Energie électrostatique d'une distribution continue de charges

[Seirios]

Bonjour à tous,

J'ai regardé un exercice posté par Weensie il y a quelques temps, mais comme il n'est plus dans les parages depuis quelques temps, je viens ici vous demander quelques précisions d'ordre général. Voici une partie de l'énoncé :

Imaginons un " électron classique" comme une bille sphérique. Quel est le rayon minimal, si son énergie électrostatique n'est pas plus importante que son énergie totale de repos, mc² ?

J'ai du mal à saisir ce à quoi fait référence l'énergie électrostatique mentionnée, donc si quelqu'un pouvait m'expliquer brièvement (je voudrais tout de même résoudre l'exercice par moi-même) ce en quoi cela consiste.

Merci d'avance
Phys2
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[Karibou Blanc]

L'électron étant chargé électriquement, il génère autour de lui un champ électrique statique (en supposant que l'électron est immobile depuis suffisamment longtemps dans le référentiel d'observation). Ce champ va agir à son tour sur l'électron car si le champ électrique est un degré de liberté indépendant de ses possibles sources, il agira de la meme facon sur toute particule chargée, y compris celle qui lui a donné naissance. On parle alors d'auto-interaction et ca a beaucoup occupé Feynman dans sa jeunesse (cf. Nobel lecture). C'est cette énergie d'auto-interaction du champ créée par l'électron sur l'électron lui-meme, qu'il te faut calculer. Que remarques-tu si l'électron est ponctuel ?

[LPFR]

Bonjour.
dans une zone de l'espace où i y a un champ électrostatique, il y a une énergie par unité de volume égale à .
Calculez le champ autour d'une sphère de rayon ro et de charge q. Puis intégrez l'énergie volumique sur tout l'espace depuis ro jusqu'à l'infini.
C'est cette énergie qu'on fait égale à mc² pour trouver le "rayon de l'électron".
Au revoir.

[Seirios]

L'électron étant chargé électriquement, il génère autour de lui un champ électrique statique (en supposant que l'électron est immobile depuis suffisamment longtemps dans le référentiel d'observation). Ce champ va agir à son tour sur l'électron car si le champ électrique est un degré de liberté indépendant de ses possibles sources, il agira de la meme facon sur toute particule chargée, y compris celle qui lui a donné naissance. On parle alors d'auto-interaction et ca a beaucoup occupé Feynman dans sa jeunesse (cf. Nobel lecture). C'est cette énergie d'auto-interaction du champ créée par l'électron sur l'électron lui-meme, qu'il te faut calculer.

Merci pour cette explication

Donc finalement, si j'ai bien compris, je dois déterminer le champ électrique créé par une sphère pleine de charge -e, déterminer l'énergie potentielle du volume dV, puis finalement intégrer pour trouver l'énergie électrostatique totale ; je vais regarder si je peux mettre tout cela en équation sur un exemple simple.

Que remarques-tu si l'électron est ponctuel ?

L'énergie électrostatique devrait être nulle, non ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

dans une zone de l'espace où i y a un champ électrostatique, il y a une énergie par unité de volume égale à .
Calculez le champ autour d'une sphère de rayon ro et de charge q. Puis intégrez l'énergie volumique sur tout l'espace depuis ro jusqu'à l'infini.
C'est cette énergie qu'on fait égale à mc² pour trouver le "rayon de l'électron".

Je n'ai pas très bien compris : D'où vient la formule ? Pourquoi dois-je intégrer l'énergie volumique de R jusqu'à l'infini ?

[Seirios]

Est-ce normal si je trouve que la relation n'est pas homogène ?

[LPFR]

Bonjour.
Non. Ce n'est pas normal. La formule est bonne (garantie pur beurre) et ce sont des joules/m3.
On retrouve cette formule en utilisant un condensateur plat très grand de sorte de pouvoir négliger les effets de bord et considérer que le champ est uniforme dans tout le volume. Calculez la capacité C, puis l'énergie ½CV² plus le champ quand il est chargé à une tension V.
Mettez cette énergie en fonction du champ et vous trouverez la formule.
Au revoir.

[LPFR]

Re.
J'ai oublié de dire qu'il fallait diviser par le volume pour obtenir l'énergie par unité de volume.
A+

[Seirios]

Non. Ce n'est pas normal.

Mea culpa, je n'ai pas tenu compte d'une énergie volumique dans mon analyse dimensionnelle...

Sinon, voilà ce que j'obtiens par appliquation de cette formule :

Tout d'abord, j'applique le théorème de Gauss pour r>R, en utilisant pour surface de Gauss une sphère concentrique à l'électron de rayon r. J'obtiens ainsi : , d'où .

Soit une énergie volumique , et une énergie totale : ,

Soit en passant aux coordonnées sphériques : , d'où finalement .

La condition implique alors un rayon minimal .

Cela dit, je n'ai pas encore tout compris sur la démarche, donc je vais encore y réfléchir, et je reviendrai poser des questions si besoin.

[LPFR]

Bonjour.
C'est bien. Mais on peut faire l'intégrale plus rapidement si, au lieu de prendre un différentiel de volume de troisième ordre, on prend un différentiel de premier ordre.
Dans notre cas nous avons une symétrie sphérique. Donc on peut prendre le "plus grand" différentiel de volume dans lequel E ait la même valeur, c'est à dire pour un même rayon.
Et ce différentiel de volume est une coquille sphérique d'épaisseur dr et surface 4pi r². Le différentiel de volume est 4pi r² dr. Et vous avez une seule intégrale à faire.
Au revoir.

[Seirios]

Effectivement, merci pour cette remarque

[Seirios]

On retrouve cette formule en utilisant un condensateur plat très grand de sorte de pouvoir négliger les effets de bord et considérer que le champ est uniforme dans tout le volume. Calculez la capacité C, puis l'énergie ½CV² plus le champ quand il est chargé à une tension V.
Mettez cette énergie en fonction du champ et vous trouverez la formule.

Je reviens sur le fil ; j'arrive effectivement à retrouver la formule, mais le principe me dérange un peu : peut-on réellement l'appliquer ici, alors que l'on a une sphère ? Ne faudrait-il pas plutôt l'analogie d'un condensateur sphérique avec l'armature extérieure située à l'infini () ?

[LPFR]

Je reviens sur le fil ; j'arrive effectivement à retrouver la formule, mais le principe me dérange un peu : peut-on réellement l'appliquer ici, alors que l'on a une sphère ? Ne faudrait-il pas plutôt l'analogie d'un condensateur sphérique avec l'armature extérieure située à l'infini () ?

Bonjour.
On utilise un condensateur plat ou un condensateur sphérique pour déduire la formule de la densité d'énergie par unité de volume.

Mais une fois que l'on a la formule, elle est valable dans tous les autres cas.
Et on peut très bien l'utiliser pour calculer l'énergie d'une sphère chargée. Il suffit d'intégrer dans tout l'espace.
Au revoir.

[Seirios]

Et on peut très bien l'utiliser pour calculer l'énergie d'une sphère chargée. Il suffit d'intégrer dans tout l'espace.

Effectivement, j'avais perdu de vue le fait que l'on sommait sur dV, ce qui fait cela reste correcte. Merci d'avoir répondu !