Problème de ressorts

[Chandragon]

Bonjour tout le monde !
Bon alors j'ai un petit soucis de ressorts ^^'
Je vous explique la situation: j'ai deux masses chacune accrochée à un ressort, et ces masses auxquelles sont appliquées des forces constantes entrent en contact par le biais de leurs ressorts (ce sont les ressorts qui entrent en contact ^^') avec des vitesses différentes.
En principe les deux ressorts devraient se comprimer (mais pas de la même façon car ils n'ont pas la même raideur) et repousser les masses dans des sens opposés.
On suppose que la force constante appliquée à chacune des masses cesse d'être appliquée quand la compression maximale des ressorts est atteinte (donc juste avant que les masses ne soient repoussées).

Données: Masses M et m de vitesses V0 et v0 auxquelles sont appliquées les forces F et f et accrochés à des ressorts R et r de longueurs à vide L et l et de raideurs K et k.
Ce que je cherche: la longueur de chaque ressort au moment où la compression est maximale ainsi que la vitesse de chacune des masses quand elles repartent.
Hypothèses: tout le travail sera sur un seul axe (on peut donc projeter tous les vecteurs sur un vecteur unitaire x) et les ressorts sont initialement eu repos (longueur = longueur à vide).

J'ai essayé d'appliquer les théorèmes énergétiques et le PFD mais bon ... je ne m'en sort pas
Donc si vous pouviez m'aider un petit peu ça serait super sympa!
merci d'avance !

Un petit dessin pour accompagner le tout:


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[LPFR]

Bonjour.
Je suppose qu'on néglige les masses des ressorts.
Les deux forces des resorts doivent être identiques:

Attention aux signes: les deux forces ont des sens opposés quand les deux delta ont le même signe. À vous de voir votre notation. Le ressort le plus souple se déformera plus que le plus raide.
Donc, chaque objet subira une force différente (force applique – force du ressort) et aura une accélération différente.
Au revoir.

[Chandragon]

Bonjour
En effet on néglige la masse des ressorts.
Je suis d'accord les forces des ressorts sont égales ...
Mais je ne voit toujours pas comment on obtient ce que je cherche ^^'

[LPFR]

Re.
Vous ne pouvez pas utiliser directement la conservation d'énergie ni celle du moment, car il y a des forces extérieures et que vous ne connaissez même pas le point d'arrêt. Pour la même raison vous ne pouvez pas calculer à priori le travail effectué par chacune des forces.
Il faut que vous écriviez la seconde loi de Newton pour chacune des masses et que vous intégriez.
A+

[A voir en vidéo sur Futura]

[Chandragon]

Le problème avec la 2nd loi de Newton c'est qu'elle fait intervenir la force des ressorts qui sont de la forme : F=k.x avec x qui varie en fonction du temps, donc je ne voit pas comment on peut l'intégrer.
On ne peut intégrer que si on fait disparaitre cette force en associant les équations obtenues pour les deux masses, mais a ce moment là tout ce qu'on obtient c'est une relation entre les deux vitesses:

[LPFR]

Le problème avec la 2nd loi de Newton c'est qu'elle fait intervenir la force des ressorts qui sont de la forme : F=k.x avec x qui varie en fonction du temps, donc je ne voit pas comment on peut l'intégrer.
On ne peut intégrer que si on fait disparaitre cette force en associant les équations obtenues pour les deux masses, mais a ce moment là tout ce qu'on obtient c'est une relation entre les deux vitesses:

Re.
Écrivez les équations et on en parlera après.
La force des ressorts dépend de la position des masses. Donc, elle figurera dans les équations diffrentièlles.
A+

[Chandragon]

Bien,
Si on pose x1 la longueur du ressort R et x2 la longueur du ressort r on a:




x1 et x2 varient en effet en fonction de la position des masses, mais aussi en fonction de la position du point de rencontre des deux ressorts.

