Sens physique de la relation de commutation

[Lévesque]

Je sais que si deux opérateurs A et B commutent, alors l'ordre d'application de ces opérateurs n'a pas d'importance. Donc, une mesure associée à un opérateur A n'influence pas le résultat d'une mesure associée à un opérateur B. Je comprends donc très bien le sens physique de l'affirmation "deux opérateurs commutent". Et par le même raisonnement, je comprends très bien le sens de l'affirmation "deux opérateurs ne commutent pas".

Mais si deux opérateurs ont une relation de commutation quelconque:

[A(var),B(var)]=f(var), (1)

alors j'ai beaucoup de difficulté à comprendre le sens physique de la relation de commutation. Si on se place toujours dans l'optique de la mesure, alors je comprends que la relation de commutation nous dis à quel point la différence est grande si on inverse l'ordre des mesures(?). Mais, disons que A et B soient des champs objectifs (champ électrique, champ magnétique, champ gravitationnel). Alors, que peut bien signifier la relation de commutation (1) entre ces deux champs? Je crois que ma question peut être formulé ainsi "que signifie une relation de commutation entre deux objets qui ne sont pas des opérateurs?"

Peut-être dois-je trouver ma réponse en mécanique classique (quelle est la quantité physique associée au crochet de poisson...)

En fait, c'est que je vois souvent (en théorie quantique des champs) des énoncés du type "les champs doivent satisfaire à cette relation de commutation", et je ne comprends pas pourquoi.

Merci pour vos explications et/ou sources.

Simon
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[invite19431173]

[A(var),B(var)]=f(var),

Si je ne dis pas de bêtise, il y a là une erreur :

il s'agit de :

A[B(var)] = B[A(var)]

Ce n'est pas pareil, si je ne dis pas de bêtise, encore une fois...

[Lévesque]

En fait:

[A,B]=AB-BA=fonction quelconque

où A B et f dépendent de certaines variables var.

[GillesH38a]

qu'entends tu par "relations de commutation entre des objets qui ne sont pas des opérateurs"? si ce sont des nombres, ils commutent necessairement!

[A voir en vidéo sur Futura]

[Lévesque]

Tu as raison, je m'explique mal. Je veux plutôt dire une relation entre des objets qui ne sont pas interprétés dans une théorie de la mesure. Mais peut-être que c'est impossible. Par exemple, peut-on considérer une relation de comutation entre des tenseurs énergie-impulsion? En théorie quantique des champs, est-ce que la fonction d'onde est bien un opérateur associé à une mesure? Si non, alors on a tout de même une relation de commutation entre des champs? Je veux dire, si on considère une matrice représentant un champ objectif, et non un champ de probabilité, que signifie la relation de commutation?

Que signifie le crochet de Poisson (l'équivalent classique du commutateur?) entre deux variables canoniques en mécanique classique? Ces variables canoniques ne sont pas, dans ce contexte, des opérateurs associés à une mesure?

Merci,

Simon

[Lévesque]

Peut-être serait-il plus simple de m'expliquer pourquoi les commutateurs sont si importants. Pourquoi même parfois j'ai l'impression qu'ils sont des conditions de départ à une théorie donnée.

Merci encore.

Simon

[GillesH38a]

C'est une bonne question...ils apparaissent systématiquement entre des variables conjuguées classiques, mais je ne sais pas très bien si on peut en donner une interprétation simple...c'est en tout cas un principe de quantification. Un opérateur A conjugué avec un autre B apparait comme la dérivée par rapport à la variable b en "représentation B", d'ou la relation de commutation comme avec x et px.

