Lagrangien et principe fondamental de la dynamique

Seirios · 08/05/2009 - 12h46

Bonjour à tous,

L'équation d'Euler-Lagrange donne $\frac{d}{dt} \ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}} (q, \dot{q},t)= \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q} (q, \dot{q},t)$ , ou alors en posant l'impulsion $p (q, \dot{q},t)= \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}} (q, \dot{q},t)$ : $\frac{ d p}{dt} (q, \dot{q},t) = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q} (q, \dot{q},t)$ .

En mécanique newtonienne, le lagrangien s'écrit $\mathcal{L} (q, \dot{q},t) = \frac{1}{2} m \dot{q}^2 - V(q, \dot{q},t)$ , et l'on obtient, en supposant $V (q, \dot{q},t)=V (q,t)$ , $\frac{dp}{dt} (q, \dot{q},t)= - \frac{\partial V (q, t)}{\partial q} = F (q, \dot{q},t)$ . L'on retrouve ainsi une extension du principe fondamental de la dynamique.

Ce que j'aimerais savoir, c'est s'il en est de même dans le cas où les forces ne dérivent pas toutes d'un potentiel ou si ce potientiel est bien fonction de la vitesse ; la forme du lagrangien en est-elle affectée ?

Ensuite, avec le lagrangien en électromagnétisme $\mathcal{L} (x, \dot{x},t) = \frac{1}{2}m \dot{x}^2- q V (x,t)+ q \vec{v} \cdot \vec{A}$ , l'on trouve si je ne me trompe pas $\frac{dp}{dt} (x, \dot{x},t) = -q \frac{\partial V(x, t)}{ \partial x}$ ; est-ce normal ?

Quelqu'un pourrait-il m'éclairer ?

Merci d'avance
Phys2

Thwarn · 08/05/2009 - 13h51

Le probleme, outre le fait que tu aies oublié la dépendance en x de A, c'est que tu utilises l'impulsion sans reelement utiliser les equations de Hamilton-Jacobi. Or, si tu parles d'impulsions, c'est elles qu'il faut utiliser.
De plus, avec un potentiel vecteur, la relation entre l'impulsion et la vitesse change et donc ça complique l'intuition que tu peux avoir sur les equations.

Seirios · 08/05/2009 - 15h42

Le probleme, c'est que tu utilises l'impulsion sans reelement utiliser les equations de Hamilton-Jacobi. Or, si tu parles d'impulsions, c'est elles qu'il faut utiliser.

Pourquoi ne peut-on pas utiliser l'équation d'Euler-Lagrange pour traiter de l'impulsion ?

kalish · 08/05/2009 - 16h05

ben si on peut, mais l'impulsion n'est pas la même et il faut faire un peu d'analyse vectorielle en plus pour retomber sur les bon champs. Mais la démarche n'est pas mauvaise, c'est le principe de base. normalement tu retombes plutôt sur ton équation avec le potentiel coulombien plus la dérivée temporelle du potentiel vecteur (fois q et en fait c'est - aussi.)

Seirios · 08/05/2009 - 20h48

ben si on peut, mais l'impulsion n'est pas la même et il faut faire un peu d'analyse vectorielle en plus pour retomber sur les bon champs.

D'accord, donc l'utilisation du formalisme hamiltonien permet de simplifier les calculs.

Dans les cas où les forces appliquées ne dérivent pas toutes d'un potentiel, j'ai trouvé un document qui traite du cas où une force de frottement s'applique : ici (d'ailleurs j'ai été étonné que ce document retrouve l'équation d'Euler-Lagrange sans passer par le principe de moindre action, mais simplement en considérant l'existence d'une coordonnée généralisée).

Il est alors introduit une modification de l'équation d'Euler-Lagrange en rajoutant un terme : $\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}} \right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q}+ \frac{\mathcal{D}}{\partial \dot{q}} =0$ , avec $\mathcal{D}$ la fonction dissipation.

N'est-ce pas surprenant de modifier l'équation plutôt que la forme du Lagrangien ?

Seirios · 08/05/2009 - 20h50

En passant, auriez-vous un exemple d'une force dérivant d'un potentiel dépendant de la vitesse ? Comment traite-t-on ce cas en mécanique analytique ?

Seirios · 09/05/2009 - 09h31

Envoyé par Phys2

Il est alors introduit une modification de l'équation d'Euler-Lagrange en rajoutant un terme : $\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}} \right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q}+ \frac{\partial \mathcal{D}}{\partial \dot{q}} =0$ , avec $\mathcal{D}$ la fonction dissipation.

N'est-ce pas surprenant de modifier l'équation plutôt que la forme du Lagrangien ?

Finalement je suppose qu'il s'agit en réalité de l'équation d'Euler-Lagrange plus générale, et que l'on pose généralement, lorsque les forces dérivent toutes d'un potentiel indépendant de la vitesse, $\mathcal{D}=0$ ; alors on retombe bien sur $\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}} \right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q}=0$ .

Cela dit, je n'ai encore rien trouvé sur les potentiels dépendants de la vitesse...

Seirios · 09/05/2009 - 10h55

Envoyé par Phys2

Cela dit, je n'ai encore rien trouvé sur les potentiels dépendants de la vitesse...

Finalement j'ai trouvé ce document, où il est écrit :

Avant de passer aux exemples, nous notons que ces équations peuvent se mettre sous la même forme également dans le cas d’un potentiel dépendant de la vitesse, comme c’est le cas pour le potentiel à la base de la force de Lorentz. Dans ce cas, on a $Q_j= \frac{d}{dt} \ \left( \frac{\partial}{\partial \dot{q}_j} U \right) - \frac{\partial }{\partial q_j} U$ avec $U=U(q_1,...,q_k, \dot{q}_1,..., \dot{q}_k,t)$

$Q_j$ étant la j-ème composante de la force généralisée. J'aimerais pouvoir retrouver l'expression de cette force généralisée en fonction du potentiel, mais je vois pas très bien comment faire ; j'ai posé $\vec{F}=- \vec{ \nabla} U$ et $Q_j= \vec{F} \cdot \frac{\partial \vec{r}}{\partial q_j$ , mais je ne pense pas avoir la relation correcte pour calculer le gradient dans ce cas.

Quelqu'un pourrait-il m'aider ?

kalish · 12/07/2009 - 17h52

Si Qj est la j iemme composant de la force généralisée tu vois bien que tu obtiens toute la force, puisque tes j sont les x,y,z et ton équation fait bien intervenir le potentiel. Ceci dit je te remercie pour les documents je n'ai pas fait de mécanique analytique, je me demande comment un graçon de 17 ans en a entendu parlé, c'est la magie d'internet.

edit: le pdf n'est plus disponible tu peux me le passer stp?

Seirios · 13/07/2009 - 07h23

Ceci dit je te remercie pour les documents je n'ai pas fait de mécanique analytique, je me demande comment un graçon de 17 ans en a entendu parlé, c'est la magie d'internet.

Difficile de passer à côté de la mécanique analytique lorsque l'on parcourt des documents de physique ; on la trouve en mécanique classique, en électromagnétisme, en mécanique quantique, en relativité...Partout donc.

edit: le pdf n'est plus disponible tu peux me le passer stp?

Je le mets en pièce jointe.