[LPFR]

Re.
Bon ça avance un peu.
Mais les variables qu'il faut utiliser sont les positions de masses et déduire les forces l'écrasement des ressorts et les forces correspondantes à partir de ces positions.
Il ne faut surtout pas ajouter des variables supplémentaires comme vos x1 et x2.
Vous nommez la position des objets x1 et x2 (ou un autre nom) et vous déduisez de ces positions l'écrasement de ressorts et la (même) force qu'ils exercent sur les objets. Vous aurez deux équations différentielles avec deux variables. Et surtout n'introduisez pas les vitesses. Laissez l'accélération comme la dérivée seconde de la position. Vos deux uniques variables sont les positions des objets.
A+

[Chandragon]

Je nomme X1 et X2 les positions des masses M et m
j'ai alors X2-X1=x1+x2 (la distance entre les deux masses).
de plus K(L-x1) = k(l-x2) donc je trouve ça:



Je réinjecte et j'ai ça:




(j'ai corrigé une erreur de signe)

Mais là j'ai toujours un problème car X1 et X2 sont dans les deux équations xD

[LPFR]

Mais là j'ai toujours un problème car X1 et X2 sont dans les deux équations xD

Re.
C'est vrai.
Mais si vous faites la différence entre les deux équations et appelez Y=(X1-X2), vous aurez une seule équation avec une seule variable Y, que vous pouvez (en croisant les doigts) résoudre.
Puis vous remplacerez X1-X2 dans chacune des équations par la solution de votre équation en Y. Puis vous recroissez les doigts à nouveau.
N'hésitez pas à remplacer temporairement des gros coefficients par des constantes littérales, pour éviter de trimbaler des longues expressions.
Je parie que la solution de Y est de la forme A cos(oméga t + phi).
Bon courage.
A+

[Chandragon]

Ah non je me suis trompé c'est:




Du coup en faisant la différence des deux équations on ne peut plus faire apparaitre de Y dans le terme en dérivée seconde ...

[LPFR]

Ah non je me suis trompé c'est:




Du coup en faisant la différence des deux équations on ne peut plus faire apparaitre de Y dans le terme en dérivée seconde ...

Re.
Ça ne change rien. Essayez.
A+

[Chandragon]

Erf ... j'ai pas le droit à un petit indice en plus ? xD
parceque là je voit pas ...
exprimer M.X1 - m.X2 en fonction de X1 - X2 .... pas facil ...

Edit: à moins que .... 2 min ^^'

[Chandragon]

C'est bon j'ai trouvé !

On pose



Je me demandais pourquoi c'était sinusoïdal ... mais c'est pasqu'on n'a pas enlevé F et f après avoir atteint la compression maximale ...

[Chandragon]

Oups ... je me suis encore fait avoir xD je pensait éditer en mettant les valeurs de A, B et K après ... mais on est limité dans le temps pour pouvoir éditer
du coup désolé pour le triple poste ^^'

Enfin tout compte fait je vais vous faire grace des résultats un peu lourds ^^' mais en tout cas c'est bien sinusoïdal ...
mais il faut que je ne prenne cette solution qu'entre deux temps T0 et T1, où T1 est le moment où la compression est maximal, c'est à dire |Y| minimal.
ensuite je peut facilement déduire les valeurs minimales de x1 et x2 (les longueurs minimales des ressorts) à partir de Y(T1).
Reste à déterminer les vitesses de M et m au moment où les ressorts se séparent ...
Je reprend l'équa diff en enlevant F et f, je prend ensuite la dérivée du nouveau Y en T2, l'instant où ça décolle, et j'obtiens v - V
ensuite je compare avec la première relation entre les vitesses que j'ai trouvé: M.V - m.v = (F - f).T2 + M.V0 - m.v0
et là à priori je devrais m'en tirer ^^'
Bon, je ferai les calculs dès que j'aurais le temps ^^'
je vous préviens si ça coince de nouveau
Merci beaucoup en tout cas LPFR !