Lien entre sphère de Fermi et zone de Brillouin

[Ghost]

Bonjour, je m'interroge sur une partie de mon cours de physique du solide.
Je ne comprend pas très bien le lien qui existe entre la première zone de Brillouin qui est la zone entre les plus proches voisins atomique d'un réseau cristallin et la sphère de Fermi qui correspond, si je ne m'abuse au volume dans lequel les électrons d'un cristal sont libres (=aucun effet de potentiel subie par les électrons).
Ma question est donc:
Est ce que ces deux concepts associé l'un avec l'autre me permettent de distinguer un métal ou d'un semi-conducteur ou d'une semi métal ou d'un isolant?
Si oui comment ces concepts sont liés et quel configuration adopter dans les différents cas(la pshère de Fermi pleine dans la première zone ou dépasse la première zone de Brillouin)?

Merci de vos réponses, je suis également prêt à discuter sur le sujet si vous avez des remarques à faire.

Amicalement,Ghost.

[mariposa]

Bonjour, je m'interroge sur une partie de mon cours de physique du solide.
Je ne comprend pas très bien le lien qui existe entre la première zone de Brillouin qui est la zone entre les plus proches voisins atomique d'un réseau cristallin

Les zones de Brillouin relève du réseau reciproque en non du réseau cristallin. Dit autrement zone de Brillouin assimilable a une transformée de fourier spatiale du réseau direct.
Dans la première zone de Brillouin on a chaque point un etat k (un donc un etat propre) de la fonction de Bloch correspondante.

et la sphère de Fermi qui correspond, si je ne m'abuse au volume dans lequel les électrons d'un cristal sont libres (=aucun effet de potentiel subie par les électrons).

la sphere de Fermi represente le volume dans l'espace k occupés par les électrons. on rempli les etats a partir du centre de zone en montant en energie.Le dernier électron occupe le niveau de Fermi.

Pour les métaux les propriétés sont dues aux electrons situés au voisinage du niveau de Fermi d'où l'imortance de la forme de la zone de brilloin.

Si au dessus du niveau de Fermi il y a des états c'est un métal. sinon c'est un isolant (bande interdite).

[Ghost]

Les zones de Brillouin relève du réseau reciproque en non du réseau cristallin. Dit autrement zone de Brillouin assimilable a une transformée de fourier spatiale du réseau direct.

Ok je vois.

Dans la première zone de Brillouin on a chaque point un etat k (un donc un etat propre) de la fonction de Bloch correspondante.

Tu parles de la fonction d'onde, solution de l'équation de Scrödinger qui est obtenue par application du théorème de Bloch d'un réseau périodique, à un électron?

la sphere de Fermi represente le volume dans l'espace k occupés par les électrons. on rempli les etats a partir du centre de zone en montant en energie.Le dernier électron occupe le niveau de Fermi.

La sphère de Fermi c'est donc l'ensemble des électrons qui occupent les niveaux en dessous du niveaux d'énergie fondamentale (cf formule de Rydberg), c'est à dire ceux qui ne sont pas excitables électriquement, c'est ça?

Pour les métaux les propriétés sont dues aux electrons situés au voisinage du niveau de Fermi d'où l'imortance de la forme de la zone de brilloin.

Un métal et un semi-conducteur ne vérifie-t-il pas cette propriété?
Car le métal doit vérifier le modèle des électrons libres mais le semi conducteur se comporte comme un métal dans certains cas où ont lui impose assez de champ électrique.
Donc il doit y avoir une condition sur le potentiel coulombien entre les électrons qui différencie un métal d'un semi conducteur.
Est ce que cette condition est lié à l'emplacement de la sphère de Fermi par rapport au zones de Brillouin?

Si au dessus du niveau de Fermi il y a des états c'est un métal. sinon c'est un isolant (bande interdite).

Je suis d'accord, est ce que l'existence d'états au dessus du niveau de Fermi n'est pas lié intrinsèquement à la température du cristal?

