Thermodyn.: détente isotherme gaz réel

[invite1c76fb93]

Bonjour,

Voilà, mes souvenirs de thermodynamique (PV=nRT, gaz parfait...) datent de + de 20 ans et je cherche donc un esprit vif et rompu à ce genre d'exercice, pouvant me calculer l'énergie maximale théorique récupérable par détente isotherme de 230 litres d'air de 330 bars à 1 bars.

En faisant l'hypothèse d'un gaz parfait, je trouve qu'une détente isotherme fournit le travail suivant :

W = 33 MPa x 0.23 m^3 x ln 330 = 44 MJ

Mais à 330 bar, l'air ne se comporte plus vraiment comme un gaz parfait (fluide super-critique?), d'après ce que j'ai lu !
Quel résultat obtient-on en faisant l'hypothèse plus réaliste d'un gaz réel "composite" (N2+O2)?
Et là, ça se complique bigrement au niveau des calculs...
Je vous laisse d'ailleurs choisir, en tant qu'experts, le modèle d'équation d'état qui convient le mieux (Van Der Waals et apparemment le + utilisé ?)...

En espérant que quelqu'un(e) ait sous la main le super logiciel qui va bien qui crache le résultat en 1/1000e de seconde...

Par avance merci !

Marsupy.
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[Christian Arnaud]

Bonjour Marsupy

Besoin d'un coup de main

@+ sur un autre forum

[Jeanpaul]

Je dirais qu'à température ordinaire, l'air ou ses composants sont loin de la température critique et donc le calcul ne doit pas être trop faux.
Si tu veux bien faire, tu peux prendre l'équation de Van der Waals et intégrer
dW = - p dV
Ce n'est pas très difficile car p s'exprime aisément en fonction de V et T.

[invite1c76fb93]

Hello Christian !

Bin, disons que je pinaille à fond !
La différence doit être minime entre les 2 calculs mais je suis curieux de la connaître... 5% ? 10% ?

Hello Jean-Paul!

Je dirais qu'à température ordinaire, l'air ou ses composants sont loin de la température critique et donc le calcul ne doit pas être trop faux.

Même à 330 bars ?!?
J'avais fait un diagramme x: nb.moles, y: pression en bars, à 330 bars, pour l'air considéré comme gaz réel (VDW) j'obtenais un nombre de moles environ 10% < celui attendu avec l'hypothèse d'un gaz parfait (PV=nRT).

Si tu veux bien faire, tu peux prendre l'équation de Van der Waals et intégrer
dW = - p dV
Ce n'est pas très difficile car p s'exprime aisément en fonction de V et T.

Houlà! Mes souvenirs de thermo. et de maths sont trop poussiéreux !
En cherchant sur le web, je suis tombé sur un sujet d'examen style "math sup" qui collait bien à ma question mais y' a pas le corrigé
C'est vrai que comparer un modèle gaz réel à un modèle gaz parfait, ça fait un bon sujet d'exam. !

Si t'as 10 min. à perdre, n'hésite pas à poster la formule pour application numérique en fonction de pression initiale et finale et volume initial.

Personne n'a ça dans un logiciel ou une calculette programmable ?

@+

Marsupy.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jeanpaul]

D'après Van der Waals : (p + a/v²)(V-b) = RT pour 1 mole
Donc dW = - p dV = -RT dV(V-b) - a dV /V²
Et en intégrant :
W = - RT Ln[(Vf - b)/(Vi - b)] + a (1/Vf - 1/Vi)
a et b se trouvent sur le web, je pense.

[invite1c76fb93]

Hello Jean-Paul!

D'après Van der Waals : (p + a/v²)(V-b) = RT pour 1 mole
Donc dW = - p dV = -RT dV(V-b) - a dV /V²
Et en intégrant :
W = - RT Ln[(Vf - b)/(Vi - b)] + a (1/Vf - 1/Vi)
a et b se trouvent sur le web, je pense.

Merci beaucoup pour ton aide conforme à la formule finale donnée sur cette page pour une compression isotherme réversible d'un gaz réel.
Mais j'ai un petit problème pour l'application numérique...
J'ai Vi=0.23m^3 mais comment trouver Vf ?
T'aurais pas la même formule mais en fonction de Pi (330bars) et Pf(1bar) ?
a et b : ok, j'ai ça qq.part pour l'air dans une feuille Excel.

J'ai cherché un peu sur le web, apparemment le calcul de W en fonction de Pi et Pf est du niveau math sup...
Une méthode graphique peut peut-être faire l'affaire ?

@+

Marsupy.

[Jeanpaul]

Le problème, c'est, connaissant Pi, Vi et T, de calculer le nombre de moles. Ce n'est pas totalement trivial pour un gaz de Van der Waals.
En effet, il faut écrire la formule sous la forme (Pi + a n²/Vi²).(Vi - nb) = n R T et calculer n, ce qui est du 3ème degré, donc calcul numérique.
Ensuite, rebelote pour calculer Vf connaissant Pf, T et n. Encore du 3ème degré.

Sûr que c'est du niveau Math Sup, mais pour un gaz parfait !

