Rapport d'entiers en physique élémentaire

[stefjm]

Bonsoir,

J'aimerais recensé dans ce fil les curiosités mathématico-physiques qui font apparaitre des rapports d'entiers dans les problèmes physiques simples.

J'exclus le rapport 1/1 (peu intéressant d'un point de vue arithmétique) qui illustre les conservations habituelles d'énergie ou de moment cinétique.

Je commence la liste par deux exemples :

1) Le classique looping sans tomber qui fait apparaitre un rapport 4/5 entre la hauteur de départ et celle du looping. (pas de frottement, conservation de l'énergie mécanique)
En terme d'énergie, le rapport est de 16/25.
J'avoue que si vous arriviez à faire apparaitre un 9/25, je trouverais très joli d'exhiber le premier triplet pythagoricien :

2) La boule de Bowling qui roule sans glisser à 5/7 de sa vitesse initiale. (Merci à LPFR qui l'a signalé ici.)
Pour l'énergie, le rapport est de 25/49, soit pratiquement 1/2 à 1/98 près.

Si vous en voyez d'autres, merci de compléter cette liste.

Cordialement.
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[stefjm]

Merci à mc222

Salut, dans le même style,

Pour une petite boule lachée du sommet d'une grosse boule, si la boule glisse, l'angle de décrochage est :

[invite499b16d5]

2) La boule de Bowling qui roule sans glisser à 5/7 de sa vitesse initiale. (Merci à LPFR qui l'a signalé ici.)
Pour l'énergie, le rapport est de 25/49, soit pratiquement 1/2 à 1/98 près.

Juste une suggestion: pour moi, la "curiosité", ce n'est pas le 5/7, ce serait plutôt de savoir d'où il sort!
Parce que s'il s'agit de la racine de 1/2, c'est déjà beaucoup moins curieux!

[stefjm]

Juste une suggestion: pour moi, la "curiosité", ce n'est pas le 5/7, ce serait plutôt de savoir d'où il sort!
Parce que s'il s'agit de la racine de 1/2, c'est déjà beaucoup moins curieux!

Pourquoi?

C'est bien cela qui est curieux et intéressant.
5/7 est une des meilleures approximations de .
En fraction continue [0 1 2 2].

En partant de loi de la mécanique continue, on tombe parfois sur des entiers étonnants, qui approximent au mieux des grandeurs classiques.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6754323456711]

Pourquoi?

7 est un nombre premier jumeau avec 5

Patrick

[invite499b16d5]

7 est un nombre premier jumeau avec 5

Allons bon! Je sens poindre à l'horizon quelque chose comme "le paradoxe des jumeaux de Poincaré"...

[stefjm]

7 est un nombre premier jumeau avec 5

Oui et ?
On demande un physicien spécialiste en théorie des nombres?

[invite6754323456711]

Oui et ?

Qui connaît la fonction Zêta connaît le monde. Les nombres premiers constituent les "atomes" indispensables du royaume des nombres.

Patrick

[stefjm]

Qui connaît la fonction Zêta connaît le monde. Les nombres premiers constituent les "atomes" indispensables du royaume des nombres.

D'accord, mais le lien avec la physique de ce fil?

[invite499b16d5]

Qui connaît la fonction Zêta connaît le monde. Les nombres premiers constituent les "atomes" indispensables du royaume des nombres.

Peut-être bien, mais cela ne présume en rien du rapport des nombres avec la Physique. Si j'ai trois pommes, j'ai trois pommes, et on ne peut rien en inférer de plus. Le fait que 3 soit premier n'a vraiment rien à faire avec la réalité!

[invite6754323456711]

D'accord, mais le lien avec la physique de ce fil?

Le même que celui-la non ?

Patrick

[invite6754323456711]

Le même que celui-la non ?

Plus de précision

Les fonctions Zéta de Riemann troublent encore de nos jours les physiciens, qui font une analogie entre la distribution des nombres premiers et les distributions aléatoires que l’on rencontre dans la nature. C’est réellement magique, comment un comportement aléatoire qui par définition ne peut pas être défini par une loi, peut révéler aux physiciens quelques propriétés et encore plus énigmatique ces propriétés peuvent être connues grâce à l’études des nombres premiers.

Comme le dit Youri Manine, directeur de l'Institut Max-Planck de Bonn : " Les idées les plus profondes de la théorie des nombres présentent une ressemblance considérable avec celles de la physique théorique moderne. Comme la mécanique quantique, la théorie des nombres fournit des modèles de relations entre le discret et le continu, et met en valeur le role des symétries cachées. On souhaiterait espérer que cette ressemblance ne soit pas fortuite, et que nous soyons en train d'apprendre de nouveaux mots sur le monde dans lequel nous vivons, dont nous ne comprenons pas encore le sens ".

