L'opérateur hamiltonien

[invite201d5469]

Bonjour à tous,

J'ai suivi un cours de chimie dans lequel on a résolu, dans un cas simple, l'équation de Schrödinger. Pour la résolution, on a utilisé l'opérateur hamiltonien. On nous a dit que c'était une fonction de fonction... Je comprends bien ce qu'est une fonction de fonction, mais comment a-t-on construit cette application, et sur quelles fonctions agit-elle ?
De même, comment à partir de l'intégrale triple de (psi².dtau) arrive-t-on à H(psi)=E.psi ?

Enfin, j'ai entendu parler de l'opérateur lagrangien, kezaco ?

Merci pour tout.
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[deep_turtle]

On peut effectivement voir H comme une fonction de fonctions, dans le sens où c'est un objet mathématique auquel tu rentres une fonction, et dont la sortie (ici encore une fonction, mais àa pourrait être n'importe quoi) dépend de la fonction que tu as rentré en argument.

De la même façon qu'une fonction habituelle te sort quelque chose (un nombre, un vecteur, n'importe quoi, ça dépend des fonctions) qui dépend du nombre réel que tu lui rentres en argument.

[invite8ef897e4]

sur quelles fonctions agit-elle ?

L'operateur Hamiltonien agit generalement sur des fonctions complexes dont le module au carre lorsqu'on l'integre sur tout le domaine donne 1. Cela est "du" au fait que, en mecanique quantique, le module au carre de la fonction d'onde s'interprete comme la probabilite de presence de la particule. Comme la particule se trouve quelque part, lorsque tu integres la probabilite sur tout l'espace tu dois trouver 1. L'espace des fonctions de carre integrable est un exemple d'espace de Hilbert de dimension infinie denombrable. Les espaces de Hilbert de dimension infinie non denombrable ne sont pas sympatiques du tout, il ne sont meme pas separables ! (du point de vue topologique, deux points "distincts" peuvent apparaitre comme confondus). C'est important d'avoir conscience de cette difficulte, parce que generalement il faut d'abord partir d'un espace de dimension infinie non-denombrable, puis le restreindre afin de le rendre separable, generalement en introduisant un espace quotient par des classes d'equivalences. Ensuite, dans l'espace sympathique, on utilise souvent des fonctions equivalentes a 0 (tel un pic de Dirac) sans veritablement se soucier du fait que, a strictement parler, ces "fonctions" sont des distributions et n'appartiennent pas a l'espace sympathique. Mais bon, on est des physiciens, pas des mathematiciens

De même, comment à partir de l'intégrale triple de (psi².dtau) arrive-t-on à H(psi)=E.psi ?

ce n'est pas directement lie. Le Hamiltonien est un operateur dont les valeurs propres donnent les valeurs possibles de l'energie. Cela fait partie des postulats de la mecanique quantique : a tout observable physique est associe un operateur dont les valeur propres donnent les valeurs possibles d'une mesure de cette observable.

Pour repondre a ta question

comment a-t-on construit cette application

il faudrait refaire l'historique de la mecanique quantique et je ne peux ni ne veux m'aventurer dans un tel imbroglio. Construire un operateur quantique a partir d'une observable classique n'est generalement pas si trivial que cela en a l'air, parce que l'ordre dans lequel les facteurs sont introduits n'est pas indifferent a cause de la non-commutativite des operateurs.

Enfin, j'ai entendu parler de l'opérateur lagrangien, kezaco ?

La description d'un systeme par un Hamiltonien est mathematiquement equivalente a la description par un Lagrangien. Les deux methodes sont reliees entre elles par une transformation dite de Legendre, elles ont leurs propres avantages. La raison pour laquelle il est parfois indispensable de passer a la formulation Lagrangienne est liee au fait que le formalisme Hamiltonien ne traite pas la variable temps de la meme facopn que les variables spatiales, ce qui n'est pas satisfaisant du point de vue de la relativite. Neanmoins, la formulation Lagrangienne necessite un point de vue "global", il faut considerer une trajectoire possible dans son ensemble et effectuer des calculs variationnels ce qui complique un peu la tache (contrairement au cas Hamiltonien ou l'on peut faire des evolutions infinitesimales a partir de conditions initiales).

[invite8ef897e4]

Plus concretement sur le lien Hamiltonien / Lagrangien : et ou est l'energie cinetique et est l'energie potentielle.

[A voir en vidéo sur Futura]