Analyse dimensionnelle des piliers de la physique

[stefjm]

Bonjour,
Je vous soumets une reflexion personnelle sur le rôle de l'analyse dimensionnelle dans l'étude des ordres de grandeurs en physique.

Je me place en système SI (masse, longueur, temps, courant)

Je considère un électron de masse et de charge , dans le vide caractérisé
par la constante . (Celle de la loi de Coulomb :

(1)

Je précise mes notations car c'est un peu le souk dans les livres qui traitent de ce sujet.)

Je dispose donc de trois constantes caractérisant mon problème du jour :
de dimension
de dimension
de dimension .

Sachant que je suis dans un système à 4 dimensions physiques indépendantes (), il me faut donc une quatrième constante typique qui caractérise mon étude pour me permettre d'estimer les longueurs (ou les longueurs d'onde) mises en jeux dans ce problème.

1) Hypothèse relativiste :
La grandeur intéressante est la vitesse de la lumière c de dimension .

A partir de la quadruplette , je cherche donc une longueur. Je vous passe les calculs (Niveau bac, système de 4 équations à 4 inconnues)

On trouve littéralement
(2)
Et numériquement
, évidemment à rapprocher du « rayon classique de l'électron »

A noter également, que c'est de l'ordre de grandeur de la dimension d'un noyau.

2) Hypothèse quantique
Dans ce cas, c'est la constante de Dirac qui est intéressante (ou constante de Planck réduite) , quantum de moment cinétique de dimension .

On part donc de la quadruplette , et on cherche encore une longueur.
Le même genre de calcul fournit littéralement
(3)
Et numériquement

à rapprocher du rayon de bohr, qui est ainsi obtenu par la plus simple des analyses dimensionnelles.

Pour à peine plus cher, on peut chercher la vitesse correspondante
(4)
vitesse indépendante de la masse de l'électron
Et dont la valeur numérique vaut :
, ie
(5)
si on réintroduit dans cette analyse. On retrouve la signification historique de la constante de structure fine. C'est la vitesse de l'électron sur la première orbite de l'atome de Bohr.

3) Hypothèse gravitationnelle
La grandeur a introduire dans cette étude est donc la constante de
gravitation de Newton de dimension .

Vue que par analyse dimensionnelle, on retrouve plein de grandeurs intéressantes, je me
prends à rêver un peu et je cherche alors la longueur que va fournir la quadruplette .

Et là, c'est la totale kata !
Le système de 4 équations à 4 inconnues est trop contraint et n'admet pas de solution…
Bigre…
Gravité et électromagnétisme ne font pas bon ménage avec un modèle minimum à base d'analyse dimensionnelle!

D'un point de vue formel, la quadruplette n'est donc pas indépendante. C'est donc naturel de chercher la relation entre ces grandeurs :

On trouve comme relation
sans dimension (6)

On obtient donc comme masse typique
(7)
que l'on s'empresse de comparer à la masse de Planck , masse universelle obtenue à partir de, et , et dont l'ordre de grandeur correspond à M :
(8)

Il me semble que c'est l'introduction de cette dimension charge, non indépendante des dimensions MLT au vue de la relation (6), qui provoque le blocage logique du formalisme. (On fera difficilement plus simple comme explication…)

Evidement, le coefficient a de quoi inquiéter un peu : On retombe dans les grands nombres de Dirac et d'Eddington.



Qu'en pensez-vous?
-----

[invité576543]

Et là, c'est la totale kata !

La masse n'a pas de sens sans G, qui joue le rôle de "mise à l'unité". Pareil pour e avec . Tu te retrouves avec deux valeurs en système LT.

Or, on a Gm_e de dimension L³T^-2, et de dimension L⁶T^-4, c'est à dire le carré du premier, i.e., le carré d'une masse.

Cette masse mise au carré est tout simplement la masse telle que la force de gravitation de Newton entre deux objets de cette masse soit la même que la force électrostatique entre deux électrons.

Notons m' la masse exprimée en GM, F' la force en GF. La formule pour gravitation est

F_g' = m'²/r²

La force électrostatique



se réécrit



où

La conclusion s'ensuit...

Cordialement,

[invité576543]

PS : Tu as oublié un ² dans la formule 6, qui est est le rapport des carrés des deux "masses".

Cdlt,

[stefjm]

PS : Tu as oublié un ² dans la formule 6, qui est est le rapport des carrés des deux "masses".
Cdlt,

Merci beaucoup. Toujours bon oeil!

