Interprétation de Φ dans l'équation de Klein-Gordon

[Niels Adribohr]

Bonjour,
lorsqu'a été posé l'équation de Klein-Gordon, on s'est aperçut que si on interprétait Φ comme une amplitude de probabilité de présence, il y avait des difficultés liés au fait que la probabilité de trouver la particule dans un volume donné dépendait du réferentiel a cause de la contraction relativiste de ce volume. Si donc Φ n'est pas une amplitude de probabilité de présence, qu'est-ce donc? Comment on l'interprete, et plus géneralement, quelle est l'interprétation des champs en TQC ?
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[Karibou Blanc]

Si donc Φ n'est pas une amplitude de probabilité de présence, qu'est-ce donc? Comment on l'interprete, et plus géneralement, quelle est l'interprétation des champs en TQC ?

En TQC, un champ est un opérateur qui crée des particules (et des antiparticules) dans certains états d'énergie-impulsion définis. Cet opérateur agit sur un espace de Hilbert portant le nom ici d'espace de Fock car le nombre de partiqules n'est pas fixé.
Un champ n'est pas une fonction d'onde, ni une fonction d'onde quantifiée

[mariposa]

Bonjour,
lorsqu'a été posé l'équation de Klein-Gordon, on s'est aperçut que si on interprétait Φ comme une amplitude de probabilité de présence, il y avait des difficultés liés au fait que la probabilité de trouver la particule dans un volume donné dépendait du réferentiel a cause de la contraction relativiste de ce volume. Si donc Φ n'est pas une amplitude de probabilité de présence, qu'est-ce donc? Comment on l'interprete, et plus géneralement, quelle est l'interprétation des champs en TQC ?

Bonjour,
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Pas facile d'expliquer çà en quelques lignes.
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Quand Dirac essaie de trouver une équation d'onde relativiste pour l'électron en prenant l'équation de Kein-Gordon il tombe sur un certain nombre de difficultés que tu as évoqué. Sa démarche est de chercher une équation du premier ordre en temps qui aboutit à la fameuse équation de Dirac de forme classique (non quantique) et qui ne résoud pas tout les problèmes (il y a surtout le problème des énergies négatives). Dirac résoud le problème où il montre que:


Le champ classique lui-même doit être réinterpreté comme un opérateur. Ce résultat n'est pas banal car dans la MQ "classique" la fonction Fi est une solution propre d'un opérateur hamiltonien.
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Si on revient sur l'équation de K-G cela veut dire que le champ Fi est un opérateur qui a la même statut que l'opérateur position x en MQ. Il faut trouver le conjugué de Lagrange de Fi (l'analogue de l'opérateur P en MQ classique).
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Au bilan de ce travail de re-conceptualisation de la MQ on trouve que l'équation de K-G réinterprété comme ci-dessus represente une somme infini d'oscillateurs harmoniques. Si on note que qu'un oscillateur a des niveaux équidistants, la signification du niveau numéro n veut dire qu'il y a n particules. Donc:

le champ quantifié de KG represente un nombre indéterminé de particules.
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Une conséquence est que cela explique en profondeur la nature d'une particule. Ce n'est ni une boule, ni une onde mais une excitation élementaire du vide. Le vide étant le premier niveau de l'oscillateur harmonique donc abscence de particules).
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Enfin pour finir ce qui s'appelle la théorie quantique des champs n'a rien à voir avec la relativité. c'est un cadre théorique du problème à N corps ou N est infini. C'est pourquoi la TQC est largement utilisé en physique du solide (qui est rattaché à l'équation de schrodinger qui elle n'est pas invariant relativiste).

[Niels Adribohr]

Merci pour les réponses:

Le champ classique lui-même doit être réinterpreté comme un opérateur. Ce résultat n'est pas banal car dans la MQ "classique" la fonction Fi est une solution propre d'un opérateur hamiltonien.
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Si on revient sur l'équation de K-G cela veut dire que le champ Fi est un opérateur qui a la même statut que l'opérateur position x en MQ. Il faut trouver le conjugué de Lagrange de Fi (l'analogue de l'opérateur P en MQ classique).

