Relatitivité : structure mathématiques de l'espace

[invitec3f4db3a]

Bonjour a tous .
Bon je potasse légérement la relativité . Il me vient alors une question , surement compliqué mais bon , peut etre que je pourrais avancé .
La relativité repose sur un espace a trois dimension souple . C'est a dire qui peut etre courbé sous certaine condition . La déformation de l'espace est alors representé par un tenseur .
je sais qu'un tenseur est un objet mathématique de type véctoriel ( d'aprés mon prof de physique , mais je lui fais que moyennement confiance ) . J'aimerais alors savoir comment l'espace temps est décrit mathématiquement . j'imagine que pour utilisé un tenseur sur un espace , il faut que l'espace est une nature mathématique similaire ou quelque chose qui y ressemble ?
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[Gwyddon]

salut,

d'abord avant toute choses en relativité l'espace a 4 dimensions, pas trois (c'est l'espace-temps).

Ensuite, "souple" n'est pas très mathématiques
En fait, il s'agit de dire que l'on travaille en métrique non euclidienne : "avec les mains", cela veut dire que la manière de mesurer dépend du point où tu es dans cet espace. Formellement, cela veut dire que la métrique est dépendante du point courant.

Un tenseur d'ordre p sur un espace vectoriel est une forme p-linéaire ; le tenseur essentiel de la relativité générale est le tenseur métrique (d'ordre 2) , qui justement te permet de donner une métrique à l'espace-temps.
Ainsi, dans un espace euclidien classique chez newton, ce tenseur est tout simplement celui représenté dans une base dite alors orthonormée par la matrice 3*3


En relativité restreinte, on parle de métrique pseudo-euclidienne et le tenseur correspondant sera représenté par


Selon les coordonnées (ct,x,y,z).

En relativité, les coefficients dépendent de l'espace, et l'on travaille donc en géométrie riemannienne (en espace courbe). Les trajectoires des particules sont alors des géodésiques

voilà pour ces quelques précision, maintenant quelqu'un de plus compétent que moi pourra sûrement te préciser les choses

@+
julien

[BioBen]

salut,
En relativité restreinte, on parle de métrique pseudo-euclidienne et le tenseur correspondant sera représenté par

Selon les coordonnées (ct,x,y,z).

Salut,
Pourquoi l'écris-tu avec +ct et - pour les autres ?
C'est plus pratique ou c'est juste "parce que tu l'as appris de cette manière" ? (Je sais que ca revient strictement au même mais bon, pourquoi mettre 3 - alors qu'on peut en mettre qu'un).
Merci
Benjamin

[invitec3f4db3a]

Pour l'espace temps , c'etait juste un raccourcit .
Dans l'espace euclidien , le tenseul est donc la matrice identitité ?
Si je comprends bien , le fait que l'expression du tenseur en restreinte soit fixe signifie que la métrique pour un observateur donné est agalement fixe . Alors que en RG , la métrique pour un observateur donné peut etre modifié selon par exemple la gravitation , c'est cela ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6f044255]

Si je comprends bien , le fait que l'expression du tenseur en restreinte soit fixe signifie que la métrique pour un observateur donné est agalement fixe . Alors que en RG , la métrique pour un observateur donné peut etre modifié selon par exemple la gravitation , c'est cela ?

Exact, en relativite restreinte (je veux dire avec la metrique (+---)), on suppose une absence de matiere et donc de gravitation (espace temps plat). La RG ajoute la matiere et donc une courbure de l'espace-temps et une dependance en la position.

Les metriques minkowskiennes (-+++) et (+---) sont equivalentes.

[Gwyddon]

salut ben, comment ça va ?

je l'ai appris comme cela, et il semble que c'est la notion la plus courante.

Mais pour s'affranchir de ce choix, d'aucun prennent comme convention (i ct,x,y,z) comme ça plus aucun soucis

j'en profite (n'ayant pas eu le temps de modifier mon message) pour réécrire les endroits à <br> :



pour la première



pour la seconde

enfin dans mon dernier paragraphe, relativité signifie "relativité générale"

@+

[Gwyddon]

Exact, en Relativite restreinte, on suppose une absence de matiere et donc de gravitation (espace temps plat)

pour être plus exact, on néglige l'effet gravitationnel de la matière, on ne suppose pas qu'il n'y a plus de matière

[Bawah]

