[Mécanique des solides] Vibration : Résolution de 2 équations diff. couplées

[cedric]

Bonjour,

Je suis actuellement en train de réviser ces bonnes vieilles vibrations à plusieurs dégrés de liberté...
J'ai un système mécanique à 3 degrés de liberté ( 3 paramètres de mouvement) non forcé :

--> Equations de mouvement : OK ( au nb de 3 bien sur )
--> Détermination des constantes à l'équilibre : OK ( c'est pas trop dur...)
--> Linéarisation des équations de mouvement : OK
--> Equations des petits mouvements autour de la position d'équilibre : OK
--> Détermination des pulsations propres par la méthode matricielle : OK

On remarque que 2 des paramètres sont couplés donc:

--> Détermination de l'oscillateur harmonique associé au paramètre non couplé : OK ( c'est pas dur encore une fois )

...Et LA "le" probleme :
Comment faire lorsque l'on a 1 systeme de 2 équations différentielles couplées et que l'on veut trouver les équations associer à chacun des mouvements (fichier joint)

Je vous remercie de vos éventuels commentaires ou aide .

Cédric

[deep_turtle]

Il y a au moins deux manières de voir les choses : tu peux écrire tes deux équations couplées comme une seule équation matricielle agissant sur des vecteurs (alpha, Y). La solution est faite d'exponentielle de matrices.

Sinon, tu cherches les variables (u,v), combinaisons linéaires de alpha et Y, qui découplent les équations. Ce sont ces variables qui définissent les modes propres de ton système.

[cedric]

Bonjour Deep_turtle,

tu peux écrire tes deux équations couplées comme une seule équation matricielle agissant sur des vecteurs (alpha, Y). La solution est faite d'exponentielle de matrices..

C'est a dire que je pose (alpha) = cste1 x exp( "?" t )
et Y = cste2 x exp ("?"t)...
qu'est ce que le "?", est ce que les 2 constantes cste1 et cste2 sont bien différentes?...mes questions sont débiles mais je suis vraiment largué..

Sinon, tu cherches les variables (u,v), combinaisons linéaires de alpha et Y, qui découplent les équations. Ce sont ces variables qui définissent les modes propres de ton système.

Et la tu veux dire que j'essaie d'obtenir une équation différentielle à un seul parametre par un pivot de Gauss...Et pour ce cas précis je n'y arrive pas du tout , j'ai tjs un Y" qui est la...

Merci de ton aide

[deep_turtle]

Ton système s'écrit

Il faut diagonaliser la matrice qui intervient pour obtenir une équation du style


Après c'est gagné...

[cedric]

Merci beaucoup Deep-Turtle, je vais pouvoir enfin le finir ce satané exercice...
C'est vraiment super ta réponse !! ...
Mais bon comme quoi en utilisant les transformées de Laplace on ne se pose pas ce genre de question !! lol

[cedric]

..hmm..toujours moi..j'ai trouvé les valeurs propres de la matrice diagonale..mais ne dois-je pas chercher les vecteurs propres pour effectuer le changement de base ?
Merci encore....

[yahou]

Effectivement pour exprimer le mouvement dans la base de départ tu dois aussi disposer des vecteurs propres.

[cedric]

Merci Yahou, j'en vois le bout..J'espere que ca sera rentrer une bonne fois pour toute...
Et donc j'obtiens une expression genre :

alpha(t) = V1 exp(s1(t)) + V2 exp(s2(t))

avec V1 : vecteur propre associé à la valeur propre s1
et V2 : vecteur propre associé à la valeur propre s2

et ensuite je peux traduire les exp en une somme de cos et sin ... YOUPI ?
..Le cnam c'est la galere je vous jure...

[deep_turtle]

Yes c'est ça !! Et la stabilité du système t'es donnée par les signes des valeurs propres...

Bon, une fois que tu as fait ça de la façon "dure", voilà comment on fait en pratique :

on sait qu'on va obtenir des solutions de la forme que tu mentionnes, alors on commence par écrire ces solutions, puis on les reporte dans les équations de départ -> ça te donne des équations linéaires sur V1 et V2, qui n'ont de solution différente de 0 que si un certain déterminant, faisant intervenir s1 et s2, est nul... Du coup tu n'as que des équations simples à résoudre...

Comment ça j'aurais pu commencer par là ?!?

[cedric]

Merci Deep_Turtle pour ce dernier coup de pouce...
Est ce ce que l'on pourrait appeler une analyse modale ?