Le fameux équilibre de l'échelle

[invite74009975]

Bonjour à tous et toutes,

Dans le cadre de l'équilibre d'une échelle, j'ai fait deux hypothèses (voir fichier annexé):

1°) L'échelle repose sur le mur et sur le sol sans frottement.
2°) L'échelle repose sur le mur et sur le sol avec frottement identique (f = 0,3).
Dans le premier cas, l'équilibre des forces et celui des moments est correct.
Dans le second cas, l'équilibre des forces est correct, mais pas celui des moments:

Equlibre des moments en B:

R x EB = (TA x DB) + (NA x DA)
Mais RB x DE = 744,5 mN
Et (TA x DB) + (NA x DA) = 637,5 mN
Soit une différence de 107 mN

Equlibre des moments en A:

R x DE = (TB x AD) – (NB x DB)
Mais RB x DE = 395,5 mN
Et (TB x AD) – (NB x DB) = 502,5 mN
Soit une différence de 107 mN

En laissant toutes les données identiques mais en modifiant un seul paramètre, on arrive à l'équilibre des moments (et uniquement avec CE paramètres sans modifier d'autres).

a) en changeant l'angle de l'échelle à 25,7…°
b) en changeant le coefficient de frottement à 0,3523…
c) d'autres paramètres, tel que le poids M ou la longueur CB, peuvent bien évidemment être également modifiés.

La question est pourquoi. Quelqu'un aurait-il la gentillesse de bien vouloir m'aider. D'avance, un tout grand merci.

Margaritta,
-----

[invitec43e56ae]

Bonjour,

Pour ta première hypothèse, je ne vois pas comment tu peux arriver à un équilibre des forces ?

En effet, tu introduit une force Tb farfelu dans ton PDF qui n'a aucune raison d'exister s'il n'y a pas de forces de frottements.

Il faut donc partir avec des forces de frottements en A et en B qui s'oppose au mouvement (c'est à dire qui s'oppose à la chute de A et qui s'oppose au deplacement de B si A chute).

En partant de l'hypothèse que l'échelle est à l'équilibre (ne bouge pas), tu trouvera alors quelles sont les forces de frottements. Mais tu ne peux pas dire à priori quelles normes elles ont ! (c'est la projection de l'équilibre des forces qui te le donnera)

Petite astuce, il faut calculer les moment au points d'intersection des droites qui porte la réaction en A et en B. ( je ne suis peut être pas très clair : tu trace les droites issues des force de réaction en A et en B, le point d'intersection est le point où tu calculeras le plus simplement les moments).


En effet, en ce point, seuls le moment du poids de l'échelle est non-nul. La difficulté réside à trouver l'angle que fait le poids avec la droite qui relie G au point d'intersection...


En partant avec ces petits éclaircissements, tu devrai arriver à avancer. Tiens nous au courant.

Cordialement.

[invitec43e56ae]

J'ai oublier une petite précision quand à l'équilibre des forces :

Les forces de frottements sont proportionelles à la réaction normale au support (ainsi qu'au matériau. En faisant l'hypothèse que le mur et le sol sont fait du même matériaux, tu peux conclure que le rapport de proportionalité est le même dans les 2 cas).




Il ne reste plus qu'a trouver la norme de toutes les forces en fonction de la seule que tu connais : le poids de l'echelle

[invite74009975]

Bonjour Deaven, et merci pour cette rapide réponse.
Dans la première hypothèse, le pied de l'échelle B serait attaché avec une corde au point D → TB, sans cette force il y aurait glissement de A et B. Dès lors, l'équilibre des forces et celui des moments sont corrects.
Pour la seconde, pour que l'équilibre soit satisfaisant, les lignes d'action des forces doivent être concourantes (c'est le cas, voir fichier). Les forces R, FA et FB ferment bien le polygone de Varignon. Les équations d'équilibre des forces sur x et y sont égales à zéro. Sur y: R – (TA + NB) = 0 et sur x: NA – TB = 0. Le rapport de proportionnalité entre FA et FB est juste, ces deux forces forment donc entre elles un angle de 90° (voir fichier).
Penses-tu que mes croquis et équation ne sont pas exacts ?
L'équilibre des moments ne se fait que lorsqu'on change un des paramètres cités, pourquoi?

