)/y = u²(A)/A² + u²(B)/B²

On constate que les résultats sont très différents puisque l’on a :

Méthode classique : somme des incertitudes relatives (ou des incertitudes-types relatives)
Méthode moderne : somme des carrés (ou quadratiques) des incertitudes relatives (ou des incertitudes-types relatives)

Zeb