RLC Equation différentielle

[invite78f958b1]

Bonjour,
voilà je travaille sur l'équation différencielle d'un circuit RLC mais le résultat me semble suspect.

Je m'explique, pour la décharge d'un circuit RLC (initialement chargé) avec q, on a:


Pas de problème, par après je dois trouver les solutions selon la résistance R (si R est faible, grande, Résistance critique et donc en fonction de l'amortissement)
J'ai un problème à ce niveau là.

Le discriminant étant: (R/L)²-4/LC

Dans le cas où on en régime pseudo périodique (R est faible)
donc on a le discriminant =-4/LC

Ce résultat ne vous semble pas bizarre ?
Parce qu'après la résolution,
je trouve q=Acos (2*sqrt(1/(LC)*T)+Bcos(2*sqrt(1/LC)*T).

Le 2 me dérange en fait.

Et puis si j'effectue le même travail en critique(delta=0), je trouve une R=SQRT(L/C) . Il manque un facteur 2, non ?


Merci de vos conseils
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[vaincent]

Bonjour,
voilà je travaille sur l'équation différencielle d'un circuit RLC mais le résultat me semble suspect.

Je m'explique, pour la décharge d'un circuit RLC (initialement chargé) avec q, on a:


Pas de problème, par après je dois trouver les solutions selon la résistance R (si R est faible, grande, Résistance critique et donc en fonction de l'amortissement)
J'ai un problème à ce niveau là.

Le discriminant étant: (R/L)²-4/LC

Dans le cas où on en régime pseudo périodique (R est faible)
donc on a le discriminant =-4/LC

Ce résultat ne vous semble pas bizarre ?
Parce qu'après la résolution,
je trouve q=Acos (2*sqrt(1/(LC)*T)+Bcos(2*sqrt(1/LC)*T).

Le 2 me dérange en fait.

Et puis si j'effectue le même travail en critique(delta=0), je trouve une R=SQRT(L/C) . Il manque un facteur 2, non ?


Merci de vos conseils

Bonjour,

Avant de chercher les solutions suvant les valeurs de R il faut chercher l'expression de la résistance critique afin de savoir ce que signifira "R faible" ou "R forte". Il suffit pour cela de poser que le discriminant de l'équation caractéristique est égal à 0. On obtient :



Donc si R est très faible devant Rc, les solutions de l'équation caractéristiques sont :



et non pas 2 fois plus car tu as oublié de diviser par 2a !

les solutions de l'équation différentielles sont donc :



En utilisant comme conditions initiales et , on trouve :

[invite78f958b1]

Bonjour,
merci à vous et de m'avoir éclairer sur mon erreur.

Une petite question cependant
Vous précisez que R est petit devant Rc et donc vous en avez déduit que delta=(R/L)²-4/LC était égal à -4/LC.

Je ne comprends pas car ici cela voudrait que R est faible devant -4/LC et non pas Rc.

Merci de vos précisions

[invite78f958b1]

Bonjour,
j'ai un doute pour le cas apériodique (où R est important devant Rc).


Les racines sont réels: -R/L et 0


en applications les mêmes conditions initiales j'obtient a=Qm/(R+L) et b=R*Qm/(R+L)

soit

Est ce bien cela ?
Merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite78f958b1]

Quelqu'un aurait une explication pour cette approximation avec la résistance critique ?

Merci

[stefjm]

Bonjour,
j'ai un doute pour le cas apériodique (où R est important devant Rc).


Les racines sont réels: -R/L et 0

Dans le cas critiques, les racines sont identiques. (racine double)

Réponse en x.e^-x

en applications les mêmes conditions initiales j'obtient a=Qm/(R+L) et b=R*Qm/(R+L)

soit

Est ce bien cela ?

Pas trop.
Ca brule les yeux. C'est pas homogène : R+L !

[invite78f958b1]

Bonsoir et merci de m'aider.

Dans le cas critiques, les racines sont identiques. (racine double)

Oui je suis d'accord mais pour apériodique, le discriminant correspondant est supérieur à 0.

Réponse en x.e^-x

Je ne comprends pas. Vous voulez dire qu'il n'y a pas de b de mon expression pourquoi ?

Je vais vérifier pour l'Homogénéité.

Pouvez vous m'expliquer la phrase de Vaincent:

Donc si R est très faible devant Rc, les solutions de l'équation caractéristiques sont :+ ou -

Le discriminant est (R/L)²-4/LC.


Comment a-t-il fait pour trouver cette solution ? Comment a t-il fait intervenir Rc ?

Merci

[vaincent]

Bonjour,
merci à vous et de m'avoir éclairer sur mon erreur.

Une petite question cependant
Vous précisez que R est petit devant Rc et donc vous en avez déduit que delta=(R/L)²-4/LC était égal à -4/LC.

Je ne comprends pas car ici cela voudrait dire que R est faible devant -4/LC et non pas Rc.

Merci de vos précisions

Non, (R/L)² faible devant 4/LC(on a pas R-4/LC dans le discriminant), ce qui correspond bien à R faible devant Rc et vice-versa.

Pour le régime pseudo-périodique on a R < Rc (pas d'approximation donc), pour le régime critique R=Rc, et pour le régime apériodique R > Rc.

[stefjm]

Je ne comprends pas. Vous voulez dire qu'il n'y a pas de b de mon expression pourquoi ?

Comme c'est une décharge, la charge doit être nulle pour des temps infinis, donc pas de b.
Et comme il y a deux racines, la fonction est de la forme x.e^(-x)
http://fr.wikipedia.org/wiki/Amortis...dique_critique

[invite78f958b1]

(R/L)² faible devant 4/LC(on a pas R-4/LC dans le discriminant), ce qui correspond bien à R faible devant Rc

Excusez moi mais je ne comprends pas. Logiquement d'après la racine, vous avez dû obtenir un discriminant de -1/sqrt(LC). Or, il est de (R/L)²-4/LC. Donc vous avez négligé (R/L)² parce que R est petit devant Rc. Est ce bien ça ?

Comme c'est une décharge, la charge doit être nulle pour des temps infinis, donc pas de b.
Et comme il y a deux racines, la fonction est de la forme x.e^(-x)

d'accord je vais me corriger

Merci

[vaincent]

Excusez moi mais je ne comprends pas. Logiquement d'après la racine, vous avez dû obtenir un discriminant de -1/sqrt(LC). Or, il est de (R/L)²-4/LC. Donc vous avez négligé (R/L)² parce que R est petit devant Rc. Est ce bien ça ?

Oui c'est ça, et on fait cette approximation uniquement pour le régime harmonique. Ce sont uniquement des maths :

[invite78f958b1]

Oui c'est ça, et on fait cette approximation uniquement pour le régime harmonique. Ce sont uniquement des maths :

Bonjour, d'accord mais dans le cas apériodique alors où R>Rc
On ne peut pas dire que (R/L)² est négligeable ?
Parce que sinon cela donne des racines assez compliquées

Merci