Cordialement,

Margaritta,

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec43e56ae]

Bonjour Deaven, et merci pour cette rapide réponse.
Dans la première hypothèse, le pied de l'échelle B serait attaché avec une corde au point D → TB, sans cette force il y aurait glissement de A et B. Dès lors, l'équilibre des forces et celui des moments sont corrects.
Pour la seconde, pour que l'équilibre soit satisfaisant, les lignes d'action des forces doivent être concourantes (c'est le cas, voir fichier). Les forces R, FA et FB ferment bien le polygone de Varignon. Les équations d'équilibre des forces sur x et y sont égales à zéro. Sur y: R – (TA + NB) = 0 et sur x: NA – TB = 0. Le rapport de proportionnalité entre FA et FB est juste, ces deux forces forment donc entre elles un angle de 90° (voir fichier).
Penses-tu que mes croquis et équation ne sont pas exacts ?
L'équilibre des moments ne se fait que lorsqu'on change un des paramètres cités, pourquoi?

Cordialement,

Margaritta,

Je ne comprend pas bien ta question, si la somme des moments est différente de zéro alors que tu présupposes l'équilibre, c'est qu'une hypothèse ou un calcul est faux.

Dans ma première réponse, j'ai inséré un petit diable... En effet, en prenant comme point d'origine pour le calcul des moments l'intersection des droites porteuses de Fa et Fb (comme tu l'as justement fait dans ton calcul). Tu te retrouve avec tous les moments des forces nuls SAUF celui du poids.

Or il me semble que pour qu'il y ait équilibre, il faut que la somme des moments soit nul... donc ?

Personnellement, j'ai tout de suite vu quelle a été ton erreur dans tes hypothèses.
Demandes-toi ce qui est faux par essence.

Le but importe peu, seul le chemin est important.

[invite74009975]

Je ne comprend pas bien ta question, si la somme des moments est différente de zéro alors que tu présupposes l'équilibre, c'est qu'une hypothèse ou un calcul est faux.

Dans ma première réponse, j'ai inséré un petit diable... En effet, en prenant comme point d'origine pour le calcul des moments l'intersection des droites porteuses de Fa et Fb (comme tu l'as justement fait dans ton calcul). Tu te retrouve avec tous les moments des forces nuls SAUF celui du poids.

Or il me semble que pour qu'il y ait équilibre, il faut que la somme des moments soit nul... donc ?

Personnellement, j'ai tout de suite vu quelle a été ton erreur dans tes hypothèses.
Demandes-toi ce qui est faux par essence.

Le but importe peu, seul le chemin est important.

Bonjour Deaven, bonjour à tous,

Cela me fait plaisir que tu as vu directement où se trouvait mon erreur, mais je ne suis pas très avancé. Pourrais-tu reprendre mon exemple et le chiffrer avec les bons résultats, je t'en serais reconnaissant. D'avance merci.

Cordialement,

Margaritta,

[mécano41]

Bonjour,

J'avais fait ceci il y a quelque temps...Regarde si cela peut te servir...

Cordialement

[invite74009975]

Bonjour Mécano41, bonjour à tous,

Merci de m’avoir répondu et aussi de vouloir m'aider.
Je te remercie pour ton fichier Excel, c'est assez amusant, car j'avais fait la même chose afin d'augmenter la rapidité des calculs pour les hypothèses multiples (voir fichier annexé)
Mon inquiétude est que quelque soit les hypothèses, l’équilibre des forces est toujours correct que ce soit sur « X » ou sur « Y », mais l’équilibre des moments en modifiant 1 seul des paramètres devient correct uniquement dans le cas où ce paramètre (sans modifier les autres) devient soit α = 25,7… ou soit f = 0,3523… ou soit CB = 1,693m ou soit M = 33N (pas très lourd pour une personne) ???
Je pense qu’il y a une erreur dans mon raisonnement, mais je n'arrive pas à voir où.
Prenons le cas en ne modifiant que le paramètre du poids de la personne, lorsque ce poids devient 33N, l’équilibre des forces et des moments est parfait. Si maintenant, le poids du personnage devient 20N, l’équilibre des forces est toujours correct mais pas celui des moments, ce qui n’est pas logique. J’espère que tu adhère à mon raisonnement.