Bonsoir tout le monde,

En Mécanique Newtonienne, l'espace est assimilé à l'espace vectoriel R3
muni du produit scalaire usuel (cad que l'on définit les distances à partir du produit scalaire usuel)

En Relativité restreinte, l'espace-temps est assimilé à l'espace vectoriel R4 munit de la metrique de Lorentz (ct)^2 - x^2 - y^2 - z^2 . Les "distances" entre deux points peuvent etre négatives, mais cet espace(nommé espace de Minkowski) n'est pas courbé (les géodesiques sont encore des droites)

En relativité Generale, L'espace-temps à une structure de "Variété (pseudo)-riemannienne" ce qui signifie:

1) C'est une variété, c'est à dire un objet qui ressemble localement à un espace vectoriel, comme une sphère de dimension 2.

2)Elle est munie d'un teuseur de metrique, qui generalise celui de la reponse de 09jul85:les coefficients sont des fonctions de l'espace.

La donnée de ce tenseur de métrique permet de definir le tenseur de
courbure qui donne les equations des géodesiques

Voila

[BioBen]

Elle est munie d'un teuseur de metrique, qui generalise celui de la reponse de 09jul85:les coefficients sont des fonctions de l'espace.

Il n'y a qu'un seul tenseur de métrique en RG ? Pourtant j'ai parfois vu des différenciations style metrique de schwarzschild, de Kerr, de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker,...

pour être plus exact, on néglige l'effet gravitationnel de la matière, on ne suppose pas qu'il n'y a plus de matière

Salut
[moi ca va pas mal et toi coment vas tu ? l'accélérateur fonctionne toujours ?]
Mais la relativité restreinte prend en compte la gravitation quand même non ? (c'est une généralisation de la mécanique de newton). C'est juste que son interprétation est plus newtonienne que en terme de courbure d'esapce temps.

[invite6f044255]

Il n'y a qu'un seul tenseur de métrique en RG ? Pourtant j'ai parfois vu des différenciations style metrique de schwarzschild, de Kerr, de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker,...

C'est un peu ambigu en fait. On sait decrire localement l'espace-temps courbe avec par exemple les metriques de Kerr ou Schwarzschild. Mais, on pourrait imaginer un super tenseur metrique qui decrirait tout l'univers, avec tous les coefficients super compliques dependant du temps et de l'espace.

Mais la relativité restreinte prend en compte la gravitation quand même non ? (c'est une généralisation de la mécanique de newton). C'est juste que son interprétation est plus newtonienne que en terme de courbure d'esapce temps.

Oui, je suis d'accord avec toi sur ec point, je me suis mal exprime egalement.
En l'absence de matiere, on a une metrique minkowskienne (et on se retrouve ainsi dans le cas de la relativite restreinte, c'est la qu'est nee ma confusion semantique).
Mais, comme tu le fais remarquer, la relativite restreinte prend en compte gravitation, mais de facon newtonnienne. Contrairement a la RG qui l'a fait devenir geometrie.

[Floris]

Bonsoir à tous.

Si je comprends bien , le fait que l'expression du tenseur en restreinte soit fixe signifie que la métrique pour un observateur donné est agalement fixe . Alors que en RG , la métrique pour un observateur donné peut etre modifié selon par exemple la gravitation , c'est cela ?

Exact, en relativite restreinte (je veux dire avec la metrique (+---)), on suppose une absence de matiere et donc de gravitation (espace temps plat). La RG ajoute la matiere et donc une courbure de l'espace-temps et une dependance en la position.

Les metriques minkowskiennes (-+++) et (+---) sont equivalentes.

Pourtant en RR je sait bien que la métrique reste plate, Mains pourtant cela me fait poser une interrogation, considérons deux référentiels en mouvement l'un par rapport à l'autre, on sait que ces
Deux objets auront en communs un espace temps, ou un espace temps propres pour chaqu-un mais comme le phénomène est purement symétrique, ils auront ainsi cette chose en commun. Maintenant plaçons un autre référentiel dont sa vitesse est autre que la vitesse relative entre les deux autres, là encore, les trois objets auront un espace temps en commun selon les combinaisons que je forme. Si maintenant, je rajoute un observateur de contrôle qui observe tous ces objets, pour lui (pas seulement pour lui mais bon sa ces pas grave) il existera plusieurs états de l'espace temps. Ainsi, ne peut t'on pas décrire touts ces espaces-temps, en un seul objet. Et ceci n'est t'il pas le principe de la métrique Minkowskienne?? Je ne suis pas sur de moi, mais je crois que mon idée ce rapproche de celle de Minkowski non?

