Des phénomènes critiques aux champs de jauge - Michel LE BELLAC

[julien_4230]

Bonjour,

Face à un livre aussi pédagogique (je parle de son cours), je ne peux qu'être éblouï et comprendre... si et seulement s'il existe des corrections à ces exercices.
Car en effet, je voudrais faire tous les exercices de chaque chapitre étant lié à mon programme scolaire. En plus de mon cours et de mes TD, il est dans mes habitudes de compléter mes connaissances - d'une façon acharnée (s'il y a des corrections, bien sûr) -. Mais sans correction, il ne m'est pas utile d'utiliser un livre d'exercices, et je trouve que certains sont très difficile, à la limite de l'infaisable pour certaines questions... Le cours est cependant vraiment bien, clair, rigoureux, appréciable, mais ce qui est vraiment dommage, c'est qu'il n'y a a priori aucune correction/indication, sauf le renvoie à une bibliographie inconsultable par l'étudiant...

Ainsi, existe-t-il quelque part, sur le net par exemple, une correction à ces exercices ? Pourriez-vous m'y indiquer, si par bonheur il en existe une (comme dans son livre de Physique Quantique) ?

Je vous remercie bien,

Très sincèrement,
-----

[julien_4230]

Bien, il n'existe pas de corrigé de ces exercices... Comment peut-on ainsi progresser ?

[stefjm]

Bien, il n'existe pas de corrigé de ces exercices... Comment peut-on ainsi progresser ?

En faisant l'exercice plutôt qu'en en lisant la solution et en croyant avoir compris?

[julien_4230]

Mais une correction n'est pas faite pour "être lue"... Elle est faite pour aider l'étudiant s'il n'y arrive pas après avoir bien cherché ! (enfin c'est comme cela que je fonctionne)

[A voir en vidéo sur Futura]

[stefjm]

Je crois que c'est un peu comme les mots croisés.
Quand on a la solution, on ne la cherche plus.

Et puis, il faut bien défendre le forum de FSG qui aide les étudiants qui ont cherché.

Cordialement.

[invite8ef897e4]

Bonjour julien_4230,

c'est une tres bonne attitude que de vouloir faire les exercices, ils sont une part integrale et essentielle. Sans eux, le lecteur n'a que l'illusion de faire plein usage de son livre. Gardez a l'esprit a l'esprit que ce n'est pas grave si vous butez sur l'un d'eux. Il est beaucoup plus important de cherchez a les faire tous. Ne vous inquietez pas, vous pouvez y revenir plus tard, il est probable que quelque chose d'evident vous echappe pour le moment. Generalement, je crois qu'il ne sert pratiquement a rien que l'on vous donne la solution de toute maniere. Si l'exercice etait indispendable a la comprehension conceptuelle, il serait donne en exemple (pourvu que le bouquin soit bien fait, ce qui est le cas du le Bellac). Si l'exercice est important seulement pour ses applications pratiques, vous ne tarderez pas a en connaitre la methode de toutes manieres.

[invite54165721]

Bonjour,

J'aimerais avoir vos commentaires sur cette phrase du livre:

A une théorie quantique des champs dans un espace à D-1 dimensions (c'est à dire un espace-temps de dimension D) correspond un système statistique dans un espace à D dimensions.

Le Bellac met en avant le caractère fructueux
de ce rapprochement sans se prononcer sur sa nature physique éventuelle.
D'autres pensent que dès qu'une mesure quantique n'a pas accès à tous les degrés de liberté (c'est le cas pour toute mesure effectuée en un temps fini!) il apparait un environnement thermodynamique avec température, entropie etc.

[mariposa]

Bonjour,

J'aimerais avoir vos commentaires sur cette phrase du livre:

Le Bellac met en avant le caractère fructueux
de ce rapprochement sans se prononcer sur sa nature physique éventuelle.
D'autres pensent que dès qu'une mesure quantique n'a pas accès à tous les degrés de liberté (c'est le cas pour toute mesure effectuée en un temps fini!) il apparait un environnement thermodynamique avec température, entropie etc.