Cordialement,

Margaritta,

[mécano41]

Bonjour,

Ci-joint ton fichier avec quelques commentaires.

Cordialement

[invite74009975]

Bonjour Mécano41, bonjour à tous,

Merci de m’avoir répondu et aussi de vouloir m'aider.
Je te remercie pour ton fichier Excel, c'est assez amusant, car j'avais fait la même chose afin d'augmenter la rapidité des calculs pour les hypothèses multiples (voir fichier annexé)
Mon inquiétude est que quelque soit les hypothèses, l’équilibre des forces est toujours correct que ce soit sur « X » ou sur « Y », mais l’équilibre des moments en modifiant 1 seul des paramètres devient correct uniquement dans le cas où ce paramètre (sans modifier les autres) devient soit α = 25,7… ou soit f = 0,3523… ou soit CB = 1,693m ou soit M = 33N (pas très lourd pour une personne) ???
Je pense qu’il y a une erreur dans mon raisonnement, mais je n'arrive pas à voir où.
Prenons le cas en ne modifiant que le paramètre du poids de la personne, lorsque ce poids devient 33N, l’équilibre des forces et des moments est parfait. Si maintenant, le poids du personnage devient 20N, l’équilibre des forces est toujours correct mais pas celui des moments, ce qui n’est pas logique. J’espère que tu adhère à mon raisonnement.

Cordialement,

Margaritta,

Bonjour Mécano41, bonjour à tous,

Je te remercie pour ton aide.
L'hypothèse que tu prends conforte mon raisonnement. En effet, dans le cas où C'B devient 0,847m, tu as dû changer 1 paramètre, soit CB qui devient 1,693m, sans modifier les autres. C'est l'inquiétude que j'émets dans mon post précédent, que si tu change un seul paramètre à une valeur bien déterminée (voir plus haut), sans modifier les autres, l'équilibre des moments devient correct. Si maintenant, la personne qui se trouve sur l'échelle à 1,693m du pied, descend jusqu'au centre de gravité de l'échelle (c.a.d. "G"), l'équilibre des moments ne se fait plus et je pense que cela n'est pas très logique. Je te remercie encore du temps que tu prends pour me venir en aide.

Cordialement,

Margaritta,

[mécano41]

Bonjour Margaritta,

Désolé, je n'ai pas eu le temps de te répondre plus tôt (pour cause de cogitation intense sur un autre sujet ) ...

Ce que j'avais donné précédemment n'est pas très clair. Voici un document EXCEL (les calculs manuels sont dedans) qui sera peut-être un plus précis...

J'ai commencé par un cas simple : échelle contre une butée puis remplacement de la butée par un frottement afin de montrer que l'on n'utilise pas constamment la capacité de frottement de l'échelle sur le sol ; ensuite, j'ai mis le cas où l'échelle frotte au sol et contre le mur.

Dans les deux cas, si l'utilisateur doit monter jusqu'en haut (pour un angle donné de l'échelle) le coeff. de frottement doit être suffisant pour que cela ne glisse pas dans cette position haute qui est la plus défavorable ; ensuite, si dans les mêmes conditions, l'utilisateur redescend, l'échelle est, bien entendu, toujours en équilibre, mais le coefficient de frottement initial devient surabondant pour sa nouvelle position (c'est ce que j'ai appelé "stable").

Ce serait beaucoup mieux si une explication était donnée par un professeur qui passerait par là ...

(Nota : pour obtenir l'indication "Echelle en équilibre" il faut entrer "=" et cliquer la cellule contenant la valeur calculée précédemment plutôt qu'entrer une valeur manuellement, sinon, si c'est différent à la 5ème décimale, le test bascule...)