En résumé, les nombres premiers ont une distribution " stochastique " : on a une loi de densité régulière, la probabilité pour qu'un nombre x soit premier est de l'ordre de l / log x mais le comportement local est imprévisible : il y a des oscillations. En quelque sorte, la distribution des nombres premiers se comporte comme la distribution des molécules dans un gaz parfait. Comme on le verra, cette analogie avec un phénomène physique peut se révéler féconde.

http://gallois.blogspace.fr/529056/f...se-de-Riemann/

Patrick

[invite7ce6aa19]

Si vous en voyez d'autres, merci de compléter cette liste.

Cordialement.

Bonjour,


J'en profite pour citer la plus grande découverte en physique du solide de ces 20 dernières années: L'efffet Hall Quantique Fractionnaire (2 prix Nobel).

On trouve des rapports fractionnaires n/m dont certains ne sont pas encore expliqués (ou plutôt contreversés). En géneral quand on tombe sur de tels fractions et que celles-ci sont robustes vis a vis de changement de paramëtres expérimentaux l'explication est en termez d'invariants topologiques..


Pour prendre un exemple encore plus connu sont les classes d'universalités issues du groupe de renormalisation qui concernent les transitions de phase du second ordre. Toutes les grandeurs physiques s'expriment en fonction d'exposants qui ne dépendent en rien de la nature du phénomène et ne dépendent que de la dimension de l'espace physique et de la dimension de l'espace du paramêtre d'ordre. Ces travaux ont été récompensés également par un prix Nobel.

[Nicophil]

Bonjour,

La boule de rayon 1 m qui a un volume de 4/3 pi m³.

[stefjm]

Bonjour,
Réveil d'un ancien fil.
Merci aux participants et aux réponses déjà apportées.

Effectivement, il y a les coefficients liés aux calculs des périmètre, surfaces et volume de la sphère.

Périmètre du cercle :
Aire du disque :
Aire de la sphère :
Volume de la boule :

En se contentant des dimensions habituelles.

Cordialement.

[invited9b9018b]

Bonjour,

Je ne sais pas si c'est le genre de réponses attendues, mais les indices adiabatiques de certains gaz sont des rapports d'entiers (5/3, 7/2)...
(en bonne approximation)

[stefjm]

Merci, c'est tout à fait dans la ligne de recherche.

[coussin]

Polarisabilité statique d'un atome d'hydrogène : 9/2 a0^3

[stefjm]

Exact.
T'étais même embêté avec des 4pi qui trainaient en SI.
Merci.

[coussin]

On a parlé de la fonction Zeta en première page…

[invited9b9018b]

Ah et un autre exemple qui me revient maintenant : les résonances orbitales, et en particulier, les lacunes de kirkwood : http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Kirkwood_Gaps.svg

A+

[stefjm]

On a parlé de la fonction Zeta en première page…

-1/12 est aussi la «somme» des entiers positifs:


Cela a-t-il un lien avec la polarisabilité statique de l'atome d'hydrogène?

Edit :http://terrytao.wordpress.com/2010/0...-continuation/

Ah et un autre exemple qui me revient maintenant : les résonances orbitales, et en particulier, les lacunes de kirkwood : http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Kirkwood_Gaps.svg

Intéressant!
Je connaissais la loi de Bode en binaire pour les planètes mais pas cette répartition de Kirkwood.
Merci.

[invite76543456789]

-1/12 est aussi la «somme» des entiers positifs:

C'est exactement la meme formule en fait, c'est parce que la serie qui definit zeta sur Re(z)>1 (mais zeta est définie autrement ailleurs), vaudrait la somme des entiers positifs en -1 et que zeta vaut -1/12 en -1, qu'on s'autorise a écrire cette formule.

[stefjm]

Bonjour,
J'ajoute un superbe pour la limite de Betz signalé par Julien39100
http://forums.futura-sciences.com/ph...ml#post5154098
Il s'agit du rendement maximum d'une éolienne.

Si vous en voyez d'autres...

Cordialement.

[stefjm]

Bonjour,
J'ajoute à la liste



Temps de coalescence de deux masses séparé d'une distance r.

Intéressant également le produit des moyennes arithmétique et (géométrique au carré) des masses considérées.


Merci à Gilgamesh

On peut faire le calcul analytique direct très simple avec le temps de coalescence τ entre deux masses m₁ et m₂ séparées par une distance r.

τ = (5/256) (c⁵/G³)r⁴/[m₁m₂(m₁+m₂)]

[stefjm]

Encore merci à Gilgamesh pour m'avoir signaler cette page (et ses lien) qui fourmille de rapport improbable.

https://en.wikipedia.org/wiki/Two-bo...ral_relativity

http://forums.futura-sciences.com/as...ml#post6100671

[andretou]

La formule de Rydberg, ça compte ?...
https://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_de_Rydberg



dans laquelle n₁ et n₂ sont des entiers.

[andretou]

Stefjm, pourrais-tu stp faire un tableau récapitulatif ?

[stefjm]

Merci. Bien sûr que cela compte. Une des plus jolie relations en plus.

[invite69d38f86]

les nombres entiers etant des fractions particuliere je propose le nombre 3 qui est
le nombre de générations des leptons en plus d'etre la valeur de pi pour les ingénieurs.