Autocorrelation

[mx6]

Bonsoir,

J'ai déjà lu la conversation suivante : http://forums.futura-sciences.com/ph...i-ca-sert.html

Mais j'ai certaines questions qui persistent. Si j'ai bien compris , si on prend un signal , l'autocorrelation sert à définir , où est un signal aléatoire. La fonction d'autocorrelation fournit le degrès de ressemblance entre et avec une valeur allant de 0 à 1 (plus ça y ressemble, et plus ça tend vers 1).

Maintenant comment on définit cette fonction mathématiquement ? Dans le cas d'un signal aléatoire (c'est ce qui m'intéresse). C'est quoi le temps caractéristique ou temps de corrélation qu'on note ?

Si j'appelle la fonction de corrélation pour , quelle est la signification physique ou mathématique de :

Merci d'avance, je vous rappelle mes connaissances sont limitées à niveau L1.

J'ai d'autres petites questions bonus (qui peuvent sembler hors sujet):
- c'est quoi une fonction aléatoire stationnaire ? (surtout le terme stationnaire qui me perturbe), et pourquoi dans ce cas, on a la moyenne de <F(t)> ne dépend pas de t et la moyenne à deux temps <F(t)F(t')> ne dépend que de la différence t-t' ?
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[mariposa]

Bonsoir,

J'ai déjà lu la conversation suivante : http://forums.futura-sciences.com/ph...i-ca-sert.html

Mais j'ai certaines questions qui persistent. Si j'ai bien compris , si on prend un signal , l'autocorrelation sert à définir , où est un signal aléatoire. La fonction d'autocorrelation fournit le degrès de ressemblance entre et avec une valeur allant de 0 à 1 (plus ça y ressemble, et plus ça tend vers 1).

Maintenant comment on définit cette fonction mathématiquement ? Dans le cas d'un signal aléatoire (c'est ce qui m'intéresse). C'est quoi le temps caractéristique ou temps de corrélation qu'on note ?

Si j'appelle la fonction de corrélation pour , quelle est la signification physique ou mathématique de :

Merci d'avance, je vous rappelle mes connaissances sont limitées à niveau L1.

Bonjour,

Tu as très bien compris: L'idée est bien celle de ressemblance.

En pratique soit c'est le résultat d'un calcul de résolution d'une équation différentielle stochastique soit (en fait le plus souvent) on se donne une valeur qui va servir de modèle. Auquel cas on prend une exponentielle décroissante:

<F(0)F(t)> = exp (-t/tau)

ou encore plus simple:

<F(0)F(t)> = d(t-t°)

cad la distribution de Dirac

Qui veut dire que la fonction se ressemble à elle-même .pendant une durée Tau

Exemple: soit une fonction F(t)= sin a(t). si la fonction est rigoureusement périodique a(t) = w.t la fonction d'autocorrélation est périodique. Sinon la phase a tendance à fluctuer de façon aléatoire plus ou moins rapidement: a(t) = w.t + fluctuations. Dans ce cas la fonction F(t) va ressembler à une fonction périodique pendant un certain temps Tau qui dépend des caractéristique des fluctuations.

J'ai d'autres petites questions bonus (qui peuvent sembler hors sujet):
- c'est quoi une fonction aléatoire stationnaire ? (surtout le terme stationnaire qui me perturbe), et pourquoi dans ce cas, on a la moyenne de <F(t)> ne dépend pas de t et la moyenne à deux temps <F(t)F(t')> ne dépend que de la différence t-t' ?

En posant ta question tu as répondu à ta question:

Suppose que tu as un signal continu F° auquel s'additionne du bruit f(t)

La valeur moyenne vaut:

< F° + f(t)> = F° + <f(t)> qui ne dépend pas du temps

En général on définit un bruit par rapport à la valeur moyenne (donc la valeur de cette valeur moyenne est intégrée dans F°). donc:

<f(t)> = 0

Autocorrélation

< F° + f(t) , F° + f(t')> = < f(t).f(t')>

En vertu de ce que j'ai démontré ci-dessus

Dire que le signal aléatoire f(t) est stationnaire veut dire que je peux faire une mesure de cette fonction d'autocorrélation en commençant à n'importe quel instant t et donc je prend comme temps de référence t= 0 et donc:

< f(t).f(t')> = < f(0).f(t')>

En résumé un signal stationnaire peut-être décomposé en une partie déterministe (une fonction régulière) et une partie aléatoire indépendante du temps.

On s'arrange pour que la partie aléatoire soit à valeur nulle et on caractérise le signal aléatoire par sa fonction de corrélation à 2 temps. si le signal aléatoire est stationnaire on prend comme référence un temps t= 0.

[mx6]

Merci beaucoup pour cette réponse, j'ai une question qui m'empeche de comprendre .

Est ce que est la durée moyenne ? C'est à dire si on considère un mouvement brownien, alors je définie cette grandeur comme le temps moyen qu'il faut pour qu'une particule rentre en collision avec une autre.

Puis, la notation <F(t)> , je suppose que c'est un moyenne, mais comment on définie cette moyenne ? Car y a plusieurs types de moyenne qui existent, est ce que c'est : ?

<F(0)F(t)> signifie la moyenne du produit de F(0) * F(t) ?

Qu'est ce une distribution de Dirac ? Je pense avoir vu ça rapidement en sciences industrielles, il me semble que c'est une entrée échelonnée.

Merci d'avance, et je m'excuse pour ces questions élémentaires ^^

[mx6]

Up ! (Si quelqu'un peut répondre, j'ai vraiment besoin de connaitre ces notions le plus tôt possible pour avancer dans les TIPE).

[A voir en vidéo sur Futura]