Fermi-Dirac et Bose-Einstein

[noemalzieu]

Bonjour, étant novice en physique statistique j'aurais une petite question à poser à propos des statistiques de Fermi-Dirac et de Bose-Einstein…

J'ai un exercice simple sur ces deux statistiques mais dans la correction il y a quelque chose que je ne comprends pas:

1) Considérons d'abord N bosons libres… D'après la statistique de Bose-Einstein, le nombre moyen d'occupation d'un état d'énergie est donné par



Cette formule ne devrait-elle pas contenir N? Sinon ce serait pour moi une probabilité d'occupation, et la formule donnant le nombre moyen d'occupation serait



2) Considérons maintenant un semi conducteur dont les électrons possèdent deux niveaux d'énergies accessibles:

et .

On nous précise que chaque niveau d'énergie a une dégénérescence identique de N où N est le nombre d'électrons du système.
Premièrement, d'après le principe de Pauli la dégénérescence d'un état d'un fermion n'est-elle pas interdite? Il ne peut pas y avoir qu'un seul fermion dans un état quantique donné?

Ensuite, si j'accepte cette proposition, on nous demande le nombre moyen d'occupations de chaque niveau.

Pour ne pas refaire l'erreur que j'avais faite à la question 1, j'écris soigneusement



sans faire apparaître le N…

Evidemment la bonne formule était d'après la correction,




La seule manière que j'ai de comprendre tout ça est que l'on met toujours la dégénérescence de l'état considéré au numérateur… Si c'est bien le cas, pourquoi ce N a-t-il été remplacé par 1 pour les système de bosons de la question 1), et une dégénérescence de N pour les fermions respecte-t-elle le principe d'exclusion dans le 2) ?

Merci d'avance pour votre aide (c'est assez pressé), et désolé pour la longueur de ce post mais je désire être le plus précis possible du premier coup!
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[invite9f80122c]

Tout d'abord le N, nombre total des particules, est la somme des ni états d'énergie permis multipliés par leur fonction de distribution.

Tu peux obtenir 3 fonctions de distributions :
1/e^() ou e^-()
1/(1+e^())
1/(-1 +e^())

La première est celle de Maxwell-Boltzmann, pour les particules classiques, approximation quand l'exponentielle est grande par rapport à 1.

Celle 1/1+e^() est celle de fermi dirac, tu remarqueras si tu la représente graphiquement qu'elle est antisymétrique, si e^() est très petit ça vaut 1, si e^() vaut 1 elle vaut 0 et si e^() vaut 1/2 elle vaut 1/2. D'où la propriété des fermions. Si on en superpose deux inversées (effet 1 sur 2 et effet 2 sur 1) elles s'annullent.

Celle 1/ -1+e^() est celle de bose einstein, tu verras qu'elle n'est pas antisymétrique, ce qui implique qu'on peut en superposer autant qu'on veut.

Représente les graphiquement c'est plus parlant.

[invite9f80122c]

Pour la question 1, on ne parle pas de dégénérescence. Je pense que la formule s'applique à un boson à la fois, donc oui, tu dois les sommer et tu obtiens N/...

Pour la 2, la réponse concerne chaque niveau d'énergie, tu auras donc 2 distributions, une pour E1 et une pour E2 dont la formule est donnée avec Ei (désolé je sais pas comment mettre des lettres grecques ...) . Le principe d'exclusion est respecté par la nature de la fonction comme je l'ai expliqué plus haut.

Je suppose, je ne suis pas expert

[noemalzieu]

Merci pour tes réponses.

Pour la question 1, si ca s'applique pour un boson, c'est donc une probabilité d'occupation?
Mais a ce moment là, on a un probleme car elle peut dépasser 1 non?

Pour la 2, en fait, on respecte le principe d'exclusion car on peut avoir plusieurs fermions dans un état de même energie sans qu'ils soient dans le même état quantique c'est bien ça?

[A voir en vidéo sur Futura]