RDM cantilever

[Chuck38]

Bonjour,

Je planche depuis quelque jours sur un petit problème de RDM que j'ai du mal à résoudre et toute l'aide nécessaire serait la bienvenue!


Alors voila mon problème:
j'ai un système constitué de deux lames "souples" encastrées à une extrémité et, "reliées entre elles et libre à l'autre extrémité" (cf. figure 1 en pièce jointe) appelé couramment cantilever. Les deux lames sont présentent pour avoir toujours l'extrémité libre orthogonale à un effort normal appliqué à cet endroit.
On peut assimiler ce système à un ressort linéaire lorsqu'on applique un effort sur l'extrémité libre. Je voudrai évaluer la raideur équivalente k de ce ressort.
En connaissant la flèche f on peut remonter à la raideur par la formule :
f = F / k

Détermination de la flèche:
C'est pour déterminer cette flèche que je ne sait pas trop comment m'y prendre. Est-ce que je peux modéliser ce cantilever par une poutre encastrée classique ? (cf. figure 2.a) ou alors du faite d'avoir deux lames cela empêche la rotation à l'extrémité libre (c'est le but recherché ) et on le modélise toujours par une poutre encastré mais dont le comportement est différent et est celui de la figure 2.b ?

Pour la première hypothèse on obtient : f= (F*L^3)/(3*E*I)
Pour la seconde : f=(F*L^3)/(4*E*I)

Avec I l'inertie équivalente de mon cantilever.
Est-ce que ces modélisation vous semblent plausibles ou bien vaut-il mieux modéliser mon système par un portique avec une traverse incompréhensible ?

Détermination de l'inertie équivalente:
Ensuite pour l'inertie équivalente que dois-je prendre?
Pour l'inertie d'une poutre rectangulaire on a : (base*hauteur^3)/12 Alors est-ce que je peux prendre:
Ieq=2*e^3*b/12

Ou bien alors :
Ieq=(2*e)^3*b/12

(Il est possible que ceci soit une question de débutant )

Voila voila! Merci d'avance pour votre aide! Dites moi si mon raisonnement se tient ou s'il est complètement foireux ^^( mais là annoncez-le moi en douceur sinon je vais mal finir ) et quelles pistes je devrait suivre!
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[sitalgo]

B'jour,

La réalité est la figure 2b mais il revient au même de calculer une poutre 2a dont la longueur est de moitié. Il faut ensuite multiplier la flèche par deux. Le Mf est nul au milieu.
Pour l'inertie c'est l'inertie d'une poutre multipliée par 2.

[Jaunin]

Bonjour, Chuk38,
Encore bienvenu sur le forum de Futura-Sciences.
Je suppose que ce n'est pas une question pour un problème d'école ?
Maintenant est-ce que, votre liaison qui reçoit la force, est-elle, guidée pour descendre verticalement, ou suit elle la déformée de la lame ressort.
Cordialement.
Jaunin__

[Chuck38]

Merci merci pour vos réponses!
Effectivement Jaunin ce n'est pas un problème d'école .
Donc l'endroit ou l'on applique l'effort n'est pas guidé verticalement. Il est complètement libre et suit la déformé de mes deux lames (ce qui entraine donc un déplacement latéral en plus du déplacement dans l'axe de l'effort qui est fonction de la longueur L de mes lames).

Sinon effectivement pour l'hypothèse 2b on obtient bien:
f=(F*L^3)/(12*E*I)

(et non f=(F*L^3)/(4*E*I) comme je l'avais dis... mauvaises lecture des intégrales de mohr )

Ce qui est donc bien 2 fois la flèche d'une poutre 2a de longueur L/2 par contre je ne comprend pas vraiment pourquoi... pourquoi Mf est nul en L/2 ? Si tu pouvais éclairer ma lanterne Sitalgo ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jaunin]

Bonjour,
Je pense plutôt à f=(F*L^3)/(24*E*I).
Si vous avez des dimensions réelles, on peut essayer de faire une simulation pour confirmation.
Cordialement.
Jaunin__
(je reviens plus tard)

http://books.google.ch/books?id=0z9p...page&q&f=false

[sitalgo]

Faire avec une demi poutre avec FL³/3EI ou entière avec FL³/12EI revient au même, il suffit de remplacer dans la deuxième L par L/2 et multiplier le tout par 2.

Si ce n'est pas guidé, pour des déformations faibles ça doit aller, ensuite je ne sais pas. Ca dépend aussi de l'endroit exact ou la force est appliquée, ça peut entraîner un moment.

Le Mf est nul en L/2 parce que... ça se voit.
Là où le Mf devient nul et change de sens, le rayon de courbure change de côté, et réciproquement si la courbure change de sens...

[Jaunin]

Bonjour,
Voici, une petite simulation pour tester la formule.
f=(P*L^3)/(24*E*J)=> avec les dimensions et la charge de la simulation => 0.496 [mm].
Avec J=(b*h^3)/12
Ce qui n'est pas trop mauvais par rapport à la visualisation.
On a aussi une confirmation de la phrase de Sitalgo, que je salue, :"Le Mf est nul en L/2 parce que... ça se voit." (Partie grise au centre)
Pour la contrainte de flexion Sigma max=(P*L)/(2*b*((h^2)/3))=62.5 [N/mm^2].
Par simulation 63.32 [N/mm^2].
Cordialement.
Jaunin__

[Chuck38]

Bonjour bonjour,

Et bien merci pour votre réactivité assez impressionnante
La simulation confirme donc que ce modèle est assez proche de la réalité! Cela sera bien suffisant pour mon application!

Il est vrai que c'est du BSP ("Bon Sens Paysans") que le moment fléchissant s'annule en L/2.

PS: Avec Jaunin nous avons bien la même formule puisque mon inertie je la multiplie par 2 car nous avons 2 lamelles et je ne l'avais très bien explicité! Et jusqu'à preuve du contraire 2*12 cela fait toujours 24

A bientôt!!

Chuck