Bonjour,

Pourrais-tu préciser la page ou éventuellement le chapitre/paragraphe?

Merci.

[invite54165721]

Dans mon édition c'est page 328 dans le chapitre correspondances.
Je connais la réponse habituelle:
la rotation de Wick et le passage à la métrique euclidienne sont des outils mathématiques exploitant une similitude des formules dans des domaines physiques différents mais sans rapport physiques réels.
Bien que cela reste marginal certains auteurs donnent du crédit à la possibilité théorique de mesurer des effets thermiques liés aux situations ou existe un "horizon" nous masquant des degrés de liberté.
J'ai trouvé un lien sur ce sujet:
http://arxiv.org/abs/0911.5004

[mariposa]

Dans mon édition c'est page 328 dans le chapitre correspondances.
Je connais la réponse habituelle:
la rotation de Wick et le passage à la métrique euclidienne sont des outils mathématiques exploitant une similitude des formules dans des domaines physiques différents mais sans rapport physiques réels.

j'ai lu cette phrase. La démonstration est bien faites et effectivement comme (presque) tout le monde il ne fait aucun commentaire sur un sens éventuel.


Sur l'exploitation de cette équivalence (quantique/statistique), je ne connais rien du tout mais me semble que ce que l'on appelle la condition KMS est l' exploitation de cette équivalence ( exemple Alain Connes). il me semble qu'Alain Connes explique l'origine du temps comme l'expression d'un effet d'équilibre thermodynamique statistique. A ne pas confondre avec les approches de Prigogine pour qui le temps est l'expression de l'irréversibilité des phénomènes. Cela a me semble-t-il un rapport avec des problèmes de conditions aux limites du big-bang dans les analyses de Hawking: la condition sans bords.

[julien_4230]

Rah... Bon sang, je n'en suis pas encore là dans le livre ! Je me creuse la tête sur la renormalisation.

[julien_4230]

Tiens, par exemple pouvez-vous m'aider à l'exercice 4 du chapitre deux, première question ?
Comment trouvez-vous la valeur de M ?

Moi je dérive fonctionnellement par rapport à M1, et j'ai l'équation :

(champ nul)

Il faut que je résolve cette équation différentielle non linéaire d'ordre deux......... Mwais ! Aidez-moi s'il vous plaît...

[invite54165721]

Il faut que je résolve cette équation différentielle non linéaire d'ordre deux.........

où M est une fonction constante...

[julien_4230]

(rires) évidemment j'ai eu cette intuition... Champ nul = M fonction constante, pas vrai ?

Merci infiniment !

[invite54165721]

Pour la suite de l'exercice (conséquences physiques) j'ai trouvé ceci:
Goldstone
sur les corrélations transverses à M1.

[mariposa]

Tiens, par exemple pouvez-vous m'aider à l'exercice 4 du chapitre deux, première question ?
Comment trouvez-vous la valeur de M ?

Moi je dérive fonctionnellement par rapport à M1, et j'ai l'équation :

(champ nul)

Il faut que je résolve cette équation différentielle non linéaire d'ordre deux......... Mwais ! Aidez-moi s'il vous plaît...

Bonjour,

Il faut faire attention à bien faire le rapport entre les maths et la physique.

Tu obtiens une équation différentielle non linéaire du second ordre. En général ce genre de truc est insoluble. Heureusement le problème n'est pas là. Le problème est d'extraire de cette équation les propriétés physiques observables.

C'est la raison pour laquelle il est mis en place une stratégie générale où les propriétés physiques observables sont rattachées aux fonctions de corrélations découlant d'un champ quelconque F(r,t). un champ peut être (presque) exactement décrit par une fonction de distribution jointe la plus générale d'où découle toutes les autres.


