RDM - Théorème des 3 moments

[invite0ad8d18d]

Bonjour,

Je planche sur un exercice assez simple : voir le fichier .gif en pièce jointe.

Résumé : encastrement à gauche (au point 1), poutre continue de longueur 3L avec un appui simple en x=L (au point 2), et une charge ponctuelle Q dirigée vers le bas, à l'extrémité droite (au point 3, donc en x=3L). Un petit schéma au cas où la pièce jointe ne s'affiche pas :

|1------^2--------------3

Je cherche à tracer M(x) et V(x) en utilisant le théorème des 3 moments, car il s'agit d'une structure hyperstatique de degré 1.

Pour M(x), avec l'équation des 3 moments, pas de problème on trouve :
Au point 1 (encastrement) : M₁ = QL
Au point 2 (appui simple) : M₂ = -2QL
Au point 3 (extrémité droite) : M₃ = 0

Pour V(x), en dérivant M(x) on accède facilement aux résultats, mais je souhaite utiliser la formule qui dit :

V(x) = V_iso(x) + (M_i + M_i-1) / L

Or je n'arrive pas à retrouver les résultats par cette formule, à cause de la présence d'une console dans cette structure.

Par exemple, si on se place entre le point 1 et le point 2, alors après calcul des réactions d'appui isostatiques, que doit-on considérer dans l'expression (M_i + M_i-1) / L ? Doit-on prendre L = la longueur de la partie gauche ? Ou L = la totalité de la poutre ? La seule difficulté réside dans le fait que la charge se trouve à l'extérieur des deux appuis simples de la structure ramenée à son état isostatique (quand elle se trouve à l'intérieur, ça fonctionne sans poser de question).

Je n'arrive pas à établir une règle qui dit quel i prendre et quel L prendre, dans cette expression, et qui fonctionne à la fois pour le cas entre les points 1 et 2, et pour le cas entre les points 2 et 3.

Pour info le résultat final pour V(x) est :
Entre les points 1 et 2 : V(x) = -3Q
Entre les points 2 et 3 : V(x) = Q

Si vous avez une tentative de réponse, elle est la bienvenue

Merci et à bientôt
J.
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[sitalgo]

B'soir,

Ca fait longtemps que je ne maîtrise plus l'hyperstatique mais je trouve bizarre le signe + entre les moments dans la formule V(x) = Viso(x) + (Mi + Mi-1) / L.
A mon avis L est la longueur du tronçon étudié.
En fait dans ce cas de figure V(x) = (Mi - Mi-1) / L suffit. Ce qui est logique puisque ça revient à faire dMf/dx

Si on connaît les moments une formule V=Viso + (Mtot1-Miso1)/L fonctionne.
(Mtot1-Miso1)/L donne la force nécessaire en 2 pour que le moment passe de Miso1 à Mtot1. Il devra donc y avoir une force égale et opposée en 1.

[invite0ad8d18d]

Salut

Merci de ta réponse, effectivement c'est un signe "-" à la place du signe "+", simple erreur de frappe.

Par contre, et pour tenter d'être plus clair, voici un petit schéma en pièce jointe.

Le cas 1 : ça se fait tout seul.
Le cas 2 : je ne vois pas quelles valeurs de moments et de longueur de travée prendre (dans la formule avec (M_i - M_i-1) / L) , et en tous cas, je ne comprends pas pourquoi on en prendrait une plutôt qu'une autre.

Encore une fois le problème n'est pas de résoudre l'exercice, une autre méthode le fait plus facilement (dériver le moment fléchissant). Je cherche juste à comprendre cette méthode-ci.

Si quelqu'un se sent inspiré...

Merci
J.

[geagea]

Bonjour,

Je planche sur un exercice assez simple : voir le fichier .gif en pièce jointe.

Résumé : encastrement à gauche (au point 1), poutre continue de longueur 3L avec un appui simple en x=L (au point 2), et une charge ponctuelle Q dirigée vers le bas, à l'extrémité droite (au point 3, donc en x=3L). Un petit schéma au cas où la pièce jointe ne s'affiche pas :

|1------^2--------------3

Je cherche à tracer M(x) et V(x) en utilisant le théorème des 3 moments, car il s'agit d'une structure hyperstatique de degré 1.

Pour M(x), avec l'équation des 3 moments, pas de problème on trouve :
Au point 1 (encastrement) : M₁ = QL
Au point 2 (appui simple) : M₂ = -2QL
Au point 3 (extrémité droite) : M₃ = 0

Pour V(x), en dérivant M(x) on accède facilement aux résultats, mais je souhaite utiliser la formule qui dit :

V(x) = V_iso(x) + (M_i + M_i-1) / L

Or je n'arrive pas à retrouver les résultats par cette formule, à cause de la présence d'une console dans cette structure.

Par exemple, si on se place entre le point 1 et le point 2, alors après calcul des réactions d'appui isostatiques, que doit-on considérer dans l'expression (M_i + M_i-1) / L ? Doit-on prendre L = la longueur de la partie gauche ? Ou L = la totalité de la poutre ? La seule difficulté réside dans le fait que la charge se trouve à l'extérieur des deux appuis simples de la structure ramenée à son état isostatique (quand elle se trouve à l'intérieur, ça fonctionne sans poser de question).

Je n'arrive pas à établir une règle qui dit quel i prendre et quel L prendre, dans cette expression, et qui fonctionne à la fois pour le cas entre les points 1 et 2, et pour le cas entre les points 2 et 3.

Pour info le résultat final pour V(x) est :
Entre les points 1 et 2 : V(x) = -3Q
Entre les points 2 et 3 : V(x) = Q

Si vous avez une tentative de réponse, elle est la bienvenue

Merci et à bientôt
J.

bonjour,
la méthode des 3 moments est appelée méthode de CLAPEYRON.
En partant sur la formule des équations de bresse,vous pouvez résoudre votre problème.Il existe des exemples de calcul,par une méthode plus simple pour la résolution.

cordialement

géagéa

[A voir en vidéo sur Futura]