[Rincevent]

C'est une bonne question...

ouais

le seul commentaire têt pas complètement trivial (et encore) que ça m'inspire ça serait : ce sont ces relations qui impliquent celles du type Heisenberg, lesquelles peuvent se traduire par une quantification des "cellules élémentaires" qui pavent l'espace des phases, ces cellules ayant la dimension physique d'une action (cf par exemple le fameux calcul des propriétés d'un gaz de Fermi à T=0).

mais peut-on inversement dire que la non-commutation avec le i h\bar découle de la quantification de la grandeur action, je sais pas... je suis pas persuadé qu'il y ait moyen de montrer qu'avec des nombres qui commutent gentiment on ne peut pas avoir une quantification de l'action : je dirais a priori qu'avec que des entiers ça donne une possible quantification commutative...

bref, tout ça c'est rien de plus que des idées jetées en l'air...

m'enfin, pour finir, si je me souviens bien, y'a moyen d'obtenir une géométrie non-commutative (ou des machins quantiques) en compactifiant la supergravité maximale en 11d (mtheory va bien nous confirmer ou nous infirmer ça), ce qui signifie qu'il doit peut-être pouvoir y avoir une "explication" "plus simple"...

[GillesH38a]

Il y a en tout cas un cas simple d'operateurs non commutatifs : les rotations ordinaires dans un espace de dimension 3 (>2 en tout cas) , qui se traduisent par les relations de commutation des opérateurs de moment cinétique (en premier lieu les matrices de Pauli) En combinant une petite rotation autour de Ox, puis de Oy, puis en revenant en arrière autour de Ox, puis de Oy, on a tourné autour de ..Oz.

[Lévesque]

Dans vos réflexions, vous n'avez pas parlé de symétries. Une relation de commutation définie entièrement un groupe de Lie. Connaissant la relation de commutation, il suffit de trouver un groupe de matrices quelconques qui satisfont à celle-ci pour trouver une représentation de ce groupe. Étant donné quand théorie des champs le concept de symétrie est très présent, ne pourrait-on pas y voir là un lien quelconque?


Merci encore,

Simon

[Lévesque]

Voilà quelques citations pour faire avancer la discussion.

We have thus found a very natural interpretation of quantum kinematics as described by the commutation rules. The kinematical structure of a physical system is expressed by an irreductible Abelian group of unitary ray rotation in system space. The real elements of the algebra of this group are the physical quantities of the system; the representation of the abstract group by rotations of the system space associates with each such quantity a definite Hermitian form wich "represent" it. If the group is continuous this procedure automatically leads to Heisenberg's formulation; in particular, we have seen how the pairs of canonical variables then result from the requirement of irreductibility, whence the number of parameters in such an irreductible abelian group must be even.

H. Weyl, The theory of groups and quantum mechanics, Dover, p. 275-6 (~1930)

It is a universal trait of quantum mechanics to retain all the relations of classical physics; but whereas the latter interpreted these relations as conditions to which the values of physical quantities were subject in all individual cases, the former interprets them as conditions on the quantities themselves, or rather on the Hermitian matrices which represent them. [...] The commutation rule (11.1) [pq-qp=(h/i)1 (11.1)] is of rather remarkable nature. It is entirely impossible for matrices in a space of a finite number of dimensions, and it alone precludes the possibility that in an -dimensional space q (or p) have only a discrete spectrum of characteristic numbers.

H. Weyl, The theory of groups and quantum mechanics, Dover, p. 94 (~1930)

Voilà ce que je comprends en ce moment, vos précisions ou contributions seront tous appréciées. Dans le passé, on essayait toujours de formuler la MQ en terme de concept ou relations familières. Selon ce que j'ai compris (je cherche plus de détail là-dessus), on peut exprimer les équations fondamentales de la Mécanique classique par les crochets de Poisson. Cherchant à exprimer la MQ par des concepts familiers, on en vena à le faire par les relations de cummutations, l'équivalent quantique des crochets de Poisson. Aujourd'hui, on utilise plutôt l'intégralle fonctionnelle (Propagateur de Feynman) comme équations fondamentales.

Loin d'être un spécialiste de ce qui est discuté ici, la lecture du premier extrait de Weyl me fait croire que l'expression en terme de relation de commutation est fortement liée à la théorie des groupes. Cela reste, pour moi, à éclairer.

