Pertes de chaleur

[Josquin]

Bonjour à tous !

Ce n'est pas la première fois que je poste un message sur ma cuve de lisier !!! Cette fois c'est un nouveau problème.

Ma cuve est remplie de lisier. La température interne est homogène (agitation) à Ti=37°C. La cuve est cylindrique, de profondeur h=4 m et de rayon interne R=2 m. Elle est enterrée dans le sol, de telle sorte que la surface du sol arrive juste en haut de la cuve. Les parois sont en béton, quelques dizaines de cm d'épaisseur, mais on ne les considère pas dans une première approximation, car elles ne font que se rajouter à des kilomètres de terre, de conductivité peu différente.

Mon but est le suivant : calculer la puissance que la cuve perd pour essayer de déterminer la puissance à lui apporter pour maintenir la température interne constante. On considère uniquement le régime permanent. On assimile la cuve à une source parfaite de chaleur (température constante), et on place la température Te de la source froide (le sol) à l'infini.

A priori, pas de problème : on écrit la loi de fourier pour une surface cylindrique S située à une distance r de l'axe de la cuve. (P = puissance, l = conductivité thermique, T = température)
S=h*2*pi*r
P=-S*l*(dT/dr)=-h*2*pi*r*l*(dT/dr)
D'où : dT=[-P/(2*pi*l*h)]*(dr/r)
D'où l'intégration entre Ti et Te, et entre R et Rinfini :

P=[2*pi*l*h*(Ti-Te)]/ln(Rinfini/R)

Or ln(Rinfini/R)=infini, donc P=0 !!!!!!!!!!!!!

Notez que ceci ne concerne que les pertes par conduction par la surface latérale, mais on trouve également 0 pour les pertes par la surface inférieure.

D'où un problème évident. Ma cuve perd forcément de la chaleur par conduction ! D'ailleurs, si les pertes par conduction d'un cylindre chaud enterré dans le sol étaient nulles, ça se saurait !!!

D'autant plus que si la cuve a la forme d'une demi-sphère, ça marche !!! (on a S=2*pi*r², et le tout s'intègre en 1/r, donc les pertes ne sont pas nulles, même si on prend Te à l'infini). Donc, évidemment il y a un problème avec le cylindre !!!

Mon interprétation : les surfaces d'isothermes à partir desquelles on définit le gradient de T sont bien sphériques pour la cuve sphérique, donc le modèle est bon. Par contre, pour le cylindre, on voit bien que les surfaces d'isotherme ne seront pas des cylindres : plus on s'éloigne de la cuve, plus elles tendent à se rapprocher du modèle sphérique (les irrégularités liées à la forment de la cuve tendent à "se gommer" au fur et à mesure qu'on s'éloigne de la cuve) Mais comment déterminer l'équation de ces courbes d'isothermes ?

L'avis de mes profs (qui m'ont déjà bien aidé !!!) est qu'on peut utiliser le modèle des isothermes sphérique (puisque ma cuve est aussi profonde que large) sans commettre trop d'erreur. Mais est il possible d'établir rigoureusement l'équation de ces surfaces pour des calculs plus précis ?

Si vous trouvez que je ne suis pas clair, n'hésitez pas à me demander des précisions !

Et merci de m'avoir lu jusqu'ici !!!!!!!!
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[deep_turtle]

Salut,

Bon, je dois être fatigué, mais même après plusieurs lectures je ne comprends pas ton petit calcul de trois lignes... Tu sembles t'intéresser à la relation entre le profil de température et la puissance dégagée, mais tu écris seulement la loi de Fourier (qui te donnes le flux de chaleur en fonction du profil de température), mais pas la conservation de l'énergie, qui te donne une seconde relation qui permet de trouver ces deux quantités. En bref, tu considères que P ne dépend pas de r, ce qui est faux, non ?

Pour répondre à ta deuxième question, on arrive à la fin à une équation de type "diffusion", qu'il est possible de résoudre analytiquement dan ue géométrie cylindrique, je dois même avoir ça pas trop loin...

[FC05]

Etant donné que tu considéres que le rayon de la terre autour du cylindre est infini, tu cherches la resistance thermique d'un cylindre de rayon infini qui est infinie ! (pas besoin de faire le calcul, qui de mémoire me semble juste).

De la même façon, des considérations énergétiques ne peuvent aboutir puisque ton systéme étant infini, aucune chaleur ne s'en échape !

A mon avis il faut plutôt considérer que la terre autour, à partir d'une certaine distance, est un thermostat. Tout le problème est à partir de quelle distance.

Sans compter que l'on ne règle pas le problème du fond, qui rend tes isothermes sphériques ...

Si c'était moi, je considérerai une épaisseur nulle (seul le béton isole), le résultat serait trop grand, mais c'est pas si grave, si tu veux une bonne régulationde température, il te faut deux à trois fois la puissance de fuite thermique calculée.

Sinon, passes à la simulation ...

[mariposa]

A mon avis ton probleme vient du mauvais traitement des conditions aux limites. voila comment je traiterais le problème:

1- je choisis une demi-calotte sphérique situé sufisamment loin de la cuve(par exemple 20 m) pour considerer que le flux de chaleur issu de la cuve ne modifie pas le profil de temperature sur cette surface. Ainsi la temperature sur cette surface est connue (elle peut_être mesurée en absence de la cuve).

2 - ton probleme est désormais bien défini puisqu'il faut que tu calcules l'ecoulement de la chaleur entre deux surfaces bien définies et dont les températures sur ces surfaces sont connues ainsi que la conductivité de la Terre.

3- Pour résoudre ce probléme il faut utiliser le calculateur car le profil de température n'est pas constant sur la calotte sphérique.

4- Tu peux essayer de simplifier de sorte de pouvoir résoudre le probléme a la main. pour ca:

A- Tu supposes le profil de température constant sur la calotte. par exemple 10°C. (c'est le point délicat).
B- Tu supposes ta cuve demi-sphére dont la surface est égale a la surface de ton cylindre (ca c'est une bonne approximation).

[A voir en vidéo sur Futura]

[mariposa]

Voila la suite:

dans ce cas ton probleme est de symmétrie sphérique et tu peux résoudre a la main. a mon avis le point délicat est le choix de la température moyenne sur la calotte profonde.

Comment améliorer?

Par exemple si la temperature ne varie pas trop vite sur la calotte (en fonction de la profondeur) tu peux résoudre le probleme par secteur angulaires indépendants. Ca aussi ca peut se faire a la main. la on devrait être proche de la solution.