coordonnées cartésienne en coordonnées polaires

[inviteb5d82a64]

Bonjour à tous!!!
j'ai pris le soin de vous écrire.. car je suis dans le doute le plus complet après un cours de 2h de physique sur le travail et l'énergie. En effet, pour pouvoir résoudre un probléme, mon professeur nous a fait un petit rappel sur les coordonnées polaires...
Il nous a, par ailleurs, expliqué que pour résoudre le probléme il fallait projeter les vecteurs utilisés dans une base polaire..

Il nous a donné cette expression:
[ V= vecteur]

VOM= x Vex+ y Vey
Vdl= dx Vex+dy Vey

M( r, teta)
VOM= r Vur
Vur= VOM/OM = OM/r

Jusqu'ici tou va bien ..je comprend le raisonnement.
Mais çà se gâte dans la suite.

Vdl= dr Vur+ rd(téta) Vu(téta)

--> Que représente l'expression "rd(téta) Vu(téta)"?

Vur= cos(teta) Vux+ sin (teta) Vuy
Vu(téta)= - sin(teta) Vux+ cos(teta) V uy

Comment en est-il arrivé à ce résultat?

J'ai mis en pièce jointe le dessin à partir duquel nous avons travaillé...
Merci d'avance pour toutes vos réponses!!!!!
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[pephy]

Vdl= dr Vur+ rd(téta) Vu(téta)

--> Que représente l'expression "rd(téta) Vu(téta)"?

Vur= cos(teta) Vux+ sin (teta) Vuy
Vu(téta)= - sin(teta) Vux+ cos(teta) V uy

Comment en est-il arrivé à ce résultat?

bonjour,
sans avoir vu la pièce jointe :
le vecteur unitaire est colinéaire à OM; ses composantes dans xOy sont donc cos(theta) et sin(theta)
le vecteur unitaire est orthogonal à OM; ses projections sur Ox et Oy donnent donc -sin(theta) et cos(theta)
peut être projeté en H sur OM (MH=dr) et sur la perpendiculaire à OM (HM'=r.dtheta)

[invite28fd8248]

le vecteur unitaire est colinéaire à OM; ses composantes dans xOy sont donc cos(theta) et sin(theta)
le vecteur unitaire est orthogonal à OM; ses projections sur Ox et Oy donnent donc -sin(theta) et cos(theta

Bonjour,
Quelle règle utilises-tu pour trouver les composantes dans xOy,j'ai essayé avec la règle"basique" des coordonées polaires cos(tetha)=x/r ou encore avec des calculs trigonométriques ( cos(tetha)=côté adjacent/hypothénuse) mais je ne retrouve pas ces résultats....
Ca paraît élémentaire comme calculs...Un peu de lumière s'il vous plaît

[Derren Brown]

Utéta est un vecteur unitaire de la base en coordonnées polaires et
d(téta) est la variation infinitésimale de l'angle lors du micro-déplacement dl.

Donc, lors d'un déplacement élémentaire du point M, même si M n'est représenté que par le vecteur OM(ur), tu auras aussi une variation de l'angle, et donc, un déplacement supplémentaire.
Pour voir à quoi correspond ce déplacement, considère la distance OM constante. Donc, lors du déplacement, seul téta varie. Quelle est la distance parcourue par le point M dans ce cas ? Et bien c'est le rayon multiplié par l'angle. Donc, selon u(téta), tu as un déplacement r.d(téta), avec r le rayon.
Mais comme le rayon varie aussi, tu as au final :
Vdl= dr Vur+ rd(téta) Vu(téta)

Méthode pour trouver facilement les déplacements élémentaires (dl) dans n'importe quelle base (dans le cas le plus général possible : après, des simplifications peuvent apparaître) : ton vecteur dl aura une composante dans chaque direction de ta base.
Pour trouver la valeur du déplacement dans une direction donnée (donc, pour une variable), il suffit de "figer" les déplacements des autres directions (et donc des autres variables), et de regarder quelle distance parcours ton point M quand cette unique variable varie.
Exemple : pour connaitre le déplacement élémentaire selon u(téta), tu fixes les autres variables : ici, tu fixe r. Tu opères un petit déplacement (ce qui te donne aussi la direction de u(téta) : c'est la tangente à ce déplacement), donc téta varie. Ton point M parcours donc un arc de cercle, et la valeur de cet arc est la valeur de ton micro-déplacement selon u(téta), égale à rd(téta). Pour r, tu fixes téta et tu regardes comment varie M. M se déplace seulement de dr.

Voilà, j'espère ne pas t'avoir embrouillé, et si tu comprends bien cette méthode, tu retrouveras très simplement tous les déplacements élémentaires de n'importe qu'elle base, ce qui est très pratique pour une base sphérique par exemple. En plus, une fois que tu les as, il te suffit de diviser par dt ce dl pour avoir la vitesse dans la base de ton choix, et ce, sans calculer aucune dérivée !

A+

[A voir en vidéo sur Futura]