Dans ton équation en M, si tu négliges les corrélations introduites par le terme en gradient, tu as une équation algébrique en M qui te donne:


M2 = -3.r°/u°

r° vaut zéro lorsque T = Tc et donc

M = 0 et il n'y a pas d'aimantation.

et r° est proportionnel à T-Tc

Donc en dessous de la température critique M2 est positif et donc:

on a 2 solutions de signes contraires pour pour M


M° (T) et -M° (T) quelque soient les points x et y du cristal bidimensionnel. Autrement dit l'aimantation est uniforme.

ce qui veut dire que la Solution M = 0 à la température critique est devenue instable an baissant la température et prend une des 2 valeurs possibles. En pratique tu auras 2 types de domaines. L'un où le champ est dirigé suivant x, l'autre dirigé suivant -x.


Cela correspond à la théorie mathématique du champ moyen à la Landau où l'on néglige les fluctuations. Cela veut dire que l'aimantation en un point n'est que la réponse du au champ moyen produit par tous les autres aimants.

C'est exactement la même chose que le modèle d'Hartree-Fock pour les électrons. Dans ce cas un électron voit tous les autres électrons comme si ces derniers étaient étalés dans leur fonction d'onde.

La grosse différence entre le modèle de champ moyen de Landau et le modèle de champ moyen d'Hartree-Fock est que l'on peut développer une théorie autour d'un point singulier (la transition de phase)

Il faut donc aller au-delà du champ moyen, cad tenir compte des fonctions de corrélations du champ. La stratégie classique est de considérer le terme en gradient comme une perturbation. Hélas ce terme est du même ordre de grandeur que le terme à perturber. C'est pourquoi cela va amener la théorie du groupe de renormalisation.

[Armen92]

Bonsoir,
Pour comprendre le rôle de la renormalisation pour la description des phénomènes critiques, je recommande le petit (et magnifique) article de Maris et Kadanoff ``Teaching the renormalization group'', Am. J. of Phys, 46, 652(1978). Difficile de faire plus illuminant.

[Armen92]

(rires) évidemment j'ai eu cette intuition... Champ nul = M fonction constante, pas vrai ?

Pas forcément : tout dépend des conditions aux limites ! A une dimension d'espace, cette équation donne des fonctions de Jacobi mais possède aussi des solutions de type soliton (un kink par exemple si on impose , une paire kink-anti-kink si on impose , etc., etc.)

[Armen92]

..................
C'est exactement la même chose que le modèle d'Hartree-Fock pour les électrons. Dans ce cas un électron voit tous les autres électrons comme si ces derniers étaient étalés dans leur fonction d'onde.
......................

Cette affirmation est plus qu'abusive et risque de créer des contresens graves : on peut faire du Hartree-Fock avec particules. La théorie de Landau décrit au contraire des systèmes dans la limite thermodynamique.
Le caractère nécessairement macroscopique des systèmes que décrit Landau est très bien expliqué par Le Bellac quand il analyse l'effet d'un champ selon que l'on a 2 spins ou spins.

[mariposa]

Cette affirmation est plus qu'abusive et risque de créer des contresens graves : on peut faire du Hartree-Fock avec particules. La théorie de Landau décrit au contraire des systèmes dans la limite thermodynamique.
Le caractère nécessairement macroscopique des systèmes que décrit Landau est très bien expliqué par Le Bellac quand il analyse l'effet d'un champ selon que l'on a 2 spins ou spins.

Bonjour,

Je comprend bien cela m'est l'équivalence dont je parle concerne uniquement le concept de champ moyen dont le fondement est de réduire un problème à N corps en un problème à 1 corps. Donc sous cet angle de vue modèle de Hartree-Fock et modèle de Landau c'est "équivalent" relativement au concept de champ moyen


Cette réduction est une stratégie générale. Un autre exemple qui a un rapport ce coup si avec les transitions de phase est l'approximation de la variable lente (ou encore des modes esclaves) dans la théorie des bifurcations. Cette approximation permet de réduire une dynamique non linéaire à N corps en une dynamique à quelques corps voir 1 seul corps. Ce n'est pas à proprement parlé une théorie de champ moyen, mais bien une réduction dimensionnelle de la dynamique.