Simon

[Lévesque]

Supposons qu’on ait un système S dans un état . Supposons aussi que si on mesure une quantité physique A associée à ce système, on obtienne avec certitude la quantité a, c’est-à-dire

(1)

Pour faire une simple illustration, imaginons que nous fassions tourner notre système autour d’un axe arbitraire. On lui fait donc subir une rotation R. Ainsi, le système devient :

.

On obtient une simple égalité mathématique en appliquant R de chaque côtés de (1)

(2)

Si le système est invariant sous les rotations, il faut absolument que son état transformé soit aussi un état propre de A avec valeur propre a. On a donc

. (3)

Égalisant (2) et (3), on obtient

.

Cela dit, on voit tranquilement apparaître de la théorie des groupes en fort lien avec les commutateurs. Si l'état d'un objet est invariant sous un ensemble de transformations T, alors tout opérateur A correspondant à une mesure sur cet objet doit commuter avec T. Cela me semble très clair. Entre autre, si A et B correspondent à des quantités physiques, alors appliquer A ou B sur un état constitue une transformation. Si l'état est le même avant et après la transformation associée, disons à A, alors A est l'identité en terme de la théorie des groupes. Ainsi, tout opérateur B commutera avec A. Cependant, si A modifie l'état du système, alors à A est associé une transformation g(A) (l'ensemble des transformations A formant toujours un groupe?). Si on fait la mesure de B, on fait aussi subire une transformation g(B) au système (l'ensemble des transformations g(B) formant toujours un groupe?).

D'autres part, j'imagine qu'il est possible que A transforme le système, que B le transforme aussi et que A et B commutent? C'est-à-dire qu'il n'est surement pas essentiel que l'un de A ou B soit l'identité? Quelqu'un pourrait me donner un exemble où A et B commutent malgré que ni l'un ni l'autre ne soit l'identité?

Cela clarifie de beaucoup pour moi le lien entre théorie des groupes et relations de commutation. Cependant, je ne crois pas que cela réponde à la question que j'avais en tête: "Que signifie physiquement le fait que deux champs commutent"? Si la matrice est une transformation, alors j'ai montré que j'ai une certaine compréhension. Mais si la matrice représente un champ, ou un flux, la relation de commutation veut dire quoi?

Merci encore pour votre aide!

Simon

[Lévesque]

Un éclair vient de me traverser l'esprit. Si deux champs n'intéragissent pas, alors il faudrait que les objets les représentant commutent? Si je mesure une quantité sur un champ A, et que ce champ n'interagit pas avec le champ B, alors A commute avec B?

Rien n'est clair, mais soudainement, je crois que la réponse à ma question nécessite de traiter d'interactions si on réfléchi sur une relation de commutation entre des champs A et B...

Quelqu'un peu m'aider?

Merci!

Simon

[spi100]

Salut,
Effectivement certaines relations de commutation se comprennent très bien dans le cadre de la théorie des groupes: c'est par exemple le cas des composantes du moments cinétique.

Une approche possible pour comprendre les relations de commutation du type xp, est celle d'Alain Cones i.e. de dire qu'il faut généraliser la géométrie à une géométrie non-commutative, et que la géométrie classique (commutative) est un cas limite de cette nouvelle géométrie.
C'est à rapprocher de la démarche suivie au début du siècle dernier pour passer de la géométrie euclidienne à la géométrie riemanienne. J'avais groupé ce que j'en avais compris dans ce post http://forums.futura-sciences.com/post106606-39.html
.
En espérant que ça t'aide à avancer dans ta quête

[invitefc6515df]

Pour ma part, je vois l'étude physique d'un système par la Théorie des Groupes (en fait la Théorie de la Représentation des Groupes), la Théorie Quantique des Champs par exemple repose entièrement là-dessus.
Mais la Mécanique Classique peut être aussi vue par une approche avec la Théorie des Groupes (ce qui donne les Crochets de Poisson entre autre).

