[Méca Quant] Déterminer d'un état

[Sephi]

Bonjour,

J'ai une question concernant une partie de la base théorique mathématique de la mécanique quantique. Cela concerne un système préparé par une mesure de l'observable de position. Je cherche à exprimer l'état du système après une telle mesure. Mon interprétation n'est peut-être pas encore au point, donc corrigez-moi au besoin.

Supposons que l'on prépare un système en faisant une mesure de l'observable Q de position, et qu'on a obtenu une valeur . L'état du système après cette mesure n'est cependant pas totalement pur, car réeffectuer une mesure de Q ne redonne pas précisément , mais une valeur comprise dans un intervalle autour de (car disposer d'une précision infinie est impossible dans les instruments). C'est pour ça qu'on parle d'état presque pur.

Dans mon cours, l'opérateur densité décrivant cet état presque pur est donné par :



où, je cite, "la fonction prend ses valeurs acceptables dans l'intervalle et décrit la résolution des instruments de mesure".

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Alors voici mon problème.

D'une part, je ne comprends pas trop d'où tombe cette fameuse fonction ... je vois une certaine analogie avec la forme de l'opérateur densité obtenu à partir de la mesure d'une observable à valeurs discrètes, mais ça ne m'éclaire pas vraiment. Par conséquent, je souhaiterais des précisions sur la forme de cette fonction, la manière dont elle dépend des instruments, etc.

D'autre part, il est dit qu'il est impossible de préparer un système dans un état parfaitement pur par une mesure de Q, parce que les instruments n'ont pas une précision infinie. C'est ce qui justifie l'existence du . Cependant, par la suite, cet intervalle d'imprécision est réutilisé pour justifier (dans le cas d'une préparation faite par une mesure de l'impulsion P qui donne un ) le fait que le système se comporte alors comme un paquet d'ondes, à cause de l'étalement du nombre d'onde causé par la présence de ce (le nombre d'onde s'étale dans un intervalle ).

Alors ce que je ne comprends pas, c'est que dit comme ça, le système n'apparaît sous forme de paquet d'ondes que parce que les instruments sont imprécis ? Et s'ils étaient parfaitement précis, on aurait une onde précise, avec un unique nombre d'onde ?
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[Meumeul]

SAlut,

quand tu fais une mesure de l'impulsion, tu projettes ton paquet d'onde sur un etat propre de la mesure. Or si tu fais une mesure EXACTE de l'impulsion par exemple, les etats propres sont des pics de Dirac (sur ) . Or en pratique, les 'sous-espaces propres de l'appareil de mesure' sont de simension plus grande que 1 : il peut subsister une superposition d'etat. En effet, si tu mesures p à pres, cela sous entend que ta reduction du paquet d'onde se fait sur une superposition de diracs entre : il te reste un paquet d'onde.

J'espere avoir ete a peu pres clair, et ne pas avoir dit trop de betises...(il se fait tard)

[Chip]

Je répondrais comme Meumeul, avec une nuance. Dans l'expression que tu donnes pour l'opérateur densité, la fonction f est une "fonction d'ouverture" en quelque sorte : elle peut décrire par exemple une fente matérielle (fonction créneau). Mais l'expression que tu donnes n'est pas le résultat de la "projection" d'un état quelconque avec ta fonction d'ouverture : en effet elle suppose que la fonction d'onde incidente est de type "onde plane", ce qui n'est pas le cas général. C'est j'imagine une hypothèse simplificatrice.

[Lévesque]

Alors ce que je ne comprends pas, c'est que dit comme ça, le système n'apparaît sous forme de paquet d'ondes que parce que les instruments sont imprécis ? Et s'ils étaient parfaitement précis, on aurait une onde précise, avec un unique nombre d'onde ?

Le problème, c'est que tu ne peux pas imaginer (du moins, personne ne l'a encore fait) une expérience dans laquelle tu pourrais déterminer totalement les 2 quantités que tu évoques. On peut en conclure que (i) les propriétés que tu mesures existent réellement de façon déterminée, mais que tu ne peux y accéder faute de moyen techniques ou (ii) les propriétés que tu mesure existent réellement de façon indéterminée, et que même avec les meilleurs moyen technique, tu ne pourrais pas les mesurer totalement, parce que les propriétés "totales" n'existent pas dans ces situations (la nature ne les aurait pas créés totales).

Tu conserves la conclusion qui te satisfait le plus. Les prédictions expérimentales sont les mêmes.

Bonne continuation,

Simon

[A voir en vidéo sur Futura]

[Sephi]

Euh je ne pense pas que cela soit liée à la question éternelle de l'indéterminisme apparent ou intrinsèque de la physique quantique, d'ailleurs je ne souhaite pas parler de cela. L'incertitude d'Heisenberg telle qu'elle a été présentée dans mes notes ne me paraît pas dépendre de la précision des instruments de mesure.

Je voulais juste savoir si l'image sous forme de paquet d'ondes est liée à l'imprécision ou pas, mais ce qui est sûr, c'est que cela reste (au moins) une onde, avec la dualité onde-corpuscule correspondante et, ainsi, l'incertitude qui fait tant rêver.

[Lévesque]

Je te conseillerais de lire le premier chapitre des Lectures on Physics Vol III de Feynman. Ça se lit comme un roman, et je pense que tu pourras répondre par toi même à ta question. En attendant, voici une citation de Feynman

"Le principe d'incertitude "protège" la mécanique quantique. Heisenberg a reconnu que s'il était possible de mesurer l'impulsion et la position simultanément avec plus de précision, alors la mécanique quantique s'effondrerait. Ainsi il a postulé que cela était impossible".

Donc, pour répondre à ta question, non, cela n'a rien à voir avec la capacité d'un appareil à déterminer une position. À la limite, selon la mécanique quantique, tu pourrais mesurer une position avec une précision infinie. La conséquence est que ton paquet d'onde est alors infiniment localisé et il se manifeste comme s'il était une particule ponctuelle. Alors, dans ce cas, ton objet parfaitement localisé ne possède pas la propriété "impulsion" (pas un unique nombre d'onde, une infinité).

Si tu mesurais avec une précision infinie l'impulsion, alors oui, tu aurais un unique nombre d'onde, mais ton objet ne possèderait pas la propiété position (toute les positions sont aussi valables).

Mais en pratique, tu t'imagines surement qu'en général, on ne peut pas mesurer des quantitées avec une précision infinie. En principe, c'est faisable.

Peut-être que je comprends mal la question. Réoriente moi si je me trompe!

A+

Simon

[Sephi]

Si tu mesurais avec une précision infinie l'impulsion, alors oui, tu aurais un unique nombre d'onde, ...

Ceci confirme ce que je pensais sans certitude, merci