Merci pour les réponses,
si j'ai bien compris, le champ est un opérateur agissant sur l'espace de Fock. Mais est-ce que le champs est une observable? Si oui, quelles sont ses valeurs propres?
J'ai dû mal à exprimer clairement ce que je ne comprends pas, je vais donc prendre un exemple : le déplacement verticale d'une corde vibrante : elle peut être représenté par un champ à 1D que nous appeleront D(x,t) , et ce champ peut être décomposé en ces différents modes via la décomposition de Fourier. Je comprends que chaque mode peut être considérer comme un oscillateur harmonique, et que la quantification de cet osciilateur entraine que l'énergie de chaque modes peut être exprimer en terme de nombres de particules (je pense qu'on peut les appeler "phonons" ?) parce que les niveaux d'énergies sont équidistants. Cependant, pour moi, la différence entre ce champs D et le champ Φ de l'équation de Klein-Gordon (où n'importe quelle champs quantique), c'est que le champ D a bien une signification physique précise : même en étant promus en opérateur, il s'agit d'une obervable, et sa valeur propre a bien une signification. Ce que je n'arrives pas à comprendre, c'est la signification physique du champ Φ : est-ce une observable, si oui, quelles significations ont ces vecteurs propres?

[A voir en vidéo sur Futura]

[mariposa]

Merci pour les réponses:



Merci pour les réponses,
si j'ai bien compris, le champ est un opérateur agissant sur l'espace de Fock. Mais est-ce que le champs est une observable? Si oui, quelles sont ses valeurs propres?

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Bonjour,
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Le champ FI est une "observable" au même titre que l'opérateur X en MQ. Seulement un système physique en MQ n'est jamais dans un état propre deX il en est de même pour TQC.

J'ai dû mal à exprimer clairement ce que je ne comprends pas,

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C'est normal de ne pas s'exprimer clairement lorsque l'on ne comprends pas. Paradoxalement je ne comprends pas que tu penses que tu ne comprennes pas car ce que tu écris prouve que tu comprends. Est-ce que tu comprends que je m'étonne que tu crois n'avoir pas compris, ce que tu as compris?

je vais donc prendre un exemple : le déplacement verticale d'une corde vibrante : elle peut être représenté par un champ à 1D que nous appeleront D(x,t) , et ce champ peut être décomposé en ces différents modes via la décomposition de Fourier. Je comprends que chaque mode peut être considérer comme un oscillateur harmonique, et que la quantification de cet osciilateur entraine que l'énergie de chaque modes peut être exprimer en terme de nombres de particules (je pense qu'on peut les appeler "phonons" ?) parce que les niveaux d'énergies sont équidistants. Cependant, pour moi, la différence entre ce champs D et le champ Φ de l'équation de Klein-Gordon (où n'importe quelle champs quantique), c'est que le champ D a bien une signification physique précise : même en étant promus en opérateur, il s'agit d'une obervable, et sa valeur propre a bien une signification. Ce que je n'arrives pas à comprendre, c'est la signification physique du champ Φ : est-ce une observable, si oui, quelles significations ont ces vecteurs propres?

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Quant tu pars de l'oscillateur harmonique classique, tu écris:

E = p2 + q2 (énergie potentiel + énergie cinétique).
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Cela devient en MQ selon le principe de correspondance

H = P2 + Q2
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il s'agit désormais d'une égalité entre opèrateurs.
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On peut écrire:

H= (P +I.Q).(P -i.Q) = (A+).A
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De là il ressort que l'on a des niveaux équidistants où l'opérateur (A+).A est l'opérateur numéro n de l'état excité d'énergie propre n avec les bonnes unités. Cette idée là liée a la structure mathématique de l'oscillateur harmonique va rester vrai pour l'équation KG.
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quand tu prends une corde ou une chaine linéaire d'atomes tu trouve apres transformation de Fourier (dont le role est de rendre quadratique ta forme bilinéaire) un ensemble d'oscillateurs harmoniques indépendants indicés par la valeur de k.
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C'est ainsi que tu met en évidence le concept de phonons qui sont des excitations du vide de phonons.
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Tu peux faire la transition vers l'électromagnétisme.
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Dans ce cas l'énergie électromagnétique s'écrit:

Energie = E2 + B2
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On retrouve une formule de départ identique a la corde vibrante. La petite différence physique est que E joue le role de l'énergie cinétique et B joue le role de l'énergie potentielle.

Très important en rapport à ta question.

Tu noteras que E comme B dépendent de x cad que E(x) et B(x) mais attention la transposition de l'oscillateur standad a sa version
électromagnétique opère la substitution (ou équivalence):