Bien cordialement a tous.

[invitec3f4db3a]

Pour moi ca a l'air bon , je vais repartir de bon pied avec ces indic merci

[Gwyddon]

Salut
[moi ca va pas mal et toi coment vas tu ? l'accélérateur fonctionne toujours ?]

oui il est en train d'être pompé (en ce moment même d'ailleurs, heureusement que c'est en sous-sol parce que le bruit est assez fort )

Mais la relativité restreinte prend en compte la gravitation quand même non ? (c'est une généralisation de la mécanique de newton). C'est juste que son interprétation est plus newtonienne que en terme de courbure d'esapce temps.

en fait non, car les équations du potentiel gravitationel ne sont pas invaraintes par changement de référentiel, et que l'utilisation de la loi newtonienne n'est pas satisfaisante car elle utilise implicitement la notion d'interaction simultanéee qui n'a plus lieu d'être en RR

[Sephi]

Que je sache, la métrique minkowskienne ne fait qu'exprimer un invariant issu des transformations de Lorentz. D'abord les transfo de Lorentz, ensuite un invariant pour ces transfos, ensuite une notion de distance définie à partir de cet invariant (distance minkowskienne) et à partir de là on a l'espace-temps de Minkowski.

Par contre, le coup de rassembler tous les espaces-temps en un seul ou quoi, ça me paraît un peu ... éloigné

[Gwyddon]

on peut aussi faire le contraire et construire les transfo de lorentz à partir de l'intervalle

enfin dans tous les cas on a bien un seul espace-temps avec une métrique uniforme

[Sephi]

Et en effet, il me semble que la gravitation n'est pas prise en compte en relativité restreinte, et c'est d'ailleurs bien pour cela que la relativité générale s'est construite par après pour pallier à ce problème ...

[BioBen]

il me semble que la gravitation n'est pas prise en compte en relativité restreinte

car elle utilise implicitement la notion d'interaction simultanéee qui n'a plus lieu d'être en RR

Comme la relativité restreinte prend en compte les accélérations, elle peut prendr en compte la gravitation (type newton) non ? cf message de ixi plus haut.

on peut aussi faire le contraire et construire les transfo de lorentz à partir de l'intervalle

Ouep je pense aussi, l'intervalle peut être défini simplement "géomètriquement" (par exemple en considérant un front d'onde electromégnétique) puis on peut partir de là pour retrouver les transformations de Lorentz.

PS : Ixi dans le hors sujet que tu as fait 2 messages plus tard, tu pourrais parler de Lyon

[Gwyddon]

Un petit coup d'oeil là : http://www.phys.ens.fr/cours/notes-d...magnetisme.htm

un bon cours d'électromagnétisme dans le cadre relativiste (avec le formalisme de la relativité justifié)

bon
@+ tard, bonne nuit à tous

[invite6f044255]

Enorme hors-sujet, hors scientifique pour rappeler cette faute de francais qu'on voit et entend partout:

pour pallier à ce problème ...

On dit "pallier ce probleme".

http://www.ssjbmauricie.qc.ca/langue/coeur/pallier.php
On entend les journalistes le dire parfois meme.
Voila, je me tais maintenant.

[Sephi]

Je le retiens !

[Floris]

Ouep je pense aussi, l'intervalle peut être défini simplement "géomètriquement" (par exemple en considérant un front d'onde electromégnétique) puis on peut partir de là pour retrouver les transformations de Lorentz.

Là je ne saisis pas très bien, que veux tu signifier par "intervalle"?
@+ flo

[Sephi]

C'est la distance minkowskienne entre 2 événements. L'intervalle minkowskien ...

[Floris]

Ah oui merci Sephi, maintenant je comprend mieux. Par contre, ques qui détermine le signe de la metirque? Ou sa signature? Merci encore
@+
flo

[invite6f044255]

Par contre, ques qui détermine le signe de la metirque? Ou sa signature?

On vit dans un espace de signature (+---), une dimension temporelle et 3 spatiales. Apres, demander pourquoi (car c'est, je crois, le sens de ta question), c'est se demander qu'est-ce qui fait que l'univers a 3+1 dimensions, et la on n'a pas trop de reponses (pour le moment du moins).
Ou alors, je suis passe a cote de ta question.