Matrice de jones et changement de repère

[Ecthelion]

Bonjour,

Mettons que j'ai un élément optique représenté par une matrice M.
L'axe optique est selon z et le champ électrique selon x,y. Les axes x',y' de l'élément optiques sont à un angle phi autour de l'axe z par rapport aux axes x,y. Cette rotation est représenté par la matrice R(phi)

D'après le formalisme de Jones, on écrit :
R^-1(phi)*M*R(phi) ou R(-phi)*M*R(phi)
ensuite, aucun problème pour trouver le champ électrique après l'élément optique.

Ma question est donc la suivante.
Je ne comprends pas pourquoi il faut faire "R(-phi)*M*R(phi)". Ce que je veux dire, c'est que de ce que je me souviens de me cours de mathématiques, si on veut passer un objet (qui de mémoire est un vecteur) dans une nouvelle base, on multiplie seulement ce vecteur par la matrice de changement de base. Par exemple R(phi) pour la rotation précédente.
Le fait de faire "R(-phi)*M*R(phi)" est-il donc simplement dû au fait qu'ici, l'objet est une matrice et non un vecteur?

J'espère avoir été clair (ce qui n'est pas souvent le cas...).

Merci d'avance.
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[Tiluc40]

Bonjour,

Effectivement, tu n'es pas trés clair dans ton exposé des faits.
Si j'ai bien suivi, M est la fonction de transfert de ton composé optique dans le repère (x',y'). Tu envoies une onde polarisée dont la polarisation est exprimée dans le repére (x,y). Notons le vecteur de polarisation P=(x0, y0) dans le repère (x,y).

R()*P=(x'0, y'0) permet d'exprimer le vecteur P dans le repère (x',y'). Il s'agit toujours du même vecteur, c'est juste le repère qui a tourné.
M*R()*P est dont le nouveau vecteur de polarisation, après traversée de l'élement optique M, mais ses coordonnées sont toujours exprimées dans le repère (x',y'). Ensuite tu multiplies par R() pour revenir dans le repère (x,y)

Au total, tu as bien fait R(-)*M*R()*P. C'est équivalent à dire que la matrice de transfert du système optique dans le repère (x,y) vaut
R(-)*M*R()

Est-ce plus clair ?

[Ecthelion]

Alors oui, M est une matrice représentant l'objet optique. Par exemple une lame demi-onde, ou bien un tenseur diélectrique que l'on insèrerait dans l'équation d'onde.
Si M est dans une base (x',y') et l'onde dans le repère (x,y), on fait donc "R(phi)*M*R(-phi)". Pas de problème pour ça.

Par contre, si on a un vecteur "V" dans un repère (x',y') que l'on veut passer dans un repère (x,y), on fait "R(phi)*V" et non "R(phi)*V*R(-phi)".

Alors que dans les deux cas, on utilise un changement de base afin de passer d'une base (x',y') à une base (x,y). Mais dans un cas, on fait "R(phi)*M*R(-phi)" et dans l'autre "R(phi)*V". Est-ce simplement parce que M est une matrice et V un vecteur que l'on fait différemment?

[Tiluc40]

Par contre, si on a un vecteur "V" dans un repère (x',y') que l'on veut passer dans un repère (x,y), on fait "R(phi)*V" et non "R(phi)*V*R(-phi)".

Encore heureux, car ça n'a aucun sens (ce produit P*R n'est pas défini).

Alors que dans les deux cas, on utilise un changement de base afin de passer d'une base (x',y') à une base (x,y). Mais dans un cas, on fait "R(phi)*M*R(-phi)" et dans l'autre "R(phi)*V". Est-ce simplement parce que M est une matrice et V un vecteur que l'on fait différemment?

Absolument pas. Tu n'as pas compris la différence entre le vecteur (ou le tenseur) et sa représentation dans une base donnée ((x,y), (x'y'), ...).

P est le vecteur de coordonnées (x₀, y₀) dans la base (x,y) [ses coordonnées dans la base (x',y') s'expriment (x_'0= r₁₁*x₀+r₁₂*y₀; y'₀=r₂₁*x₀+r₂₂*y₀), où les r_ij sont les coefficients de la matrice de changement de repère.]

Je vais noter M_x'|y' la représentation de l'élément optique M dans le repère (x', y'). M_x|y sa représentation dans le repère (x,y). Là aussi, les 2 matrices caractérisent le même composant optique, mais dans des repères différents. Je prends la même notation pour P. R représente la matrice de changement de repère (x,y) --> (x', y'). J'espère qu'il est clair pour toi que P_x'|y'=R*P_x|y

M_x|y*P_x|y te donne le nouveau vecteur de la polarisation de la lumière après traversée de l'élément optique M, nouveau vecteur dont les coordonnées sont exprimées dans le repère (x,y).
M_x'|y'*P_x'|y' te donne le même vecteur de la polarisation de la lumière dont les coordonnées sont exprimées dans le repère (x',y'). R^-1*M_x'|y'*P_x'|y' représente ce même vecteur exprimé dans le repère (x, y).

De la façon dont tu as présenté les choses, j'ai déduit que dans ton problème, tu n'as que P_x|y et M_x'|y'.
En décomposant le calcul comme je te l'ai expliqué dans mon post précédent, tu vois que tu obtiens l'expression du vecteur polarisation dans le repère (x,y), après avoir traversé l'élément optique. La décomposition du calcul permet de visualiser à mon avis la fameuse relation M_x|y=R^-1*M_x'|y'*R, qu'il faut juste comprendre comme : J'ai un vecteur dans le repère (x,y). Je connais la matrice de transfert M_x'|y' de mon élément optique dans le repère (x', y'). Pour connaitre la matrice de transfert de M dans le repère (x,y), je multiplie donc le vecteur par R pour passer ce vecteur dans le repère (x'y'), puis je multiplie par M_x'|y' pour obtenir le vecteur polarisation à la sortie de l'élément optique M, dans le repère (x', y'), puis je multiplie par R^-1 pour revenir dans le repère (x,y)

J'espère que le fait d'avoir allongé l'explication ne l'a pas rendue trop confuse (désolé). Je serais tenté de dire de t'arrêter de me lire dès que tu as compris

[A voir en vidéo sur Futura]

[Ecthelion]

Super, merci pour l'explication.