Exercice radioactivité préparation concours kiné

[emilie.34]

Bonjour,



Pouvez-vous m'aider à résoudre cet exercice issu du livre PREPA SANTE Concours kiné Physique QCM + Exos car les corrections n'y sont pas très détaillées.

Merci d'avance,


Emilie.



Le bismuth Bi (A=210 Z=83) est radioactif Béta - : il se transforme en polonium Po lui-meme radioactif Alpha. Le polonium se désintègre à son tour en produisant un nucléide stable, le plomb.



1. Ecrire les deux équations de désintégration du bismuth en plomb. (résolu)



2. Soient N1(t), N2(t) et N3(t) les nombres respectifs de noyaux de bismuth, de polonium et de plomb.

Etablir l'équation différentielle vérifiée par N2(t). (non résolu, et je n'ai pas compris la correction issu du livre)



3. L'expression de N2(t) est de la forme :



N2(t) = λ1 N0 ( e^(-λ1t) - e^(-λ2t) ) / ( λ1 - λ2 )



En déduire que N2(t) passe par un maximum et calculer la valeur de t correspondante, sachant que le bismuth a une période de 5 jours et le polonium une période de 138,3 jours.



(ici j'ai compris que si N2(t) a un maximum, sa dérivée s'annule en ce point. Cependant je n'arrive pas à résoudre l'équation...)



4. Donner l'allure des courbes N1(t) et N2(t) pour t < 35 jours.



(pour cette question je devrai m'en sortir si je pouvais résoudre la 3 ! ^^ )

[emilie.34]

Y a t-il quelqu'un pour m'aider svp ?

Ca serait cool ! Merci d'avance

[KLOUG]

Bonsoir

J'avais déjà traité ce cas sur le forum de physique.
Je vous redonne les éléments :

Je pourrait bien sûr vous fournir toute la démonstration, mais sur le forum l'écriture des expressions mathématiques n'est pas chose aisée
Je vais essayer quand même.
En général j'utilise plutôt les activités et les périodes dans les formules.
Ceci dit ça marche avec lambda et les noyaux.

A t = 0 on a A1,0 et A2,0 = 0 ou N1,0 et N2,0 = 0

dN2 = λ1N1dt - λ2N2dt
dN2/dt = λ1N1 - λ2N2
dN2/dt + λ2N2 = λ1N1

Or A = λN

1/λ2 . dA2/dt + A2 = A1
dA2/dt + λ2A2 = λ2A1

Or A1 = A1,0 e-λ1t

dA2/dt + λ2A2 = λ2 A1,0 e-λ1t

Equa diff avec second membre

Résolution de dA2/dt + λ2A2 = 0
A2 = K e-λ2t
Avec second membre
solution particulière supposée : k e-λ1t

-k λ1 e-λ1t + k λ2 . e-λ1t = λ2 . A1,0 e-λ1t

k (λ2 - λ1) = λ2 . A1,0
k = λ2 / (λ2 - λ1) . A1,0

solution générale
A2 = K e-λ2t + λ2 / (λ2 - λ1) . A1,0 e-λ1t

à t = 0 A2 = 0
d'où on tire K

K = -λ2 / (λ2 - λ1) . A1,0

Forme définitive

A2 = λ2 / (λ2 - λ1) . A1,0 [e-λ1t - e-λ2t]

Comme je préfère les périodes j'utilise plutôt la formule suivante :

A2 = T1 / (T1 - T2) . A1,0 [e-λ1t - e-λ2t]
je trouve ça plus simple et je l'ai en mémoire depuis longtemps.
avec bien sûr λ1 = Ln2/T1 et λ2 = Ln2/T2

En retransformant les activité en nombre de noyaux et les périodes en λ, vous retomberez sur votre formule.

Mais dans les tables nucléaires les données que l'on trouve le plus facilement ce sont les périodes et l'on demande plutôt de calculer des activités.

J'espère que cette démonstration vous aidera plus que celle du livre. Ceci dit c'est des maths pour des maths. Seule la formule définitive est intéressante. Même chose pour la suite d'ailleurs avec la question :

En déduire que N2(t) passe par un maximum et calculer la valeur de t correspondante, sachant que le bismuth a une période de 5 jours et le polonium une période de 138,3 jours.

Oui c'est l'annulation de la dérivée.
C'est une filiation radioactive qui a une petite particularité. la période du père est plus petite que celle du fils.
N1 va donc décroitre tout le temps. N2 va croître puis décroître avec sa propre période.

Si on raisonne simplement en terme de période au bout de 10 périodes du bismuth il ne reste que le millième (environ) de son activité initiale alors qu'il reste du polonium.

Nous avons établi une formule qui permet de calculer tout de suite ce t que nous avons défini comme t*

t* = [T1 x T2 x Ln (T1/T2)] / (T1 - T2) x Ln 2
Ce qui donnerai de l'ordre de 24,8 jours (j'ai fait des calculs arrondis).

Etant en déplacement je n'ai pas toutes les documentations de mon bureau, mais je pense ne pas avoir fait trop d'erreurs.

Pour la question 4 ne serait-ce pas plutôt l'allure des courbes après 35 jours. Au bout de 7 période du bismuth il reste le 128ème de l'activité de départ et pour le polonium il faut le calculer. mais la pente va devenir constante (suivre une exponentielle)

Bonne continuation
KLOUG