A cause de cette approche "groupale" de l'étude physique d'un système, on se retrouve avec des relations de commutation (pour les fermions par exemple) et d'anti-commutation (pour les bosons), qui se retrouvent aussi dans la Théorie Quantique (c'est une approximation non-relativiste de la Théorie Quantique des Champs).

Pour la petite histoire, on peut montrer que les Crochets de Poisson sont la limite classique des commutateurs.

Maintenant, d'un point de vue physique, comme un opérateur représente une transformation du système (rotation, excitation d'un état, ...), la non-commutation représente le fait que le système ne sera pas le même si on fait A puis B, ou B puis A.

Pour terminer, j'insiste sur le fait que la physique (du moins fondamentale, mais la Mécanique Classique aussi) se repose presque entièrement sur la Théorie des Groupes, notament avec le Théorème de Noether (qui permet de donner des grandeurs conservées, choses recherchées en physique).

[mtheory]

qu'entends tu par "relations de commutation entre des objets qui ne sont pas des opérateurs"? si ce sont des nombres, ils commutent necessairement!

pas avec des quaternions

[mtheory]

Bon le sujet est vaste et tout prend racine dans la théorie des groupes de Lie et leur application à la mécanique analytique.
En fait la MQ c'est de la théorie des groupe déguisée et la monographie de Dirac utilise la théorie des groupes sans le dire.

On peut classifier de larges classes d'équations différentielles en regardant comment elle se transforment lorsque l'on fait des changements de coordonnées/substitutions dans les expressions f(x,y,y'...).Si l'on parle de transformations analytiques il suffit de connaitre le dévelloppement infinitésimal au premier ordre pour caractériser le groupe de transformation d'une équation.
On voit apparaitre une série d'opérateur linéaire du premier ordre ,les générateurs du groupe.
Pour avoir un groupe pour des transformations données il faut que lés générateurs satisfassent à ces conditions de non commutations ou de commutations que l'on appel algébres de Lie.
En fait dans les détails les opérateur linéaires au premiers ordres définissent des équations matricielles et donc pour que les solutions existent on voit apparaitre ces conditions de commutateurs.
Ce qu'il y a d'intéressant c'est que les équations définies par des groupes de Lie possédent des lois de conservations et d'invariances.
En résumé si je veux une équation différentielle intégrable possédant des lois de conservations et d'invariances données je peux la construire ,inversement si j'ai une équation donné il faut que je regarde si elle a un groupe de Lie donné pour savoir si:
_elle est intégrable.
-comment l'intégrer.
En physique mathématique classique la stratégie est donc de trouver des algorithmes généraux pour intégrer les équations différentielles de la mécaniques par exemple.
C'est la méthode de Hamilton/Jacobi avec les crochet de Poisson qui sont une théorie de Lie plus ou moins implicite (remarquer que la méthode d'intégration à la Jacobi/Hamilton fait intervenir la détermination des intégrales premières ,c'est à dire des quantités conservées).
Les crochet de Poisson sont des invariants canoniques et sont donc lié aux transformations de coordonnées canoniques.
Construire /intégrer une équation de mouvement donnée avec certaines lois de conservations est donc en liaison étroite avec les crochets de Poisson.

Initialement la MQ de Bohr se faisait avec des invariants adiabatiques,qu'on a découvert liés aux crochets de Poisson.
Si je veux des équations différentielles ayant la propriété que hbarre soit un invariant pour l'évolution du système et bien je dois le traduire en terme d'invariant canonique et donc de crochets de Poisson.
De cette manière je suis sûr d'avoir une condition quantique générale pour toutes les équations de mouvements intégrables et quelque soit le système de coordonnées/variables utilisées.
C'est ce qu'a compris Dirac d'où sa formulation de la MQ.
Donc avoir des équations quantiques ,relativistes ,avec des lois de conservations données c'est se donner des conditions de Lie plus ou moins clairement et donc des opérateurs linéaires et des commutateur d'opérateurs linéaires.