[Konrad]

Petite précision : le niveau de Fermi correspond au dernier niveau occupé à température nulle (0 K). La sphère de Fermi est bien l'équivalent dans l'espace réciproque (espace des k).

[Konrad]

Si au dessus du niveau de Fermi il y a des états c'est un métal. sinon c'est un isolant (bande interdite).

Ceci est d'ailleurs faux puisque dans un semiconducteur (ou un isolant, c'est la même chose, seule la valeur du gap change) le niveau de Fermi est situé dans le gap, c'est-à-dire entre deux niveaux d'énergie permis.

En fait rigoureusement, le niveau de Fermi est le niveau d'énergie auquel on a une probabilité 1/2 de trouver un électron : en effet, dans un matériau les électrons sont répartis selon la statistique de Boltzman :



Le niveau de Fermi est l'énergie à laquelle cette probabilité est égale à 1/2, il ne dépend donc pas de la température ; il existe aussi même si l'énergie en question n'est pas permise (comme dans les semiconducteurs ou les isolants).

A température nulle on ne trouve aucun électron au-dessus du niveau de Fermi, et à température non-nulle ils sont répartis selon la loi statistique ci-dessus, donc il y a une probabilité non nulle d'en trouver au-dessus du niveau de Fermi (c'est d'ailleurs pour ça que les semiconducteurs sont isolants à 0K, et conduisent de mieux en mieux à mesure qu'on augmente la température).

[mariposa]

Ceci est d'ailleurs faux puisque dans un semiconducteur (ou un isolant, c'est la même chose, seule la valeur du gap change) le niveau de Fermi est situé dans le gap, c'est-à-dire entre deux niveaux d'énergie permis.

En fait rigoureusement, le niveau de Fermi est le niveau d'énergie auquel on a une probabilité 1/2 de trouver un électron : en effet, dans un matériau les électrons sont répartis selon la statistique de Boltzman :



Le niveau de Fermi est l'énergie à laquelle cette probabilité est égale à 1/2, il ne dépend donc pas de la température ; il existe aussi même si l'énergie en question n'est pas permise (comme dans les semiconducteurs ou les isolants).

A température nulle on ne trouve aucun électron au-dessus du niveau de Fermi, et à température non-nulle ils sont répartis selon la loi statistique ci-dessus, donc il y a une probabilité non nulle d'en trouver au-dessus du niveau de Fermi (c'est d'ailleurs pour ça que les semiconducteurs sont isolants à 0K, et conduisent de mieux en mieux à mesure qu'on augmente la température).

OK pour ce que tu dis. J'ai répondu seulement a la question zone de brilluoin versus niveau de Fermi.

[Konrad]

Heu pour le coup c'est moi qui ne suis plus OK avec ce que j'ai dit lol Une faute s'est glissée dans la formule, j'ai dû la taper un peu vite :


(proba d'occupation de l'état d'énergie E)

Voilà ça va un peu mieux... Quand E=E_F on a bien P=1/2.

[mariposa]

Heu pour le coup c'est moi qui ne suis plus OK avec ce que j'ai dit lol Une faute s'est glissée dans la formule, j'ai dû la taper un peu vite :


(proba d'occupation de l'état d'énergie E)

Voilà ça va un peu mieux... Quand E=E_F on a bien P=1/2.

Bien sur. j'avais implicitement corrigé

[Konrad]

Tant qu'à faire autant être précis jusqu'au bout : dans le réseau réel, il existe un motif élémentaire que l'on répète pour former le cristal ; ce motif est appelé cellule de Wigner-Seitz. Le réseau réciproque a lui aussi une périodicité (différente de celle du réseau réel bien sûr), et la cellule élémentaire est la zone de Brillouin : on construit tout le réseau réciproque par translation de la zone de Brillouin.

Ensuite, il y a la zone de Brillouin irréductible : il s'agit d'une portion de la ZdB, que l'on peut dupliquer par translation et/ou rotation afin de reconstruire la ZdB entière. En fait, la ZdB irréductible est le plus petit motif à partir duquel on peut reconstruire tout le réseau réciproque.