On trouve comme relation
sans dimension (6)

Voici la version modifiée de la relation (6)

sans dimension (6)

[A voir en vidéo sur Futura]

[stefjm]

[...]
La conclusion s'ensuit...

J'ai un peu de mal à conclure...
Je ne suis pas doué en énigme.

Dans les partie 1) et 2), G n'intervient pas, seule la charge est concernée. Malgré tout, on parle quand même de masse. D'après toi, on ne devrait pas parler de masse sans introduire G? Ce n'est clairement pas l'usage!

Dans la partie 3), on vois bien qu'une des dimensions masse ou charge est de trop. (Ce que resument tes calculs.)
C'est quand même surprenant!

Ou alors, j'ai rien compris? (Et je ne dois pas être tout seul, vu le nombre de réponses! )

[invite5a89bfe6]

salut,

C'est interessant comme approche, mais ce n'est peut-être pas très rigoureux comme méthode pour prouver que le photon a une masse

[stefjm]

C'est interessant comme approche, mais ce n'est peut-être pas très rigoureux comme méthode pour prouver que le photon a une masse

Quel lien verrais-tu entre mes analyses dimensionnelles et la masse du photon?

[invite5a89bfe6]

bonjour,

"Et là, c'est la totale kata !
Le système de 4 équations à 4 inconnues est trop contraint et n'admet pas de solution…
Bigre…
Gravité et électromagnétisme ne font pas bon ménage avec un modèle minimum à base d'analyse dimensionnelle!
"
là ce que je peux te suggérer c'est qu'au lieu d'utiliser le epsilon zero (de l'electromag) d'utilisier plutot l'epsilon zero du gravitoelectromagnétisme et de l'ajouter à ta quadruplette. Voir notamment les travaux de Mashoon (sur arXiv, ou taper gravitoelectromagnétisme sur wiki). ca pourrait débloquer tes calculs peut-être, je dis ça comme ça mais j'avoue ne pas avoir refait tes calculs, je te fais confiance ainsi qu'a mmy.


Quand à la masse du photon, c'est que tu essayes de comparer la masse que tu trouves à celle de la masse de planck. tu cherches manifestement un rapport , il y a la constante de structure fine qui apparait. bon ben je me dis que peut-être...
si les calculs sont bons, c'est plus petit que la masse de planck


une derniere remarque, tu pourrais toujours augmenter le nombre de tes variables pour trouver tes PI termes (au lieu d'utiliser quatres variables seulement) , normalement le fait d'augmenter les variables ne doit pas empêcher la résolution du problème et de trouver les PI termes.

[invite5a89bfe6]

resalut, je repost,

Mais qu'est-ce que je dis moi là? Je ne suis pas assez révéillé ce matin , vraiment désolé...

en effet tu trouves une masse assez comparable à la masse de planck, ce qui est énorme pour la masse d'un corpuscule! donc ça serait le secteur de masse ou ces deux forces pourraient être unifiées?

[stefjm]

Bonsoir,

là ce que je peux te suggérer c'est qu'au lieu d'utiliser le epsilon zero (de l'electromag) d'utilisier plutot l'epsilon zero du gravitoelectromagnétisme et de l'ajouter à ta quadruplette. Voir notamment les travaux de Mashoon (sur arXiv, ou taper gravitoelectromagnétisme sur wiki).

Qu'appelles-tu epsilon zero du gravitoelectromagnétisme? Ce n'est pas G, la constante de gravitation? (à 4 pi près éventuellement)

ca pourrait débloquer tes calculs peut-être, je dis ça comme ça mais j'avoue ne pas avoir refait tes calculs, je te fais confiance ainsi qu'a mmy.

Ca va dépendre de la dimension de cette constante.
Pour la justesse des calculs, hormis les coquilles de transcription latex, cela devrait aller.

une derniere remarque, tu pourrais toujours augmenter le nombre de tes variables pour trouver tes PI termes (au lieu d'utiliser quatres variables seulement) , normalement le fait d'augmenter les variables ne doit pas empêcher la résolution du problème et de trouver les PI termes.

4 équations 4 inconnue c'est quand même plus pratique.
Si j'ai trop de variable pour pas assez d'équations, je vais avoir des degré de liberté dont je ne saurais que faire...

resalut, je repost,
Mais qu'est-ce que je dis moi là? Je ne suis pas assez révéillé ce matin , vraiment désolé...

J'avais le doute à cause du Mp qu'on pourrais lire comme masse photon. (Mais j'avais bien défini ce dont je parlais: masse de Planck)

en effet tu trouves une masse assez comparable à la masse de planck, ce qui est énorme pour la masse d'un corpuscule! donc ça serait le secteur de masse ou ces deux forces pourraient être unifiées?

