Salutations.

Une question se pose à moi, concernant les symétries en mécanique quantique, et plus précisément celles d'un oscillateur harmonique bidimensionnel isotrope. Cette question est principalement "mathématique", mais je la pose en "physique" parce que a) le problème de départ est physique et b) je le traite en physicien, c'est-à-dire sans toute la rigueur que demanderait la mathématique. Quand je parle de représentation d'une algèbre de Lie, je vois (à peu près) de quoi je parle ... mais pas rigoureusement.

Considérons l'animal, dont le hamiltonien (adimensionné) est :



où , sont des coordonnées et , leurs moments conjugués.

Après un certain nombre de calculs désagréables, on montre que :







sont d'autres quantités conservées, vérifiant les relations de commutation :



C'est-à-dire que les $F_i$ sont les bases d'une représentation de l'algèbre de Lie . Et aussi de l'algèbre de Lie puisque c'est la même que . N'est-ce pas ?

Bon. Ma question est : tout ceci est bien beau, mais quel est le groupe qui agit sur mon oscillateur harmonique ? ou ? Car ils sont différents, les bougres. À part éventuellement en construisant d'une manière ou d'une autre des représentations du bon groupe dans l'espace des solutions de l'équation de Schrödinger, je ne vois pas trop comment départager les deux possibilités.

Merci.

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