[Oscillateur harmonique] Démonstration que les valeurs propres pour N sont entières

[herman]

Bonsoir,

La démonstration suivante me pose problème. (avec les symboles utilisaient habituellement pour l'oscillateur harmonique).

On pose : (avec adjoint de a).

On pose que ( valeur propre associé au vecteur propre ).

Je suis d'accord sur la démonstration :


Ensuite, on veut démontrer que est forcément entier.

On commence par poser non entier et donc :
avec n entier positif.
Et on dit que par action successive on arrive à
donc la valeur propre est par définition positive mais si on retire encore 1 elle est par définition négative et suite à une démonstration antérieure, c'est impossible car les valeurs propres dans ce cas doivent toutes êtres positives ou nulles.

Seulement après on reprend le même cas (mais en partant du principe que est entier en posant :
et on dit qu'arrivé à la valeur propre :
on s'arrête car on sait qu'on a pas le droit d'aller dans les valeurs propres négatives.

Alors soit c'est moi soit cette logique est vraiment étrange (et pourtant elle vient du cohen-tannoudji, et je retrouve le même raisonnement un peu partout).
Mais franchement je vois pas en quoi dans le premier cas on a pas le droit de se dire la même chose à savoir "là j'ai une valeur propre comprise entre 0 et 1, je peux pas lui retirer 1 donc je m'arrête là", même si ce raisonnement est hasardeux... (pour plus de rigueur on pourrait prendre le raisonnement dans l'autre sens enfin bref).

Quelqu'un peut m'éclaircir ?

Merci d'avance.
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[invitea774bcd7]

Alors, moi ce que je connais :
– On démontre d'abord que l'opérateur nombre est défini positif (je sais plus comment on fait… Mais c'est facile )
– Une fois cela fait, la relation de récursion descendante que tu as écrit doit générer le vecteur nul au bout d'un certain n, sinon celle-ci générerait des valeurs propres négatives (une fois le vecteur nul généré, d'autres applications de la relation de récurrence généreront toujours zéro).
– Avec ça (que la récursion doit générer le vecteur nul), on montre que les valeurs propres doivent être entières.

[herman]

– Une fois cela fait, la relation de récursion descendante que tu as écrit doit générer le vecteur nul au bout d'un certain n, sinon celle-ci générerait des valeurs propres négatives (une fois le vecteur nul généré, d'autres applications de la relation de récurrence généreront toujours zéro).

Effectivement ça semble logique mais tu aurais cette démonstration ?
(à la fois que ça doit passer par 0 et qu'une fois à 0 ça reste sur 0 ?)

[invitea774bcd7]

Effectivement ça semble logique mais tu aurais cette démonstration ?
(à la fois que ça doit passer par 0 et qu'une fois à 0 ça reste sur 0 ?)

Nan, je suis nul à ce genre de truc
J'ai trouvé ça là : http://www.google.fr/search?sourceid...er+eigenvalues (4ème résultat, le doc. pdf)

[A voir en vidéo sur Futura]

[herman]

Ouai leur démonstration est globalement basé sur le même raisonnement étrange que je souligne, décidément...

[GillesH38a]

déjà la relation correcte est


une fois que tu es arrivé à , l'action de l'opérateur d'annihilation te donne le vecteur nul à cause du . mais le vecteur nul n'est pas la base d'un espace vectoriel, il n'y a donc pas d'espace propre associé à une vp -1. Tu t'arrêtes parce que l'action de l'opérateur d'annihilation ne te donne plus de nouveau vecteur, ce qui n'arrive pas si n est non entier - tu "sautes" la valeur zéro, mais dans ce cas tu aurais des vp négatives non physique.

[herman]

Ok, je pense que je vois comment raisonner rigoureusement.

Par contre l'expression citée ci-dessus n'est pas + juste que la mienne, ce sont justes des égalités différentes (liées entre elles) qui n'indiquent pas la même chose.

[GillesH38a]

ben ton écriture semble dire que les sont vecteurs propres de l'opérateur d'annihilation , ce qui est faux ....