Pourquoi s'intéresser à la ZdB irréductible ? Parce qu'elle suffit pour étudier les propriétés du matériau, et sa petite taille simplifie grandement les calculs.

[Ghost]

Merci pour toutes ses précisions Konrad, je pense que désormais j'ai vu le lien entre sphère de fermi et isolant/semi-conducteur et métal.
Il reste la question du semi métal, je ne suis pas sûre de savoir où placer le niveau de Fermi et dans quel zone de brillouin je me situe pour considérer ce cas;

Est ce que tu pourrais m'aider, s'il te plaît?

[Konrad]

Les semi-métaux sont particuliers puisque leur gap ne se referme qu'en un point ; le graphite par exemple est un semi-métal, avec fermeture du gap au point K dans la ZdB. En fait c'est comme un semiconducteur dont la dernière bande de valence et la première bande de conduction se fermeraient en un point.

Pour résumer :

- Les métaux sont définis par une bande à moitié remplie ; le niveau de Fermi est le dernier niveau contenant des électrons à 0K

-Les isolants et les semiconducteurs sont définis par une bande complètement remplie, au-delà de laquelle il y a un gap (=pas de niveaux d'énergie proches) ; petit gap = semiconducteur, grand gap = isolant. Le niveau de Fermi est situé au milieu du gap (pour les matériaux non dopés).

- Les semi-métaux sont définis par une bande NON complètement remplie (comme les métaux) ; au niveau de Fermi il existe un gap dans toute la zone de Brillouin, sauf en certains points où le gap se referme : il y a à cet endroit continuité des niveaux d'énergie comme dans un métal.

[mariposa]

:

- Les métaux sont définis par une bande à moitié remplie ; le niveau de Fermi est le dernier niveau contenant des électrons à 0K

Bande partiellement remplie et non pas a moitié remplie.

:

-Les isolants et les semiconducteurs sont définis par une bande complètement remplie, au-delà de laquelle il y a un gap (=pas de niveaux d'énergie proches) ; petit gap = semiconducteur, grand gap = isolant. Le niveau de Fermi est situé au milieu du gap (pour les matériaux non dopés).

OUI, sauf que le niveau de Fermi est au milieu du gap dans le seul cas où les densités d'etats sont les mêmes pour la bande de valence et la bande de conduction. Le niveau de Fermi se trouve a une position telle que la population des électrons soit égale a la population des trous.

:

- Les semi-métaux sont définis par une bande NON complètement remplie (comme les métaux) ; au niveau de Fermi il existe un gap dans toute la zone de Brillouin, sauf en certains points où le gap se referme : il y a à cet endroit continuité des niveaux d'énergie comme dans un métal.

OK

Pour completer ce langage cela est valable uniquement lorque l'on peut utiliser l'approximation a 1 électron (quasi-particule). Sinon il y a autant de gaps qu'il y a de propriétés! (par exemple: matériaux décrits par un hamiltonien de Hubbard).

[lindajin]

Les semi-métaux sont particuliers puisque leur gap ne se referme qu'en un point ; le graphite par exemple est un semi-métal, avec fermeture du gap au point K dans la ZdB. En fait c'est comme un semiconducteur dont la dernière bande de valence et la première bande de conduction se fermeraient en un point.

Pour résumer :

- Les métaux sont définis par une bande à moitié remplie ; le niveau de Fermi est le dernier niveau contenant des électrons à 0K

-Les isolants et les semiconducteurs sont définis par une bande complètement remplie, au-delà de laquelle il y a un gap (=pas de niveaux d'énergie proches) ; petit gap = semiconducteur, grand gap = isolant. Le niveau de Fermi est situé au milieu du gap (pour les matériaux non dopés).

- Les semi-métaux sont définis par une bande NON complètement remplie (comme les métaux) ; au niveau de Fermi il existe un gap dans toute la zone de Brillouin, sauf en certains points où le gap se referme : il y a à cet endroit continuité des niveaux d'énergie comme dans un métal.

bonsoir, qu'es ce que vous voulez dire :une bande complétement remplie es ce sont les electron .