Bon courage.

Cordialement

[invite74009975]

Bonjour Mécano41, bonjour à tous,

Tu ne dois pas être désolé, j'ai constaté que tu étais très occupé, j'ai par ailleurs suivi tes calculs avec la plus grande attention.
Un tout grand merci pour ta réponse, je regarderai dans le détail dans la semaine et te recontacterai très certainement par après.

Bien cordialement,

Margaritta,

[invite74009975]

Bonjour Mécano41, bonjour à tous,

Encore un grand merci pour tes calculs.
Je suis déjà bien rassuré que je ne me trompais pas. Tes explications sont claires et précises comme à l'accoutumée. Pourtant, une chose m'interpelle depuis le début, j'ai retenu de mes notions lointaines de mécanique, qu'en statique, il fallait toujours satisfaire les deux notions d'équilibre (La somme des forces = 0, mais aussi celle des Moments = 0). Dans le cas 3, lorsqu'il est indiqué "Echelle Stable" (et cela est parfaitement exact), mais la somme des moments est différente de zéro, et n'est égale à zéro que dans les cas bien déterminé où un des paramètres est très précisément un nombre "x" et pas un autre, et c'est cela qui m'interpelle. Je sais que je suis très difficile, mais j'aimerais comprendre pourquoi. Encore une fois, un tout grand merci pour ton aide.

Cordialement,

Margaritta,

[invite6dffde4c]

Bonjour Mécano41, bonjour à tous,

Encore un grand merci pour tes calculs.
Je suis déjà bien rassuré que je ne me trompais pas. Tes explications sont claires et précises comme à l'accoutumée. Pourtant, une chose m'interpelle depuis le début, j'ai retenu de mes notions lointaines de mécanique, qu'en statique, il fallait toujours satisfaire les deux notions d'équilibre (La somme des forces = 0, mais aussi celle des Moments = 0). Dans le cas 3, lorsqu'il est indiqué "Echelle Stable" (et cela est parfaitement exact), mais la somme des moments est différente de zéro, et n'est égale à zéro que dans les cas bien déterminé où un des paramètres est très précisément un nombre "x" et pas un autre, et c'est cela qui m'interpelle. Je sais que je suis très difficile, mais j'aimerais comprendre pourquoi. Encore une fois, un tout grand merci pour ton aide.

Cordialement,

Margaritta,

Bonjour.
Je me permets de ramener ma cuillère.
J'ai du mal à travailler avec les fichiers Excel (je ne comprends que ceux que j'ai faits).

Je crois qu'il serait mieux de revenir aux bonnes vieilles équations. Les fichiers Excel ont des avantages mais ici ils cachent ce qui se passe.

Et je préfère calculer les moments autour des axes de rotation au lieu d'utiliser de cas particuliers (lignes concourantes).

Mais avant de faire des calculs on peut analyser ce qui va se passer. Comme il est dit depuis le début, sans frottements il faut une butée pour que l'échelle ne glisse pas.
Avec des frottements au sol uniquement, il y a une inclinaison maximale de l'échelle pour qu'elle soit en équilibre et elle dépend (comme il est dit) de la position de la personne. Si elle n'est pas assez droite, au bout d'une hauteur, l'échelle glisse (je connais un poseur d'enseignes qui s'est casé un bras de cette façon).
S'il y a des frottements avec le mur, la force verticale du mur tend à éviter que l'échelle glisse. L'inclinaison maximale est atteinte quand la force verticale du mur et la force horizontale du son atteignent la force de friction maximale (F = µ N). Mais c'est la force horizontale du sol qui est critique.

Côte nombre de variables, on a les quatre composantes des forces sur le sol el le mur. La somme des forces verticales et horizontales donnent deux équations. Le moment autour de n'importe quel point (je préfère le B) donne une troisième équation. La quatrième est la relation de frottement maximal au sol.
Celle au mur joue moins, mais il faut vérifier, à la fin, qu'elle est aussi dépassée.
Cela fait quatre équations pour quatre variables.