p devient E(x) et q devient B(x)
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Cela veut dire apres quantification la grandeur classique du champ E(x) devient un opérateur. Apres transformée de Fourier l'opérateur E(x) devient un ensemble d'opérateur E(k) et l'on obtiend a nouveau une famille d'oscillateurs indépendants.
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c'est ainsi que tu mets en évidence le concept de photons qui sont des exitations élémentaires du vide électromagnétique. (analogue des phonons)
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La situation est quasi-analogue avec la corde vibrante. Une différence est la vitesse du son d'une part et la vitesse de la lumière d'autre part. (Les autres différences est que le champ électromagnétique a 2 composantes contre 1 composante pour la corde. L'autre différence est que la courbe de dispersion de la lumière est linéaire dans tout le spectre ce qui n'est pas le cas de la corde uniquement qui est linéaire aux grandes longueurs d'onde).
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Quand on passe à KG c'est (presque) la même chose. La grosse différence est que le champ a une "masse". Autrement dit c'est (presque) comme si le photon avait une masse.
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Cela se traduit par l'apparition d'un gap. Cela veut dire que pour k = 0 les énergies des photons et des phonons est nul. Ce qui n'est pas le cas pour les solutions de KG. Dans ce cas les premières excitations valent m.c2. Bien sur cela se voit sur la courbe de dispersion de l'équation KG.
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Pour finir c'est la même idée pour l'équation de Dirac taillée sur mesure pour les électons. La grosse différence c'est que cette équation induit l'existence de 2 particules indissociables conceptuellement: l'électron et le positon. Si on veut éviter la terchnologie mathématique liée a cette équation (algébre de clifford + TRG) il suffit de regarger l'équivalent dans les semiconducteurs: le trou est l'antiparticule de l'électron. Il ne s'agit pas d'une analogie mais vraiment d'une équivalence réelle qui provient de la machinerie TQC

[Karibou Blanc]

il suffit de regarger l'équivalent dans les semiconducteurs: le trou est l'antiparticule de l'électron. Il ne s'agit pas d'une analogie mais vraiment d'une équivalence réelle qui provient de la machinerie TQC

Je ne suis pas complètement d'accord (bien que sur le fond je soutiens la comparaison) car la masse du trou n'est pas égale à la masse de l'électron, alors qu'une contrainte nécessaire pour avoir une paire particule/antiparticule est que celles-ci ont la meme masse, strictement.

[mariposa]

Je ne suis pas complètement d'accord (bien que sur le fond je soutiens la comparaison) car la masse du trou n'est pas égale à la masse de l'électron, alors qu'une contrainte nécessaire pour avoir une paire particule/antiparticule est que celles-ci ont la meme masse, strictement.

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Tout a fait d'accord. il y a une limite à cette analogie.
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Si l'on voudrait mieux ajuster l'équivalence il faudrait mettre en visa à vis l'exciton et le positronium. L'équivalence est donc une excitation de polarisation. A ces excitations de polarisation correspondent leurs versions virtuelles. une polarisation du vide du semiconducteur est representée par des excitons virtuels au mème titre que la polarisation du vide se represente par des paires virtuelles particules-antiparticules.

[Gwyddon]

Bonsoir,

Une petite remarque technique,

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Le champ FI est une "observable" au même titre que l'opérateur X en MQ. Seulement un système physique en MQ n'est jamais dans un état propre deX il en est de même pour TQC.

Le champ n'est pas tout à fait analogue à l'opérateur X. En effet l'opérateur X est hermitien c'est donc bien une observable.

Par contre le champ n'est pas hermitien. C'est un opérateur certes, mais pas une observable.

Bon bref c'est peut-être du chipotage, mais je pense qu'il faut le rappeler

[mariposa]

Bonsoir,

Une petite remarque technique,



Le champ n'est pas tout à fait analogue à l'opérateur X. En effet l'opérateur X est hermitien c'est donc bien une observable.

Par contre le champ n'est pas hermitien. C'est un opérateur certes, mais pas une observable.

Bon bref c'est peut-être du chipotage, mais je pense qu'il faut le rappeler

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Non ce n'est pas du chipotage et reste bien en rapport avec la question posée.
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En écrivant le texte je me suis concentré sur le comment un champ Fi qui a tout l'air d'une fonction d'onde se transforme en opérateur.

Je n'utilise pas la notion d'observable, qui me déplait. Il n'en reste pas moins qu'il y a des opérateurs hermitiens et d'autres qu'ils ne sont pas. donc merci beaucoup pour cette précision.

[Niels Adribohr]

C'est normal de ne pas s'exprimer clairement lorsque l'on ne comprends pas. Paradoxalement je ne comprends pas que tu penses que tu ne comprennes pas car ce que tu écris prouve que tu comprends. Est-ce que tu comprends que je m'étonne que tu crois n'avoir pas compris, ce que tu as compris?

Oui, en gros, je comprends ce que vous m'expliquer, mais j'ai en fait un peu du mal à mettre tout ça en cohérence avec d'autres choses. Mais pour mettre tout ça en ordre, il faudrait je pense que je fasse quelques révisions puis que j'ai le courage de suivre étape par étape un bon livre d'introduction de TQC. En tout cas merci pour les réponses.