Je ne sais pas!
m_p/137, ça fait en terme dénergie : 9 10²⁵ eV !!

[stefjm]

Bonsoir,
J'ai creusé un peu et cela m'inquiete...

En faisant le rapport entre

(3)

et

(2)

on obient le carré de l'inverse de la constante de structure fine :

(9)

En faisant l'analyse dimentionnelle partant de , et , on trouve la longueur réduite de Compton

(10)

Assez curieusement, ces trois grandeurs sont étagées grâce à la constante de structure fine :
(11)

On peut aussi préférer écrire les relations adimensionnées (9) et (11) en relation dimensionnée plus "physique":

(12)

Je trouve très curieux ces relations obtenues simplement par analyse dimensionnelle, entre
- le carré de la longueur qui caractérise une masse quanto-relativiste (triplette )
- la longueur qui caractérise une charge relativiste (quadruplette )
- la longueur qui caractérise une charge quantique (quadruplette )

Y aurait-il une surface de Compton?
Y a-t-il des explications physiques à tout ceci? (Je n'ai fait que des AD, j'ai un peu de mal avec l'interprêtation physique...)
Tant que je n'introduis pas G dans l'analyse, il semble que je retrouve du connu? (En tout cas, du connu pas trop appris à l'école...)

Au plaisir de vous lire.
Bien cordialement.

[invité576543]

D'après toi, on ne devrait pas parler de masse sans introduire G? Ce n'est clairement pas l'usage!

Ce n'est pas une question d'usage. C'est juste une autre manière, malhabile, de dire que G n'est qu'une constante d'échelle, une constante qui est totalement liée à une unité, ici la masse.

La valeur de G n'a pas de signification physique particulière (contrairement à c ou h par exemple), autrement qu'avec une masse et plus précisément comme facteur multiplicatif d'une masse. Les valeurs numériques de masse n'ont pas non plus de signification particulière; on peut les voir comme étant dépendantes de la valeur numérique de G. Ce qui a un sens physique c'est Gm, et on peut réécrire toutes les formules de la physique avec ces quantités.

C'est la même chose pour k, qui n'a de signification physique que multiplié par une température.

Il me semble important de distinguer les rôles des "constantes", entre celles qui correspondent à des étalons physiques (c, h, e, par exemple) et celles qui ne sont que des facteurs d'échelle de valeur sans signification (G, k, A, par exemple).

Cordialement,

[stefjm]

J'entrevois ce que tu veux dire.
Je n'ai pas le temps de développer maintenant.

De ce que je comprend de ce que tu proposes, le principe fondamental de la dynamique s'écrit dimensionnellement :



Pour la relation quantique, cela donne :



Belle performance car cela fait apparaître les lois de Kepler
: 3ième loi de Kepler
: loi des aires

J'ai bon?

Cordialement.

[stefjm]

Ce n'est pas une question d'usage. C'est juste une autre manière, malhabile, de dire que G n'est qu'une constante d'échelle, une constante qui est totalement liée à une unité, ici la masse.

On peut dire exactement la même chose de la charge e et de la constante .

La valeur de G n'a pas de signification physique particulière (contrairement à c ou h par exemple), autrement qu'avec une masse et plus précisément comme facteur multiplicatif d'une masse. Les valeurs numériques de masse n'ont pas non plus de signification particulière; on peut les voir comme étant dépendantes de la valeur numérique de G. Ce qui a un sens physique c'est Gm, et on peut réécrire toutes les formules de la physique avec ces quantités.

C'est ce que j'ai commencé à faire sur ton conseil et c'est effectivement assez instructif.

C'est la même chose pour k, qui n'a de signification physique que multiplié par une température.

Ca aussi, j'avais regardé comment éliminer T en partant des dimensions des constantes de Boltzmann et Stefan. On tombe sur du

Il me semble important de distinguer les rôles des "constantes", entre celles qui correspondent à des étalons physiques (c, h, e, par exemple) et celles qui ne sont que des facteurs d'échelle de valeur sans signification (G, k, A, par exemple).

Pour e, je ne vois pas bien l'intérêt de s'embringuer avec .
Pour le nombre d'Avogadro, il faudrait à mon avis le choisir de façon plus physique, moins arbitraire, du genre Mplanck/Melectron=2 10²².

Cordialement.

[invité576543]

On peut dire exactement la même chose de la charge e et de la constante .

Pas "exactement". C'est qui vire la dimension A.

