Une barre parcourue par un courant

[invite81055034]

Bonjour à tous,

J'étais tranquillement en train de réviser la diffusion thermique quand soudain, je suis tombé sur cet exercice qui me cause problème.

On considère un cylindre de longueur l calorifugé à ses deux extrémités, plongé dans l'air à la température T0. Les échanges conducto-convectifs entre le cylindre et l'air se font avec un coefficient de transfert conducto-convectif h. On note x l'abscisse d'un point du cylindre.

Le cylindre a les caractéristiques , c, , et une conductivité électrique

On fait parcourir un courant I=cte dans le cylindre.

1. Déterminer l'équation différentielle vérifiée par T

C'est cette question qui me bloque.
Mon premier problème, c'est que étant donné la configuration du problème, la diffusion thermique doit se faire de l'intérieur du cylindre vers les faces latérales du cylindre.

Ensuite comment faire le lien entre intensité électrique et puissance thermique ? J'ai immédiatement pensé à la loi de Joule, P=RI^2, mais étant donné que je cherche des équations différentielles, je fais un bilan d'énergie à l'aide du premier principe de la thermodynamique à une tranche dx de mon cylindre. Dois-je rajouter un terme de création d'énergie dû à l'effet Joule dans mon bilan ? De plus je n'arrive pas à faire intervenir la conductivité électrique ...

Merci de votre aide !
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[LPFR]

Bonjour.
J'espère que le problème accepte que vous lui attribuiez une symétrie cylindrique (malgré la convection).
Dans ce cas il faut diviser le cylindre en tubes d'épaisseur 'dr'. Calculez la résistance électrique de ce tube et calculez la puissance dissipée en supposant une tension V aux bornes du cylindre (et du tube).
Il faut maintenant écrire l'équation pour la chaleur. Si Q est la puissance produite par les tube à l'intérieur du tube actuel, l'augmentation de Q est la puissance dissipée dans le tube que vous venez de calculer. Et Le gradient de température dans l'épaisseur 'dr' est tel que la puissance conduite vaut Q + dQ.
Mais la puissance produite dQ dépend de la résistivité, laquelle dépend de la température.
Je crains que l'équation différentielle obtenue ne soit pas soluble analytiquement.

Vous avez compris pourquoi: la densité de courant n'est pas uniforme ans la section du cylindre. Le centre sera plus chaud et la résistivité sera plus élevée. Et encore, on n'a pas tenu compte que la conductivité thermique dépend probablement, elle aussi, de la température.

J'ai eu ce problème (pour un cas réel) il y a bien longtemps, et je n'ai pu le résoudre qu'avec un ordinateur (c'était 20 ans avant les PC).

Je crains que la personne qui a posé le problème n'ait pas bien réfléchi et ait considéré que la densité de courant était constante. Dans ce cas on peut aussi admettre que la résistivité est uniforme.
Au revoir.