Masse-ressort

[leToucheur]

Bonjour,

Je suis en train de faire un problème de masse-ressort et on dit qu'on applique une force de 300N qui dure 10 sec.

Si je sais que r(t)=Acos(wt)

Alors est-ce que mon r(t) sera égal à : r(t)=300cos(10t)

Donc comme m=10kg et que le ressort s'étire de 0.40m et que j'ai une constante d'amortissement c=100kg/s (avec g=10) et que l'objet est initialment immobile à son point d'équilibre.

Mon équation obtenue est ainsi:

k = mg/s = 10*10/0.40 = 250

Donc, my''+cy'+ky = r(t) = y''+10y'+25t = 30cos(10t)

avec y(0) = 0 et y'(0) = 0 étant donné que l'objet est initialement immobile à son point d'équilibre.

Ma solution homogène est : yh = C1*e^-5t + C2*t*e^-5t = e^-5t(C1+C2t)

Quelqu'un peut valider mon raisonnement.

merci
-----

[LPFR]

Bonjour.
Votre raisonnement n'est pas bon.
Il faut que vous compreniez ce qui se passe avant d'écrire la première formule.
Quelles sont les conditions initiales (en français, pas en maths)? Quelle est la suite des actions?

Si vous avez un amortissement, la solution ne sera pas sinusoïdale mais plus ou moins oscillante (ou pas oscillante du tout).
Si vous écrivez des formules, donnez la signification des variables. Le nom des variables dépend des gens qui les utilisent.
Au revoir.

[leToucheur]

Bonjour,

Voici mon énoncé :

On suspend un objet de 10kg à un ressort, ce dernier s'étire de 0.40m, la constante d'amortissement est c=100kg/s (g=10) et l'objet est initialement immobile à son point d'équilibre.

Supposons que l'on applique une force extérieur constante de 300N qui ne dure que 10 secondes.

1. Poser et résoudre, à l'aide de la transformée de Laplace, l'équation différentielle qui vous permet de déterminer la position de l'objet en fonction du temps. t > 0
2. Identifier la partie transitoire et le régime permanent de la solution.
3. Estimer l'écart maximal entre l'objet et son point d'équilibre.

[LPFR]

Re.
La première action vous permet de calculer la constante du ressort. Et on prend ce point d'équilibre comme point de départ.
Dans une première phase du problème, qui dure 10 secondes on applique un force externe.
Il faut résoudre ce problème séparément.
Puis, avec les conditions à 10 secondes, on repart pour un nouveau problème, sans la force externe.
Il faut résoudre ce nouveau problème.

Et on vous demande de le faire avec la transformée de Laplace,

Il n'y a pas vraiment de régime permanent, car il y a de l'amortissement. Mais je suppose qu'ils veulent dire la partie sans force externe.
A+

[A voir en vidéo sur Futura]

[leToucheur]

Salut,

Je tente de poser mon équation mais je bloque pour résoudre avec Laplace quand l’équation n'est pas égal à 0, c'est-à-dire durant les 10 première secondes.

Donc,

10y''+100y'+25y=30cos(10t)

Je transforme en S :

(s^2*Y - Y(0)*s) + 100(s*Y - Y(0)) + 25*Y=30s/s^2+100
= (s^2 + 100s + 25)Y = 30s/s^2+100

Y=30s/(s^2+100)(s^2+100s+25)

Voilà il me reste à faire Laplace inverse de cette équation mais je trouve mon résultat étrange. Après 10s ce sera égal à 0 et je suis capable de résoudre mais quand j'ai égal à 30s/s^2+100, je bloque.

merci

[LPFR]

...
10y''+100y'+25y=30cos(10t)

Re.
Non. Il n'y a pas de cosinus. La force de 300 N est constante:
10y''+100y'+25y=300
A+

[leToucheur]

Salut,

Bon avec Laplace : (s^2+100s+25)Y=300

Y = 300/s^2+100s+25

Je complète le carrée :

Y = 300/(s+50)^2-2475

Avec la propriété : w/(s+a)^2 + w^2

300 * (15√11)/((s+50)^2-15√11^2 )

Laplace inverse :

Y(t)= 300e^(-50t) * sin(15√11)t

Je ne suis par certain de mon résultat...

@+

[LPFR]

Bonjour.
Votre résultat n'est pas bon.
Imaginez que vous appliquez les 300 N éternellement. Quelle est la solution?
La masse va effectuer un mouvement d'oscillation amortie autour du point d'équilibre avec les 300 N.
Dans votre solution vous n'avez ni le décalage dû aux 300 N ni l'amortissement.
Au revoir.