Mais l'existence expérimentale d'un quantum de charge rend le cas de la charge différent de celui de la masse.

De ce que je comprend de ce que tu proposes, le principe fondamental de la dynamique s'écrit dimensionnellement :

Pour moi F=ma définit mutuellement la force et la masse. Si j'écris la masse Gm, elle a pour dimension , et alors par définition, la force GF a pour dimension .

Belle performance car cela fait apparaître les lois de Kepler
: 3ième loi de Kepler

Et cela montre au passage que la mesure de la masse du Soleil par la 3ème loi de Kepler est d'une certaine manière la mesure directe de sa masse! On pourrait définir la masse comme la constante ci-dessus, c'est-à-dire .

Cordialement,

[stefjm]

Bonjour,
Je me permets de relancer ce fil en particulier le post #11 resté sans réponse :
http://forums.futura-sciences.com/ph...ml#post2367570

Cordialement.

[stefjm]

3) Hypothèse gravitationnelle
[...]
D'un point de vue formel, la quadruplette n'est donc pas indépendante. C'est donc naturel de chercher la relation entre ces grandeurs :
On trouve comme relation
sans dimension (6)

On obtient donc comme masse typique
(7)
que l'on s'empresse de comparer à la masse de Planck , masse universelle obtenue à partir de, et , et dont l'ordre de grandeur correspond à M :
(8)

On retrouve la masse de Johnstone-Stoney.
Merci à Arapède qui m'a rapellé l'existance de cette masse dans ce fil .

Cordialement.

[stefjm]

Bonsoir,

Je propose ici deux développements et interprétations de la relation (12)

(12)

1) Interprétation géométrique :
a) Naïvement comme l'aire d'un rectangle caractéristique du produit d'une dimension nucléaire et d'une dimension atomique d'un coté et du carré de la longueur limite de la MQ.

b) En revenant à la longueur d'onde de Compton :

(13)

On obtient donc la surface d'un tore de petit rayon un rayon nucléaire et de grand rayon un rayon atomique.

2) Interprétation dimensionnelle :
J'écris sous la relation la triplette dimensionnelle qui a permis de les trouver.

(12)


Je note qu'il s'agit de la description d'un même objet de masse car cette masse intervient dans les trois AD.
Je note que la relation élimine la charge e qui apparait deux fois dans le second membre, une fois de façon seulement relativiste au numérateur et une fois de façon seulement quantique au dénominateur.
Je note qu'une fois cette charge éliminée, on obtient la relation de Compton, quanto-relativiste, pour un électron. (et il n'est plus question de charge, seulement de masse)

Ces relations trouvent-elles une explication dans la physique actuelle?

Cordialement.

[stefjm]

(12)

De la même façon qu'on trouve ces relations à propos de l'électron, un objet massique, dont on élimine la charge, en considérant soit l'aspect relativiste, soit l'aspect quantique, on peut faire de même avec un autre objet un peu plus exotique.

Je considère l'espace-temps, caractérisé par la célérité limite c, et j'élimine sa masse des relations gravitationnelle () et quantique ().

Je considère pour M_univers la masse correspondant à un univers critique.

La triplette donne un rayon d'univers , soit la moitié du rayon de Hubble. (quand l'AD donnera les 2, ce sera le bonheur...)

La triplette donne .

La triplette donne la longueur de Planck au carré :

On obtient la même relation que pour l'électron avec l'espace-temps en remplaçant
masse (électron) par vitesse (espace-temps)
charge (électron) par masse (espace-temps)
vitesse (électron) par gravitation (espace-temps)
et en conservant les aspects quantiques. ()

(14)


Je note qu'il s'agit de la description d'un même objet espace-temps caractérisé par une célérité c, car cette vitesse intervient dans les trois AD.
Je note que la relation élimine la masse qui apparait deux fois dans le second membre, une fois de façon seulement gravitationnelle au numérateur et une fois de façon seulement quantique au dénominateur.
Je note qu'une fois cette masse éliminée, on obtient la surface de Planck, quanto-gravito-relativiste, pour un espace-temps (et il n'est plus question de masse, seulement de vitesse)

Cette relation vous parait-elle pertinente?

Ces relations trouvent-elles une explication dans la physique actuelle?

Pour inforation, voici l'application numérique qui fait un peu peur!

(14)


Personnelement, je trouve le parallèle entre (12) et (13) assez saisissant. (un rien m'impressionne... )

(12)

(14)

[curieuxdenature]

Bonjour stefjm

ce sont des relations qui ne font pas beaucoup de sens puisqu'à la base ces rayons ont déjà des rapports entre eux qui sont connus.
Le rayon classique de l'électron est tout bonnement un multiple du rayon de Bohr avec la constante de structure fine...

