Pendule conique+ressort question !

[Paul1]

Bonjour à tous.

On accroche une masse à un ressort et on fait tourner le ressort autour d'un axe à une vitesse constante. Selon la vitesse de rotation que l'on impose on observe un certain allongement du ressort et un certain angle d'équilibre (entre l'axe de rotation et l'axe du ressort)

Je cherche à mettre le problème en solution en utilisant la RFD dans le référentiel non galiléen. Celui attaché au repère tournant. J'ai calculé les forces d’inertie d'entrainement et de Coriolis. Le problème que j'ai c'est que la force de Coriolis est nulle dans mes calculs puisque lorsque je projette la RFD j'obtiens sa norme étant à 0. Cette condition me fais aboutir à:

d/dt (r*sin(theta))=0, je trouve cela bizarre au première abord. Puis je refais les calcules avec le formalisme lagrangien et je retrouve cette relation sous la forme d/dt (r²*sin²(theta) )=0. En cherchant un peu la première égalité peut se mettre sous cette forme la aussi. Mais j'aimerais bien comprendre le sens physique de cette constante. J'ai pensé à une sorte d’invariant du moment cinétique (un peu comme la constante des aires). Et aussi pourquoi la force de Coriolis se trouve égale à 0? (en supposant que j'ai juste). J'aimerais également savoir si on peut trouver de manière facile l'angle d'équilibre selon la vitesse de rotation (et aussi la longueur d'équilibre du ressort).

Merci d'avance

PF
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[Jeanpaul]

Si l'on suppose que la masse peut se mouvoir dans un plan qui tourne, la force de Coriolis n'est pas nulle, on peut voir qu'elle est perpendiculaire au plan.
Si le plan n'était pas entraîné à vitesse constante par un moteur, cette force changerait la vitesse angulaire de rotation de manière à conserver le moment cinétique selon Oz (normal s'il n'y a pas de couple).
Donc ici, tu ne considère que les variables r et théta (par rapport à la verticale).
L'équilibre est relativement simple à déterminer. On trouve 2 équations en r et théta en disant que la tension du ressort + la force centrifuge + le poids = 0 (2 composantes, donc 2 équations).
Je ne dis pas que la résolution est triviale.

[Paul1]

Oui d'accord, mais j'ai fait un schéma, et je ne trouve aucune autre force dans la même direction que celle de Coriolis. Je la trouve selon uphi (vecteur unitaire comme défini en coordonnées sphériques). Quand je projette la RFD cela donne 0 puisque je n'ai pas d'accélération relative selon ce vecteur directeur.

[Paul1]

Voila ce que j'obtiens:



Où:
est l'accélération du point M par rapport au repère tournant. Les vecteur et sont ceux des coordonnées cylindriques. Le vecteur est se lon la direction HM où H est le projeté orthogonale de M sur l'axe de rotation. Donc le terme du membre de droite qui est selon est la force d'inertie d'entrainement et celui selon celui de la force de coriolis. Quand je projette cette relation sur j'obtiens:



Ceux qui peut s'écrire:


ceux qui implique que:

également

Après en posant , j'ai réussi à obtenir les conditions d'équilibres.

Voila donc je voudrais savoir où je me plante.

Merci d'avance

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jeanpaul]

C'est juste de dire que r² sin²(théta) est constant car le moment cinétique c'est m r² sin²(théta). dpsi/dt
Si psi tourne régulièrement, pas de problème en effet.
Ta formulation est assez désagréable car elle projette les vecteurs sur une base non orthonormée, notamment à cause du ur.

[Paul1]

Ta formulation est assez désagréable car elle projette les vecteurs sur une base non orthonormée, notamment à cause du ur.

Je ne comprends pas ce que vous dites. la base (ur, utheta, uphi) est orthonormée (je prend la base des coordonnées sphérique).

Le problème fait intervenir 3 bases

La base liée au référentiel Ro supposé galiléen (ux,uy,uz) (cartésien)

La base tournante (u, uphi, uz) (coordonnées cylindriques)

La base sphérique (ur, utheta, uphi) (coordonnes sphérique)

[Paul1]

Je me suis planté ici ce n'est pas la dérivée égale constante mais égale 0:



Implique que:

[Jeanpaul]

Projeter sur u phi ne sert à rien ou alors il faut faire intervenir le couple qui assure une vitesse angulaire constante et ce couple, tu l'as omis.
On peut effectivement projeter sur ur et u @.
Sur ur : - k(r - r0) + mg cos(@) + m w² r sin²(@) (le ressort + le poids + la force centrifuge)
Sur u @ : - mg sin(@) + mw² r sin(@) cos(@) (pareil)

Alors on a que la force sur ur vaut m d²r/dt²
Le couple sur u@ vaut mr² d²@/dt²

Ca donne une équation en @, pas forcément sympathique.

[Paul1]

Alors on a que la force sur ur vaut m d²r/dt²

Pour moi ce serait plutôt :

m(d²r/dt²-r(d@/dt)²)

non ? Et puis en passant par Lagrange je retrouve bien ce terme.

[Jeanpaul]

Effectivement, il y a la force centrifuge quand théta varie. Sûr que Lagrange, c'est mieux, mais j'ignorais que tu connaissais.