En tout cas, dans la situation d'équilibre, la somme de moments est égale à zéro.
Je ne vois pas d'où vous sortez que les moments ne sont pas nuls.
Au revoir.

[mécano41]

Je crois qu'il serait mieux de revenir aux bonnes vieilles équations. Les fichiers Excel ont des avantages mais ici ils cachent ce qui se passe....

Merci LPFR. Pour info. il y a les calculs manuels dans la deuxième feuille du fichier EXCEL.

Cordialement

[invite6dffde4c]

Re.
J'ai regardé le fichier posté dans le post #8.
Vous imposez que le rapport entre les forces normales et de friction dans le mur et dans le sol soit exactement le coefficient de friction. C'est à dire que les deux points "lâchent" au même temps. Ceci n'est possible que dans des cas très particuliers.
Il faut, comme je l'ai dit, ne fixer cette condition que sur le sol.
Et résoudre le système de 4 équations quatre inconnues.
En fixant des valeurs au mur et au sol, au lieu de donner priorité à l'égalité de moments, vous faites une erreur.
Donc, c'est normal que vous trouviez que les moments ne sont pas nuls.
A+

[sitalgo]

B'jour,

Le problème de l'échelle avec deux frottements n'a pas de solution exacte. Il y en aurait une si on connaissait la rigidité des appuis et de l'échelle. Je parle pour la réaction verticale du mur.

On commence par prendre l'échelle et on la pose contre le mur, dans l'hypothèse de rigidité infinie il n'y a aucune raison d'avoir une réaction verticale du mur. Ce pourrait être un panneau coulissant verticalement il ne bougerait pas d'un poil.
Dans la réalité l'échelle va prendre une flèche, cela tend à rapprocher A et B, les frottements mur et sol tendent par contre à maintenir la longueur initiale de l'échelle. On voit déjà que c'est coton à calculer et on va supposer qu'on s'en fout.

Ensuite un lourdeau monte de 2m sur l'échelle.
Petite explication : Prenons une barre rotulée aux extrêmités avec une force longitudinale appliqué au tiers (dist L1 et L2=2L1, prob hyperstatique). A gauche la déformation est ∆L/L1, à droite c'est ∆L/L2 ce qui implique donc la rotule de droite reprend les 2/3 de la force.

Imaginons notre échelle dans le même cas, on y ajoute l'effet longitudinal du lourdeau, l'effort sur la rotule du haut serait Fy=(700xcos30)2/3=404N.
En considérant Ax=R 0,98 / 1,50 = 497N soit un Ay maxi de 497x0,3=149N <<404N
On voit que ça dérape d'entrée.
Maintenant bien malin qui peut affirmer, après glissement, où se trouve le nouveau point A, donc impossibilité de savoir si Ay est positif, nul (ce serait un miracle) ou négatif et encore moins sa valeur. Et c'est sans tenir compte de la flèche de l'échelle.

[sitalgo]

donc la rotule de droite reprend les 2/3 de la force.

Ah ben voilà! Vous suivez pas ! c'est la rotule de gauche.
Ca suppose une section constante bien entendu.

[Bonnes perspectives]

Bonjour Mécano, merci pour votre second lien mais la 2ieme partie de votre résolution sur excel parlait d'un cas avec 2 frottements également.

Quand au commentaire de Sitalgo dans le salon, je pense à mon avis qu'il est justifié que sur une échelle dont la contrainte de matériaux est suffisamment importante (cas d'une échelle en bambon par exemple) mais peut-être pas sur une échelle en métal dur qui est à mon avis considérable comme rigide.

Par contre ce que je trouve bizarre dans ce .pdf c'est la longueur du vecteur R1 dans le premier cas (sans frottement partout). Il est plus grand que P et F2 réuni hors il faudrait que P regroupe les deux vecteurs pour l'équilibre. Dans ce cas l'échelle va clairement décoller du sol et glisser en F2.

[mécano41]

Voir réponse en :

http://forums.futura-sciences.com/ph...ml#post4694512