[stefjm]

ce sont des relations qui ne font pas beaucoup de sens puisqu'à la base ces rayons ont déjà des rapports entre eux qui sont connus.

Tu veux dire que cela ne prédit pas?
Oui. Bien sûr.
Mais au début du 20ieme siècles, tout n'était pas encore mesuré et une simple analyse dimensionnelle aurait permis de prédire ce qui n'était pas encore connu.
La vérifiaction expérimentale aurait suivi.

Le rayon classique de l'électron est tout bonnement un multiple du rayon de Bohr avec la constante de structure fine...

C'est bizarre l'utilisation du terme "multiple" par un nombre non entier!?
Le rayon de Bohr, c'est 137.036^2 fois le rayon classique de l'électron.
Quelle sont les explications physiques de cet état de fait?

[invitea774bcd7]

C'est bizarre l'utilisation du terme "multiple" par un nombre non entier!?

On a pas le droit de multiplier par un réel ?!
On en apprend tous les jours

[stefjm]

On a pas le droit de multiplier par un réel ?!

Nan!
Sinon, à ce compte là, est pair car multiple de 2 !

[Deedee81]

Nan!
Sinon, à ce compte là, est pair car multiple de 2 !

Faut pas tout extrapoler

[curieuxdenature]

C'est bizarre l'utilisation du terme "multiple" par un nombre non entier!?
Le rayon de Bohr, c'est 137.036^2 fois le rayon classique de l'électron.
Quelle sont les explications physiques de cet état de fait?

Bonsoir

tout comme l'énergie est un multiple de la masse par le carré de la vitesse c ou que le Hartree est un multiple de l'énergie de masse de l'électron par la constante de structure fine (au carré).
Cette dernière unité a un sens puisqu'elle est en rapport avec l'énergie de liaison de l'électron dans l'atome d'hydrogène.(1H = 27.211 eV soit 2 fois 13.6 eV)

[invite85213572373333]

bonjour,

"Et là, c'est la totale kata !
Le système de 4 équations à 4 inconnues est trop contraint et n'admet pas de solution…
Bigre…
Gravité et électromagnétisme ne font pas bon ménage avec un modèle minimum à base d'analyse dimensionnelle!".

Reprise avec la citation ci-dessus

Je ne pense pas la même chose sur ce que dit ce topic intéressant.
4 inconnues permettent en fait un grand tour d'horizon quantique et relativiste comme on le voit dans ce tableau où je fais apparaître une symétrie discrète

https://sites.google.com/site/entrelacsbrunnien/

qui répond, il me semble, en partie à cette discussion.

[invite85213572373333]

Reprise avec la citation ci-dessus

Je ne pense pas la même chose sur ce que dit ce topic intéressant.
4 inconnues permettent en fait un grand tour d'horizon quantique et relativiste comme on le voit dans ce tableau où je fais apparaître une symétrie discrète

https://sites.google.com/site/entrelacsbrunnien/

qui répond, il me semble, en partie à cette discussion.

Mes calculs à partir de ces symétries mènent à une formule concernant le rayon de Bohr = rayon de l'électron/(constante de structure fine)^2
beaucoup plus simple que celle habituellement proposée.

[stefjm]

Mes calculs à partir de ces symétries mènent à une formule concernant le rayon de Bohr = rayon de l'électron/(constante de structure fine)^2
beaucoup plus simple que celle habituellement proposée.

Bonsoir,
C'est normal puisque le système SI introduit des constantes inutiles. (ep0 ou mu0)
Par AD, on trouve la longueur d'onde Compton :
La division par la constante de structure fine donne le rayon de Bohr et la multiplication par cette même constante donne le rayon classique de l'électron.

Je n'ai pas bien compris le lien que vous avez mis en ligne.

Cordialement.

[invite85213572373333]

Le lien mène à un diagramme qui fait apparaître la symétrie discrète intrinsèque à notre cosmos.
Il y a en bas de page un lien "essai" qui en donne une interprétation qui vaut ce qu'elle vaut, c'est à dire en première approximation.
on trouve les résultats au vertex en faisant le multiplication comme indiqué : f(i) = f*i

[stefjm]

De ce que j'ai compris, c'est de l'analyse dimensionnelle à partir des lois physiques habituelles.
On y retrouve des couple grandeur , 1/grandeur, comme je l'avais déjà mis en évidence.