[leToucheur]

Salut,

La je sais pu trop quoi faire...

La force de 300N n'est pas appliqué vers le bas pendant 10s dans le but de faire osciller le ressort une fois relaché?

@+

[LPFR]

Re.
Oui, c'est bien ça. Mais les 10 secondes de la première phase (qui sont un tout petit morceau d'une oscillation amortie) vont vous servir à calculer les conditions initiales (position et vitesse) de la phase finale qui, elle, sera bien une oscillation (amortie aussi) qui durera "éternellement".
Au revoir.
Remarquez que les deux solutions sont presque identiques: même fréquence, même amortissement mais amplitude, position d'équilibre et conditions initiales différentes.
A+

[leToucheur]

Salut,

Donc je prend 10y''+100y'+25y=300, je touve la position initiale et je fais la dérivée pour trouver la vitesse initiale de cette fonction?

@+

[LPFR]

Re.
Cette équation correspond au début de la première phase. La position initiale est zéro et la vitesse initiale est zéro.
Une fois la solution trouvée, il faut calculer la position et la vitesse pour t = 10s.
C'est valeurs serviront des conditions initiales pour la deuxième partie, avec le terme de droite de l'équation égal à zéro.
A+

[leToucheur]

Salut,

Vous disiez :

Bonjour.
Votre résultat n'est pas bon.
Imaginez que vous appliquez les 300 N éternellement. Quelle est la solution?
La masse va effectuer un mouvement d'oscillation amortie autour du point d'équilibre avec les 300 N.
Dans votre solution vous n'avez ni le décalage dû aux 300 N ni l'amortissement.
Au revoir.

Mais j'ai bien l'amrtissement de 100kg/s dans mon équation.

Bon avec Laplace : (s^2+100s+25)Y=300

Y = 300/s^2+100s+25

Je complète le carrée :

Y = 300/(s+50)^2-2475

Avec la propriété : w/(s+a)^2 + w^2

300 * (15√11)/((s+50)^2-15√11^2 )

Laplace inverse :

Y(t)= 300e^(-50t) * sin(15√11)t

Je ne comprends pas trop ce qui n'est pas bon dans ma solution.

merci

[LPFR]

Re.
Désolé, je n'avais pas vu l'exponentielle.
Mais il me manque encore le décalage. Pour t infini Y tends vers zéro dans votre solution alors qu'il devrait tendre vers la position du ressort chargé par les 300 N supplémentaires.
A+

[leToucheur]

Salut,

Comment j'intégre le décalage dans mon équation, je n'ai jamais fait ça.

@+

[coussin]

Tu ajoutes tout simplement Y(infini) à la solution que tu as donné Ou alors tu dis que ton repère est centré sur la position Y(infini)
J'ajoute que le « t » est dans l'argument du sinus (petite coquille)

[LPFR]

Re.
Prenez l'équation de départ:
10y''+100y'+25y=300
La situation d'équilibre sera quand rien ne variera plus et que les dérivées temporelles seront donc nulles:
25y=300
cela vous donne la valeur de 'y' final, qu'il faut ajouter comme vous dit Coussin.
A+

[leToucheur]

Salut,

Je vais essayer ça.

merci

[leToucheur]

Bonjour,

Une fois que j'ai trouvé mon équation qui détermine la position en fonction du temps, comment je fait pour trouver à quel moment le système passera la première fois le point d'équilibre?

merci

[LPFR]

Bonjour,

Une fois que j'ai trouvé mon équation qui détermine la position en fonction du temps, comment je fait pour trouver à quel moment le système passera la première fois le point d'équilibre?

merci

Re.
Chaque fois que le sinus est égal à zéro la masse passe par la position d'équilibre.
Elle l'est pour t = 0. Il faut trouver la prochaine fois où le sinus est égal à zéro.
A+

[leToucheur]

Bonjour,

Je suis en train de faire un autre problème de masse-ressort qui à pour équation : y(t)=0.2cos(6t)

J'ai trouvé qu'à t=pi/12 la masse passe pour la première fois par le point d'équilibre et là on me demande de trouver une équation différentielle si on voudrait immobiliser la masse au temps t=pi/12 avec une implusion (coup de marteau).

Je dois donner l'intensité I de l'impulsion nécessaire pour que l'objet reste immobile après l'implusion.

Je sais pas trop comment faire....

merci

[LPFR]

Re.
Peut-être F Δt = m Δv.
A+