[invite1c76fb93]

Le problème, c'est, connaissant Pi, Vi et T, de calculer le nombre de moles. Ce n'est pas totalement trivial pour un gaz de Van der Waals.
En effet, il faut écrire la formule sous la forme (Pi + a n²/Vi²).(Vi - nb) = n R T et calculer n, ce qui est du 3ème degré, donc calcul numérique.
Ensuite, rebelote pour calculer Vf connaissant Pf, T et n. Encore du 3ème degré.

Sûr que c'est du niveau Math Sup, mais pour un gaz parfait !

Houlà, c'est du lourd !

J'ai essayé d'attaquer le problème dans un tableur et j'ai finalement trouvé que la quantité de travail obtenue par détente isotherme réversible de l'air considéré comme un gaz réel était inférieure de 6,6% par rapport au modèle gaz parfait.

L'ordre de grandeur semble à vue de nez correct, non ?

Mais bon, vu l'heure qu'il est, je détaillerai demain !

@+

Marsupy.

[invite1c76fb93]

Hello!

Bon, je détaille un peu comment j'ai obtenu mon résultat de 6.6% histoire de voir si mon raisonnement est bon.

En fait, faute de pouvoir venir à bout de ces terribles polynômes du 3e degré, je me suis rabattu sur un tableur, outil que je maîtrise beaucoup mieux, pour tenter une résolution graphique.

J'ai retrouvé ma feuille de calcul où je traçais avec la formule de Van Der Waals P en fonction de n, pour un volume de 100 litres d'air à 20°C (n variant de 0 à 1750 par pas de 5).

La courbe donne pour n=1200 moles, P=330 bars.

Ensuite, j'ai calculé V1, volume final, en utilisant PV=nRT , valable puisqu'on est au final dans les CNTP.
V1= nRT/P = 1200 x 8.3145 x 293 / 100 000 = 29.234 m^3
(Au lieu de 33m^3 avec le modèle GP)

J'ai ensuite appliqué la formule:

W = n (-RTln((V1-b)/(V0-b) + a (1/V1-1/V0))

avec:

n = 1200 moles
R=8.3145
T=393 K
a=1.3725
b=0.0372
V0=0.1 m^3
V1=29.234 m^3

et j'obtiens W_VDW = -17867680,12 Joules soit 6.6% de moins que W_GP (W_GP = -33000000*0,1*LN(330) = -19137005,76 Joules)

Voili, voilou !

Ca vous paraît pas trop "déconnant" ?

Si qqu'un veut s'attaquer aux vilains polynômes pour vérifier, qu'il ne se gêne pas !

@+

Marsupy.

[invite1c76fb93]

Hello Jean-Paul, hello tout le monde !

D'après Van der Waals : (p + a/v²)(V-b) = RT pour 1 mole
Donc dW = - p dV = -RT dV(V-b) - a dV /V²
Et en intégrant :
W = - RT Ln[(Vf - b)/(Vi - b)] + a (1/Vf - 1/Vi)

Heu... J'ai comme un doute...
Pour passer d'1 mole à n moles, il suffit de multiplier par n l'expression de W ci-dessus ?
Ca me paraît trop simple...

Qqu'un peut confirmer ou corriger ?

Par avance, merci !

Marsupy.

[Jeanpaul]

L'énergie étant une grandeur extensive, on multiplie effectivement l'énergie par le nombre de moles.

[invite1c76fb93]

Hello Jean-Paul, hello tout le monde !

L'énergie étant une grandeur extensive, on multiplie effectivement l'énergie par le nombre de moles.

Merci pour cette précision, je ne sais pas pourquoi, j'imaginais encore un calcul tordu !

Grâce à toi, ma feuille de calcul me semble quasi achevée.

En vérifiant attentivement les formules, je me suis aperçu que je n'avais pas pris les bonnes unités pour les constantes de Van Der Waals (a et b) qui prennent en compte le volume et les interactions moléculaires des gaz.
Curieusement, ces "constantes", exprimées dans une même unité, varient selon la source d'information !

Pour tracer la courbe P=f(n), j'ai utilisé la formule de VDW:
P = (nRT)/(V-nb) – a(n^2/V^2)
avec:
P en bars
n variant de 0 à 3500 moles
R=0,0831451 L.bar/(K.mol)
T=293 °K
a=1.3725 L^2*bar/mol^2
b=0.0372 L/mol
V=230 litres

J'ai ensuite utilisé "ta" formule "magique" pour n moles:
W = -n( RT Ln[(Vf - b)/(Vi - b)] + a (1/Vf - 1/Vi) )
avec:
n pour P=330bars (d'après la courbe)=2760 moles
R=8,31451 m^3.Pa/mol.K ou J/mol.K
T=293 °K
a= 0,13725 J·m^3/mol^2
b= 0,0000372 m^3/mol
Vi=0,23 m^3
Vf=nRT/P=67,24m^3

J'obtiens |W| = 38,16 MJ contre 44 MJ selon le modèle "gaz parfait" soit 13% d'énergie en moins.

Voilà!
La démarche te semble-t-elle correcte ?

Encore un grand merci JeanPaul !

@+

Marsupy.

[Jeanpaul]

Ca paraît tenir debout, sous réserve des valeurs de a et b, que je n'ai pas cherchées.
Un tableur est un bon moyen de résoudre des équations.