La théorie BBGKY est un autre exemple de stratégie qui permet de construire une hiérarchie couplée de fonctions de corrélations à partir d'une distributions jointe à N corps. L'équation de Boltzmann à 1 corps résulte de la fermeture de la chaine qui permet de réduire la dynamique à 1 particule (Ici c'est une fonction de distribution de probabilité ). D'ailleurs cette théorie est la source lointaine du groupe de renormalisation.

[julien_4230]

Cette approximation permet de réduire une dynamique non linéaire à N corps en une dynamique à quelques corps voir 1 seul corps.

Vous voulez dire qu'il est possible de résoudre approximativement des problèmes à N corps ?!

[mariposa]

Vous voulez dire qu'il est possible de résoudre approximativement des problèmes à N corps ?!

Bonsoir,

Tout à fait, c'était même mon coeur de métier.

[Armen92]

Vous voulez dire qu'il est possible de résoudre approximativement des problèmes à N corps ?!

Evidemment qu'il est possible de résoudre approximativement un problème à corps (non-trivial) !!! Il y a mille méthodes, dont celle du pauvre... qui consiste à délaisser les interactions et il suffit alors de faire des produits tensoriels.

On sait faire mieux, c'est sûr. En dehors des méthodes de type champ moyen, il y a (en gros) deux classes de schémas approximatifs : les méthodes perturbatives où on essaie de resommer une classe de diagrammes pour travailler à un ordre infini, et les méthodes variationnelles.

Le choix de la "bonne" méthode relève évidemment du flair et du savoir-faire

[mariposa]

Evidemment qu'il est possible de résoudre approximativement un problème à corps (non-trivial) !!! Il y a mille méthodes, dont celle du pauvre... qui consiste à délaisser les interactions et il suffit alors de faire des produits tensoriels.

résoudre un problème en délaissant les interactions, ce n'est pas par principe un problème à N corps, puisque c'est un problème à 1 corps.

On sait faire mieux, c'est sûr. En dehors des méthodes de type champ moyen, il y a (en gros) deux classes de schémas approximatifs : les méthodes perturbatives où on essaie de resommer une classe de diagrammes pour travailler à un ordre infini, et les méthodes variationnelles.

Le choix de la "bonne" méthode relève évidemment du flair et du savoir-faire

Curieux ta présentation. C'est vrai qu'il y a mille méthodes, mais le problème ne se pose comme çà.

Quelques remarques:

1- D'abord la première idée est qu'aucune méthode ne peut de décrire l' ensemble des propriétés d'un système à N corps. Il faut donc pour un même problème trouver des stratégies différentes pour chaque propriété.En espérant pouvoir englober 2 modèles dans un seul.

2- La plupart des modèles ne dérivent pas des premiers principes, mais s'en inspirent sur le plan qualitatif, ce qui compte c'est le guidage par les résultats expérimentaux.. c'est notamment le rôle extrêmement important de la théorie de représentations des groupes.

3- les techniques variationnelles ne peuvent par principe que résoudre des problèmes où l'on cherche une solution optimale. C'est par exemple le niveau fondamental d'un système qui est un minimum.

4- Pour appliquer une technique de perturbation, cela veut dire que l'on dispose d'une approximation à l'ordre zéro convenable. C'est justement le rôle de l'approximation de Hartre-Fock que de fournir une bonne approximation (au demeurant H-F c'est un calcul variationnel).

Pour aller au-delà de HF on peut pour les petits système faire de l'interaction de configuration. On peut faire à l'ordre zéro HF polarisé de spin qui peut amélioré ou détérioré selon les circonstances l'ordre zéro.

A partir de HF on peut fabriquer une quasi-particule, en habillant un électron en champ moyen parles interactions résiduelles avec les autres électrons. Cette méthode justifie le succès dans la théorie des bandes.

Etc.. Etc...

[julien_4230]

Dîtes-moi, pour l'exercice 5, vous utiliseriez directement la formule (44) n'est-ce pas ? Qui plus est, pour calculer D(x,y), vous utiliseriez la formule générale de D(x,y) p. 78, n'est-ce pas ?
Tandis que pour le 6, troisième question, vous utiliseriez une généralisation de ce qu'il a fait p. 74 n'est-ce pas ?

En vous remerciant bien !